Geometria - (69502)

[barbara91]

Quesito:
Sia AC la diagonale di un parallelogramma ABCD, per un punto P di AC si conducono le parallele ai lati con RS parallelo ad AB e MN parallelo ad AD.
Dimostra che il parallelogramma risulta scomposto in 4 parti in cui le due non attraversate dalle diagonali sono equivalenti (RPND equivalente a MBSP).

Grazie tante per il vostro aiuto
Barbara

Aggiunto 4 ore 3 minuti più tardi:

Ti ringrazio tantissimo
:hi
barbara

[BIT5]

Considera i triangoli RAP e CNP

Essi sono triangoli simili, in quanto NP e' parallelo a RA (per ipotesi) e gli angoli alla base NP sono entrambi congruenti con gli angoli alla base RA in quanto entrambi angoli ricavati dalle parallele NP e RA tagliate dalle trasversali CD e AC.

Le altezze relative alle basi NP e RA sono anche le altezze dei due parallelogrammi DPRN e MPBS.

Posta la base AD = a, chiamiamo x la lunghezza RA.

RA=PS quindi anche PS=x

E dunque DR=NP=a-x

Dal momento che i triangoli sono simili, detta k l'altezza relativa a RA e h l'altezza relativa a NP avremo:

Area DRNP = kDR = k(a-x)
Area MPBS = hPS=hx

Grazie alla similitudine tra i due triangoli di cui sopra, sappiamo che

[math] h : k = a-x : x \to h= \frac{k(a-x)}{x} [/math]

Pertanto l'area MPBS diverra'

[math] \frac{k(a-x)}{x} \cdot x = k(a-x) [/math]

Che equivale all'area di DRNP