Geometria 4 anno liceo-cntro di simmetria

[annuccia992]

salve,mi servirebbe una mano con questo esercizio semplice semplice

determinare il centro di simmetria della curva di equazione x^3+y^3-3x^2-3y+2=0

grazie 1000 a tutti coloro che risponderanno

[franced]

"Pixie92":

determinare il centro di simmetria della curva di equazione x^3+y^3-3x^2-3y+2=0

Inizia a considerare la trasformazione

[tex]\left\{ \begin{array}{l}
x' = 2\,a - x \\[1mm]
y' = 2\,b - y
\end{array} \right.[/tex]

sostituisci nell'equazione e troverai, dopo aver confrontato l'equazione ottenuta con quella iniziale, i valori di a e b.

[franced]

"Pixie92":

determinare il centro di simmetria della curva di equazione x^3+y^3-3x^2-3y+2=0

Seconda soluzione:
la curva [tex]x^3 + y^3 - 3\,x^2 - 3\,y + 2 = 0[/tex] può essere scritta nel modo seguente:

[tex](x + y - 1) \cdot (x^2 - x y + y^2 - 2\,x + y - 2 ) = 0[/tex]

si tratta del luogo dei punti che stanno sull'ellisse [tex]x^2 - x y + y^2 - 2\,x + y - 2 = 0[/tex]
e sulla retta [tex]x + y - 1 = 0[/tex].
Osservando che la retta contiene l'asse minore dell'ellisse, il centro di simmetria della curva assegnata
coincide con il centro dell'ellisse.

[G.D.5]

@Pixie92
La prossima volta usiamo il MathML od il TeX e cerchiamo di mostrare a che punto ci siamo fermati con l'esercizio.
Grazie.

[annuccia992]

@WiZaRd:si ok,scusatemi ma non so bene come si scrive con questi codici
Per quanto riguarda il problema non avrei saputo proprio dove mettere mano.

@franced:grazie 1000,sei stato gentilissimo!!! =)
Però non ho ben capito quello che devo fare:
nel primo modo sostituendo le equazioni della simmetria centrale : [tex]x=2a-x'[/tex] e [tex]y=2b-y'[/tex] nell'equazione mi vengono dei calcolacciii:

[tex]8a^3-12a^2x'+6ax'^2-x'^3+8b^3-12b^2y'+6by'-y'^3-12a^2-3x'^2+12ax'-6b+3y'+2=0[/tex]
e adesso dovrei mettere a sistema sta roba con l'equazione iniziale?


Nel secondo modo ,se non ho capito male,metto a sistema la retta con l'ellisse...c'ho provato ma il risultato viene diverso da quello del libro:
[tex]y^2+1-2y+y^2-y+2y-1+y-2=0=>2y^2=2=>y=(più\;o\;meno)1[/tex]
dunque [tex]x=0\;se\;y=1[/tex] e [tex]x=2\;se\;y=-1[/tex]


quando il risultato del libro è [tex]C(1;0)[/tex]

[franced]

Per il primo metodo: devi uguagliare termine a termine le due equazioni.

Per il secondo metodo: chi ti ha detto di intersecare l'ellisse con la retta?
Ho scritto che il centro di simmetria coincide con il centro dell'ellisse.
Con gli strumenti che hai ti conviene seguire il primo metodo.

Il risultato riportato dal tuo libro è corretto:
il centro di simmetria della curva è [tex]C(1 \,;\, 0)[/tex] .

[franced]

"Pixie92":Nel secondo modo ,se non ho capito male,metto a sistema la retta con l'ellisse...c'ho provato ma il risultato viene diverso da quello del libro:
[tex]y^2+1-2y+y^2-y+2y-1+y-2=0=>2y^2=2=>y=(più\;o\;meno)1[/tex]
dunque [tex]x=0\;se\;y=1[/tex] e [tex]x=2\;se\;y=-1[/tex]

Tu hai trovato i due estremi dell'asse minore:
se calcoli il punto medio ottieni il centro dell'ellisse che coincide con il centro di
simmetria della curva assegnata.

[annuccia992]

mmmm..cioè devo fare questo?
[tex]x^3+y^3-3x^2-3y+2=0[\tex]
[tex] 8a^3+x^3-12a^2x+6x^2a+8b^3+y^3+6y^2b-12b^2y-12a^2-3x^2+12ax-6b+3y+2=0[\tex]
quindi uguagliando [tex]8a^3-12a^2x+6x^2a+8b^3+6y^2b-12b^2y-12a^2+12ax-6b+6y[/tex]
e con questo che dovrei fare?