Geometria (44628)
Potete per favore scrivermi la dimostrazione di questo teorema?
Sui lati AB e AC del triangolo isoscele ABC costruisci, esternamente al triangolo, i triangoli equilateri ABE e ACF. Sia D il punto di intersezione tra EC e BF. Dimostra che:
a) EC = BF
b) ED = DF
c) l'angolo EAD = all'angolo DAF.
Concludi che AD è bisettrice delliangolo BAC.
Sui lati AB e AC del triangolo isoscele ABC costruisci, esternamente al triangolo, i triangoli equilateri ABE e ACF. Sia D il punto di intersezione tra EC e BF. Dimostra che:
a) EC = BF
b) ED = DF
c) l'angolo EAD = all'angolo DAF.
Concludi che AD è bisettrice delliangolo BAC.
Risposte
a) confronta i triangoli ECB e BFC:
Essi condividono il lato BC;
Il lato EB e' uguale al lato FC perche' lati dei due triangoli equilateri costruiti su due lati congruenti (EB=BA; BA=AC ; AC=FC e dunque per la proprieta' transitiva EB=FC)
L'angolo EBC e' la somma dell'angolo EBA (60 gradi perche' angolo interno di un triangolo equilatero) e dell'angolo ABC; l'angolo FCB analogamente e' 60 + l'angolo BCA.
Essendo l'angolo ABC=ACB per ipotesi (angoli alla base di un triangolo isoscele) allora l'angolo EBC e l'angolo ACB saranno congruenti perche' somma di angoli congruenti a due a due.
Quindi i triangoli EBC e BCF sono congruenti, hanno tutti i lati e gli angoli uguali e pertanto i lati EC e BF sono anch'essi congruenti perche' lati corrispondenti.
B) Dal momento che i triangoli ECB e BCF sono congruenti, allora avranno uguali anche gli angoli ECB e FBC. Pertanto il triangolo BDC sara' isoscele (perche' ha i due angoli alla base congruenti) e dunque i lati BD e CD congruenti.
Siccome i lati EC e BF sono congruenti, i segmenti ED e DF sono differenza di due segmenti congruenti (EC e BF) a cui vengono tolti due segmenti congruenti (DC e BD) e pertanto saranno anch'essi congruenti
c-d) siccome il triangolo BCD e' isoscele, il suo vertice D giace sulla perpendicolare alla base passante per il punto medio. Questa retta incontrera' per lo stesso motivo anche il punto A. Pertanto la retta AD giace sull'altezza di ABC che per definizione, essendo l'altezza del triangolo isoscele relativa alla base, e' anche bisettrice dell'angolo al vertice (risposta al quesito d). E dunque gli angoli EAD e FAD che sono la somma di 60 (angoli dei triangoli equilateri) e di due angoli congruenti (DAB e DAC) sono anch'essi congruenti
Essi condividono il lato BC;
Il lato EB e' uguale al lato FC perche' lati dei due triangoli equilateri costruiti su due lati congruenti (EB=BA; BA=AC ; AC=FC e dunque per la proprieta' transitiva EB=FC)
L'angolo EBC e' la somma dell'angolo EBA (60 gradi perche' angolo interno di un triangolo equilatero) e dell'angolo ABC; l'angolo FCB analogamente e' 60 + l'angolo BCA.
Essendo l'angolo ABC=ACB per ipotesi (angoli alla base di un triangolo isoscele) allora l'angolo EBC e l'angolo ACB saranno congruenti perche' somma di angoli congruenti a due a due.
Quindi i triangoli EBC e BCF sono congruenti, hanno tutti i lati e gli angoli uguali e pertanto i lati EC e BF sono anch'essi congruenti perche' lati corrispondenti.
B) Dal momento che i triangoli ECB e BCF sono congruenti, allora avranno uguali anche gli angoli ECB e FBC. Pertanto il triangolo BDC sara' isoscele (perche' ha i due angoli alla base congruenti) e dunque i lati BD e CD congruenti.
Siccome i lati EC e BF sono congruenti, i segmenti ED e DF sono differenza di due segmenti congruenti (EC e BF) a cui vengono tolti due segmenti congruenti (DC e BD) e pertanto saranno anch'essi congruenti
c-d) siccome il triangolo BCD e' isoscele, il suo vertice D giace sulla perpendicolare alla base passante per il punto medio. Questa retta incontrera' per lo stesso motivo anche il punto A. Pertanto la retta AD giace sull'altezza di ABC che per definizione, essendo l'altezza del triangolo isoscele relativa alla base, e' anche bisettrice dell'angolo al vertice (risposta al quesito d). E dunque gli angoli EAD e FAD che sono la somma di 60 (angoli dei triangoli equilateri) e di due angoli congruenti (DAB e DAC) sono anch'essi congruenti
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