Geometria
Ciao a tutti, qualcuno ha tempo e voglia di farmi questi problemi di geometria? Io non ci riesco e mi deve interrogare su questi problemi. Le figure lasciatele perdere, mi serve solo la dimostrazione.
Siano M e N i punti di contatto delle tangenti condotte da un punto P a una circonferenza di centro O. Dimostrare che:
a. PO è bisettrice degli angoli MPN ed MON
b. Po è l’asse di MN
c. PM è isometrico a ON
d. L’angolo MPN è supplementare dell’angolo MON
Dimostrare che se i segmenti AB e CD sono fra loro paralleli e sono, rispettivamente, il diametro e una corda di una circonferenza di centro O, e si conducono dagli estremi del diametro le perpendicolari Ah e BK alla retta CD, allora i segmenti HC e DK sono isometrici.
(Si conduca la perpendicolare ON a CD e si noti che NC è isometrico a ND)
Presa una corda AB su di una circonferenza, si conduca per A la tangente al cerchio e su di essa si consederi un segmento AC isometrico a AB. Dimostrare che il segmento CB incontra la circonferenza in un punto P tale che CP isometrico a AP.
(Infatti il triangolo APC è isoscele in quanto gli angoli BeC sono isometrici, L’angolo CAPe isometrico a B perché angoli alla circonferenza)
E’ importante! Aiutatemi!!!!
Perchè sono così negata in matematica????
Siano M e N i punti di contatto delle tangenti condotte da un punto P a una circonferenza di centro O. Dimostrare che:
a. PO è bisettrice degli angoli MPN ed MON
b. Po è l’asse di MN
c. PM è isometrico a ON
d. L’angolo MPN è supplementare dell’angolo MON
Dimostrare che se i segmenti AB e CD sono fra loro paralleli e sono, rispettivamente, il diametro e una corda di una circonferenza di centro O, e si conducono dagli estremi del diametro le perpendicolari Ah e BK alla retta CD, allora i segmenti HC e DK sono isometrici.
(Si conduca la perpendicolare ON a CD e si noti che NC è isometrico a ND)
Presa una corda AB su di una circonferenza, si conduca per A la tangente al cerchio e su di essa si consederi un segmento AC isometrico a AB. Dimostrare che il segmento CB incontra la circonferenza in un punto P tale che CP isometrico a AP.
(Infatti il triangolo APC è isoscele in quanto gli angoli BeC sono isometrici, L’angolo CAPe isometrico a B perché angoli alla circonferenza)
E’ importante! Aiutatemi!!!!
Perchè sono così negata in matematica????
Risposte
a. dobbiamo dimostrare che i triangoli OMP e ONP sono uguali: hanno il lato op in comune (quindi uguale), i lati OM e ON sono uguali perché raggi della stessa circonferenza, Gli angoli OMP e ONP sono retti perché M e N sono punti di tangenza. Dunque i due triangoli sono uguali e quindi anche gli angoli MPO=NPO e POM=PON dal che il segmento OP è bisettrice.
b. Non ricordo bene cosa voglia dire essere asse ma se non erro dovrebbe indicare la perpendicolarità dei due segmenti, mi scuso se non fosse così, al massimo ho fatto qualche conto in più. Il triangolo MON è isoscele e la sua altezza è la bisettrice del terzo angolo (quello diverso), avendo già dimostrato che la bisettrice di NOM è OP possiamo affermare che OP è perpendicolare a MN
c. già dimostrato con il punto a
d. la somma degli angoli interni di un quadrilatero è 360° gli angoli OMP e ONP sono retti per quanto già detto quindi NOM + NPM = 360° - OMP – ONP = 180°
b. Non ricordo bene cosa voglia dire essere asse ma se non erro dovrebbe indicare la perpendicolarità dei due segmenti, mi scuso se non fosse così, al massimo ho fatto qualche conto in più. Il triangolo MON è isoscele e la sua altezza è la bisettrice del terzo angolo (quello diverso), avendo già dimostrato che la bisettrice di NOM è OP possiamo affermare che OP è perpendicolare a MN
c. già dimostrato con il punto a
d. la somma degli angoli interni di un quadrilatero è 360° gli angoli OMP e ONP sono retti per quanto già detto quindi NOM + NPM = 360° - OMP – ONP = 180°
GRAZIE!!!!!!!!!!!
Il terzo sono più o meno riuscita a farlo, hai volgia di controllare se è giusto??
Hp: AB isometrico ad AC
Th: Cp isometrico ad AP
Dimostrazione:
Considero il traingolo ACB, esso è isoscele poichè AB è isometrico ad AC, quindi ha gli angoli C e B isometrici.
L'angolo CAP e isometricoaB, poichè sono angoli alla circonferenza.
Il triangolo CAP ha quindi gli angoli alla base C ed A isometrici, ed è quindi isoscele per definizione. In particolare ha CO isometrico ad AP.
ps. SAI COME SI INSERISCONO LE FIGURE???
GRAZIE ANCORA!!!
Perchè sono così negata in matematica????
Il terzo sono più o meno riuscita a farlo, hai volgia di controllare se è giusto??
Hp: AB isometrico ad AC
Th: Cp isometrico ad AP
Dimostrazione:
Considero il traingolo ACB, esso è isoscele poichè AB è isometrico ad AC, quindi ha gli angoli C e B isometrici.
L'angolo CAP e isometricoaB, poichè sono angoli alla circonferenza.
Il triangolo CAP ha quindi gli angoli alla base C ed A isometrici, ed è quindi isoscele per definizione. In particolare ha CO isometrico ad AP.
ps. SAI COME SI INSERISCONO LE FIGURE???
GRAZIE ANCORA!!!
Perchè sono così negata in matematica????
Il terzo mi sembra giusto (cosa dice il teorema degli angoli alla circonferenza? Forse ho fatto male il disegno) ed eccoti il secondo:
Forse non ho capito bene il secondo esercizio, ma per come sono stati definiti AH e BK questi rappresentano le distanze tra i due segmenti che essendo paralleli hanno distanza sempre uguale. Comunque facciamo qualche cosa di un po’ più rigoroso. Dimostro che i due triangoli ABK e KHA sono uguali: lato AK in comune, angoli ABK e AHK retti perché tangenti alla circonferenza in A e B, angoli BAK e AKH uguali perché alterni interni (non sono sicuro di questo termine) tra due segmenti paralleli. Quindi HA = KB.
Cosa ti serve nella parte tra parentesi? Se è da dimostrare lo si fa tramite il triangolo isoscele OBC
Per inserire dei disegni abbiamo (o meglio lo ha fatto fireball) uno spazio web dove inserire le immagini e poi mettere il link. E’ tutto spiegato in questo topic
WonderP.
Forse non ho capito bene il secondo esercizio, ma per come sono stati definiti AH e BK questi rappresentano le distanze tra i due segmenti che essendo paralleli hanno distanza sempre uguale. Comunque facciamo qualche cosa di un po’ più rigoroso. Dimostro che i due triangoli ABK e KHA sono uguali: lato AK in comune, angoli ABK e AHK retti perché tangenti alla circonferenza in A e B, angoli BAK e AKH uguali perché alterni interni (non sono sicuro di questo termine) tra due segmenti paralleli. Quindi HA = KB.
Cosa ti serve nella parte tra parentesi? Se è da dimostrare lo si fa tramite il triangolo isoscele OBC
Per inserire dei disegni abbiamo (o meglio lo ha fatto fireball) uno spazio web dove inserire le immagini e poi mettere il link. E’ tutto spiegato in questo topic
WonderP.
TEOREMA DEGLI ANGOLI ALLA CIRCONFERENZA:
ogni angolo alla circonferenza è la metà del corrispondente angolo al centro.
TI RINGRAZIO ANCORA!
Perchè sono così negata in matematica????
ogni angolo alla circonferenza è la metà del corrispondente angolo al centro.
TI RINGRAZIO ANCORA!
Perchè sono così negata in matematica????
Vanno distinti 3 casi:
1° caso: supponiamo che il centro della circonferenza appartenga a uno dei lati dell'angolo.
Sia ABC un angolo alla circonferenza; il centro O appartiene al lato BC. Dopo aver congiunto O con A, va dimostrato quindi che ABC=AOC/2
Osserviamo che AOC è un angolo esterno al triangolo AOB, quindi per i teoremi sugli angoli esterni possiamo dire che:
AOC = OAB + ABO
Però il triangolo AOC è isoscele perché OA=OB (che sono raggi della stessa circonferenza) e di conseguenza gli angoli alla base sono uguali.
OAB = ABO
Quindi si può scrivere:
AOC = 2*ABO, allora risulta dimostrato che ABO=AOC/2
2° caso: il centro O è interno all'angolo alla circonferenza.
Considero sempre che ABC sia l'angolo alla circonferenza. Unisco O con A e con C e traccio il diametro BD. Nota ora che l'angolo ABC viene bisecato dal diametro e quindi ci ritroviamo al primo caso:
ABD=AOD/2
DBC=DOC/2
Faccio la somma membro a membro e ottengo:
ABD+DBC=(1/2)*(AOD+DOC)
quindi
ABC=AOC/2
3° caso: il centro O è esterno all'angolo alla circonferenza.
Traccio il diametro BD, considerando sempre che l'angolo alla circonferenza sia ABC, e anche qui vedo che DBC=DOC/2 e ABD=AOD/2
Quindi sottraggo membro a membro, tenendo conto che dev'essere necessariamente DBC > ABD:
DBC - ABD = (1/2)*(DOC-AOD)
quindi
ABC=AOC/2
Ciao
fireball
1° caso: supponiamo che il centro della circonferenza appartenga a uno dei lati dell'angolo.
Sia ABC un angolo alla circonferenza; il centro O appartiene al lato BC. Dopo aver congiunto O con A, va dimostrato quindi che ABC=AOC/2
Osserviamo che AOC è un angolo esterno al triangolo AOB, quindi per i teoremi sugli angoli esterni possiamo dire che:
AOC = OAB + ABO
Però il triangolo AOC è isoscele perché OA=OB (che sono raggi della stessa circonferenza) e di conseguenza gli angoli alla base sono uguali.
OAB = ABO
Quindi si può scrivere:
AOC = 2*ABO, allora risulta dimostrato che ABO=AOC/2
2° caso: il centro O è interno all'angolo alla circonferenza.
Considero sempre che ABC sia l'angolo alla circonferenza. Unisco O con A e con C e traccio il diametro BD. Nota ora che l'angolo ABC viene bisecato dal diametro e quindi ci ritroviamo al primo caso:
ABD=AOD/2
DBC=DOC/2
Faccio la somma membro a membro e ottengo:
ABD+DBC=(1/2)*(AOD+DOC)
quindi
ABC=AOC/2
3° caso: il centro O è esterno all'angolo alla circonferenza.
Traccio il diametro BD, considerando sempre che l'angolo alla circonferenza sia ABC, e anche qui vedo che DBC=DOC/2 e ABD=AOD/2
Quindi sottraggo membro a membro, tenendo conto che dev'essere necessariamente DBC > ABD:
DBC - ABD = (1/2)*(DOC-AOD)
quindi
ABC=AOC/2
Ciao
fireball
Ma non hai dimostrato che HC è isometrico a DK.
Le cose tra partentesi, servono per facilitare la dimostrazione del problema (è un'indicazione del libro).
Perchè sono così negata in matematica????
Le cose tra partentesi, servono per facilitare la dimostrazione del problema (è un'indicazione del libro).
Perchè sono così negata in matematica????
Mi riferisco alla dimostrazione di WonderP.
Perchè sono così negata in matematica????
Perchè sono così negata in matematica????
Scusa Gloria avevo letto male il testo, ecco perché non capivo le parentesi!
Prima abbiamo dimostrato che i triangoli ABK e KHA sono uguali, quindi sono uguali anche i segmenti AB e HK. OA = OB perché entrambi raggi della stessa circonferenza, ON perpendicolare a AB e KH quindi KN = HN (lo si può dimostrare più rigorosamente dimostrando le uguaglianze tra AON e AHN e tra KBO e KNO). Dimostriamo quanto suggerito tra parentesi verificando l’uguaglianza tra ONC e OND. ON in comune, angoli in N retti in quanto ON perpendicolare ad CD, angoli NCO e NBO uguali poiché il triangolo OBA è isoscele(OC e OB raggi), quindi CN=ND. Da questa uguaglianza e da quella dimostrata prima (KN = HN) per mezza della sottrazione si verifica che HC = DK.
Ok fireball, questi li conoscevo, ma non vedo come applicarli al problema, quale circonferenza? In più CAP poggia sul lato CP mentre l’angolo in B poggia su AC (o al massimo AP), scusate ma non vedo come applicare il teorema. Non è che mi fate un disegnino? Gloria, tu hai imparato? Prova ad inserirlo (mi raccomando salvalo in .gif o .jpg)
WonderP.
Prima abbiamo dimostrato che i triangoli ABK e KHA sono uguali, quindi sono uguali anche i segmenti AB e HK. OA = OB perché entrambi raggi della stessa circonferenza, ON perpendicolare a AB e KH quindi KN = HN (lo si può dimostrare più rigorosamente dimostrando le uguaglianze tra AON e AHN e tra KBO e KNO). Dimostriamo quanto suggerito tra parentesi verificando l’uguaglianza tra ONC e OND. ON in comune, angoli in N retti in quanto ON perpendicolare ad CD, angoli NCO e NBO uguali poiché il triangolo OBA è isoscele(OC e OB raggi), quindi CN=ND. Da questa uguaglianza e da quella dimostrata prima (KN = HN) per mezza della sottrazione si verifica che HC = DK.
Ok fireball, questi li conoscevo, ma non vedo come applicarli al problema, quale circonferenza? In più CAP poggia sul lato CP mentre l’angolo in B poggia su AC (o al massimo AP), scusate ma non vedo come applicare il teorema. Non è che mi fate un disegnino? Gloria, tu hai imparato? Prova ad inserirlo (mi raccomando salvalo in .gif o .jpg)
WonderP.
Sinceramente di quello che ha detto Fireball, non ci ho capito moltissimo!!!! Nel mio testo di geometria non ho trovato niente del genere.....
Perchè sono così negata in matematica????
Perchè sono così negata in matematica????
Nel post di Gloria Spedito - 14/12/2003 : 12:11:53
si dice:
E io ho dimostrato questo teorema!! Non era forse la dimostrazione l'oggetto di questo post?
......
Mi sa tanto che ho capito una cosa per un'altra...
Beh, scusatemi!!!
si dice:
citazione:
TEOREMA DEGLI ANGOLI ALLA CIRCONFERENZA:
ogni angolo alla circonferenza è la metà del corrispondente angolo al centro.
E io ho dimostrato questo teorema!! Non era forse la dimostrazione l'oggetto di questo post?
......
Mi sa tanto che ho capito una cosa per un'altra...
Beh, scusatemi!!!
Fireball, hai dimostrato i teorema che io chiamavo “degli angoli al centro e alla circonferenza” che, oltre ad affermare che gli uni sono il doppio degli altri, asserisce che qualsiasi angolo che poggi sullo stesso arco di cerchio ha ampiezza costante. Il problema è che non vedo come applicarlo al problema, a quale circonferenza, a quale arco? Inserisco io un disegno, ma penso sia sbagliato (ma dove???).
WonderP.
WonderP.
WonderP ti ringrazio per il tuo aiuto la prof. mi ha chiesto i problemi (che grazie a te erano giusti) e mi ha messo un +!!!
GRAZIEEEEEE!!!!
Perchè sono così negata in matematica????
GRAZIEEEEEE!!!!
Perchè sono così negata in matematica????
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