Geometria
Siano dati nel piano una retta r e due punti A e B non appartenenti ad r ma ambedue contenuti in uno dei due semipiani determinati da r, e tali infine che la retta AB non sia parallela ad r. Determinare il punto P su di r tale che $AP^2+BP^2$ sia minimo.
Risposte
sai utilizzare la geometria analitica?
Volendo si può risolvere il quesito per via sintetica.
Ricordiamoci la formula della mediana di un triangolo $b^2+c^2=2m_a^2+1/2a^2$ dove $a$ è il lato su cui cade la mediana $m_a.
Nel nostro caso (vedi figura allegata) risulta:
$PA^2+PB^2=2PM^2+1/2AB^2$ (M = punto medio di AB)
Da questa formula si deduce che il primo membro viene a dipendere esclusivamente da PM e quest'ultimo è minimo solo quando MP è perpendicolare alla retta r.Per ogni altro punto P' di r si ha P'M>PM e quindi anche
$P'A^2+P'B^2>PA^2+PB^2$
In conclusione il punto richiesto è il piede della perpendicolare ad r condotta dal punto medio di AB.
Ciao.
P.S.
Come mai nessuno consiglia Elios di indicare una sua qualunque idea sui quesiti che posta ?
Sì sì ho fatto geometria analitica.
Io faccio milioni di congetture sugli esercizi, è solo che avrei bisogno di vedere come si fa... vi assicuro che mi ci impegno!
forse è l'unica cosa sulla quale lo faccio...
Io faccio milioni di congetture sugli esercizi, è solo che avrei bisogno di vedere come si fa... vi assicuro che mi ci impegno!
forse è l'unica cosa sulla quale lo faccio...
"manlio":
P.S.
Come mai nessuno consiglia Elios di indicare una sua qualunque idea sui quesiti che posta ?
lo spirito della mia richiesta era (benche' occulto) proprio questo.
rinnovo quindi la richiesta di un suo abbozzo di procedimento, qualora il quesito sia da risolvere nell'ambito della geometria analitica e mediante l'uso della derivata.
alex
eheh, geometria analitica sì, le derivate no 
. Per fugare ogni dubbio: faccio il terzo liceo!
. Per fugare ogni dubbio: faccio il terzo liceo!
Comunque la risposta di Manlio attraverso la geometria sintetica è stata illuminante! Mi stavo scervellando con la geometria analitica.. avevo immaginato che la perpendicolare ad r c'entrasse qualcosa, ma non sarei mai arrivata a qualche conclusione sensata. Inoltre non conoscevo affatto la formula della mediana del triangolo! Grazie!
propongo una soluzione ancora più elementare...
Dette $K'$ e $K$ le proiezioni di $A$ e $B$ su $r$, rispettivamente, si deve minimizzare (Pitagora) $AK'^2+K'P^2+PK^2+KB^2$... ed eliminando i termini costanti si deve minimizzare $PK'^2+PK^2$, naturalmente sotto il vincolo $PK'+PK=cost$.
La soluzione del problema ridotto, usando la dis. tra media quadratica ed aritmetica, si ha quando $PK'=PK$... e quindi il punto è stato individuato... (ed è facile vedere che è lo stesso punto di Manlio)...
non so se le dis tra medie sono più elementari della formula della mediana, cmq...
Dette $K'$ e $K$ le proiezioni di $A$ e $B$ su $r$, rispettivamente, si deve minimizzare (Pitagora) $AK'^2+K'P^2+PK^2+KB^2$... ed eliminando i termini costanti si deve minimizzare $PK'^2+PK^2$, naturalmente sotto il vincolo $PK'+PK=cost$.
La soluzione del problema ridotto, usando la dis. tra media quadratica ed aritmetica, si ha quando $PK'=PK$... e quindi il punto è stato individuato... (ed è facile vedere che è lo stesso punto di Manlio)...
non so se le dis tra medie sono più elementari della formula della mediana, cmq...
Grazie !
di nulla 
Un altro modo ancora:
consideriamo i due punti $A$ e $B$ e guardiamo il luogo dei punti $P$
tali che $bar(AP)^2 + bar(BP)^2 = k$ ($k$ è costante).
Questo luogo è una circonferenza per ogni $k > frac{L^2}{2}$,
dove $L$ è la lunghezza del segmento $bar(AB)$.
Queste circonferenze appartengono tutte allo stesso fascio ed hanno
tutte lo stesso centro, coincidente con il punto medio $M$ del segmento $bar(AB)$.
Man mano che $k$ aumenta, aumenta anche il raggio della circonferenza;
arriverà un certo $bar k$ per cui si ha tangenza con la retta $r$.
Il punto di tangenza appartiene alla perpendicolare alla retta $r$ condotta
dal punto $M$.
Francesco Daddi
consideriamo i due punti $A$ e $B$ e guardiamo il luogo dei punti $P$
tali che $bar(AP)^2 + bar(BP)^2 = k$ ($k$ è costante).
Questo luogo è una circonferenza per ogni $k > frac{L^2}{2}$,
dove $L$ è la lunghezza del segmento $bar(AB)$.
Queste circonferenze appartengono tutte allo stesso fascio ed hanno
tutte lo stesso centro, coincidente con il punto medio $M$ del segmento $bar(AB)$.
Man mano che $k$ aumenta, aumenta anche il raggio della circonferenza;
arriverà un certo $bar k$ per cui si ha tangenza con la retta $r$.
Il punto di tangenza appartiene alla perpendicolare alla retta $r$ condotta
dal punto $M$.
Francesco Daddi
Capito, grazie! E' fantastico quanti modi ci siano per risolvere lo stesso esercizio.. E' anche questa la bellezza della matematica..
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