Geometria

[GualtieroMalghesi]

Siano A, B, C, D quattro punti in linea retta seguentisi nell’ordine alfabetico e tali che $AB~=CD$ .
Dimostrare che $AC~=BD$ e che i due segmenti $AD$ e $BC$ hanno lo stesso punto medio.
Ipotesi: $A, B, C, D in r$
            $AB~=CD$
Tesi: $AC~=BD$
        $(AD)/2~=(BC)/2$
1
$AC~=AB+BC$
$AC~=AB+BM+MC$ con $BM~=MC$
$AC~=AB+2BM$
 
$BD~=BC+CD$
$BD~=BM+MC+CD$
$BD~=2BM+CD$
 
$AB+2BM~=2BM+CD$
$AB+BC~=BC+CD$
$AC~=BD$
2
$AD~=AB+BC+CD$ con $AB~=CD$ e $BC~=2MB$
$AD~=2AB+2MB$
$BC~=2MB$
$AB+MB~=MB$
cvd
Cosa ne pensate?
Grazie
 

[Indrjo Dedej]

Per il punto 1 si può fare più facilmente. Infatti, dall'ipotesi $AB \cong CD$, hai (aggiungendo ad entrambi i membri della congruenza $BC$) \[\underbrace{AB+BC}_{\cong AC} \cong \underbrace{CD+BC}_{\cong BD} \ .\]
Per il punto 2 devi far vedere che $AD$ e $BC$ hanno lo stesso punto medio (quello che hai scritto tu accanto a "tesi" non ha senso, o meglio: ha un altro senso, non quello richiesto qui). In altre parole devi dimostrare il seguente fatto:

se $M$ è il punto medio di $AD$, allora $M$ è punto medio di $BC$.

Semplice da fare. Infatti da $AM \cong DM$, hai \[\underbrace{AB+BM}_{\cong AM} \cong \underbrace{MC+CD}_{\cong MD} \ . \] Ma tu sai già che $AB$ e $CD$ sono congruenti, quindi \[BM \cong MC\] e quindi $M$ è il punto medio di $BC$. c.v.d.

PS: qualche parola in italiano di commento a quelle congruenze non fa male... Uno non si deve scervellare a capire cosa stai pensando o cosa pensi di fare.

[GualtieroMalghesi]

Grazie mille per la dimostrazione e per il consiglio. Purtroppo ho avuto la sfortuna di avere una pessima professoressa di matematica che, oltre a non essere capace di spiegare, non è stata in grado nemmeno di finire il programma, quindi: le nozioni base di geometria, i triangoli i parallelogrammi e le disequazioni di primo grado dovrò studiarmele da solo quest’estate.

Ho provato a risolvere un altro esercizio. Vediamo se ho seguito bene il tuo consiglio:

siano $A, B, C, D$ quattro punti in linea retta seguentisi nell’ordine alfabetico e siano $M$ e $N$ i punti medi di $AB$ e $CD$. Dimostrare che:

$MN~=(AC+BD)/2$

Ipotesi: 1 $A, B, C, D in r$

2 $AM~=MB~=(1/2)AB$ $AB~=2AM~=2MB$

3 $CN~=ND~=(1/2)CD$ $CD~=2CN~=2ND$

Tesi: $MN~=(AC+BD)/2$

Per la definizione di somma di segmenti

$AC+BD~=AB+BC+BC+CD$

Per l’ipotesi 2 e 3

$AC+BD~=AM+MB+BC+BC+CN+ND$

Per la definizione di multiplo di segmento

$AC+BD~=2MB+2BC+2CN$

Raccolgo e applico la seconda legge di monotonia

$(AC+BD)/2~=MB+BC+CN$

Per la proprietà simmetrica della congruenza

$MB+BC+CN~=(AC+BD)/2$

Per la definizione di somma di segmenti vale la congruenza

$MN~=MB+BC+CN$

Quindi

$MN~=(AC+DB)/2$

CVD

Cosa ne pensi?

Grazie mille.

[Indrjo Dedej]

"GualtieroMalghesi":
Purtroppo ho avuto la sfortuna di avere una pessima professoressa di matematica che, oltre a non essere capace di spiegare, non è stata in grado nemmeno di finire il programma, quindi: le nozioni base di geometria, i triangoli i parallelogrammi e le disequazioni di primo grado dovrò studiarmele da solo quest’estate.

Mi dispiace un sacco che voi non abbiate toccato nemmeno la geometria euclidea.

Per quanto riguarda l'esercizio: va bene, un passo in avanti rispetto a prima. Vai avanti così. Per geometria continua a fare le dimostrazioni, che ti servono ad acquisire mentalità e metodo matematici. Anzi: è l'unica matematica del liceo che ti fa vedere come in realtà la matematica è, non tanto nel senso dei contenuti, ma nel modo di praticarla. Per questo è un peccato che a questa matematica si dedichino solo i primi due anni di liceo.

PS. Prima in questa sezione c'erano molte richieste sulle dimostrazioni di geometria. Ora dove dove sono finite? Giro qui e ne vedo una ogni tanto, se si è fortunati. Che è successo? Non si danno più questi esercizi? Oppure: non si fa più geometria euclidea?

[@melia]

C'è un errore anche nella "forma" della tesi:

"GualtieroMalghesi":Dimostrare che i due segmenti $AD$ e $BC$ hanno lo stesso punto medio.

È diversa da

"GualtieroMalghesi":Tesi: $(AD)/2~=(BC)/2$

Il problema chiede che il punto medio dei due segmenti sia lo stesso: $M_(AD)-=M_(BC)$, mentre hai scritto nella tesi che la metà di $AD$ è congruente alla metà di $BC$, cosa ovviamente falsa.

[GualtieroMalghesi]

Grazie a tutti, siete gentilissimi. Ora devo rimboccarmi le maniche e darci dentro a studiare questi argomenti da autodidatta, cosa che non sarà facile. Spero di contare ancora sul vostro aiuto se ne avrò bisogno.
Ancora grazie e buona domenica.
Gabriele.

[Indrjo Dedej]

"GualtieroMalgesi":
Spero di contare ancora sul vostro aiuto se ne avrò bisogno.

Ah, non ti preoccupare. Meno male, un po' di cose serie... E soprattutto in questa sezione ci vogliono.