Geometria
Aiutando un ragazzo di prima, ho riscontrato difficoltà in un problema:
Dato un triangolo isoscele di base $BC$, prolungare $AB$ e $AC$ rispettivamente di due segmenti $BD$ e $CE$ in modo che $CE=DE$. Dimostrare che $DC=BE$.
Già il disegno bisogna farlo strano, inoltre ho dei dubbi sul come farlo. Il problema è nel capitolo dei triangoli.
Dato un triangolo isoscele di base $BC$, prolungare $AB$ e $AC$ rispettivamente di due segmenti $BD$ e $CE$ in modo che $CE=DE$. Dimostrare che $DC=BE$.
Già il disegno bisogna farlo strano, inoltre ho dei dubbi sul come farlo. Il problema è nel capitolo dei triangoli.
Risposte
Secondo me è un errore di stampa. La tesi è vera se $CE=BD$ e scommetterei che l'ipotesi dovesse essere questa.
Ho provato a controllare con l'analitica e mi pare (non ho approfondito) che ci sia almeno un particolare allungamento per cui vale anche l'ipotesi del libro, ma ne risulta un problema decisamente troppo complesso per la prima classe.
Salvo smentite!
Ho provato a controllare con l'analitica e mi pare (non ho approfondito) che ci sia almeno un particolare allungamento per cui vale anche l'ipotesi del libro, ma ne risulta un problema decisamente troppo complesso per la prima classe.
Salvo smentite!
Il libro che sto adoperando per l'estate fa parte del progetto C^3 di Matematicamente (1^ libro di geometria razionale); segnalo ad Antonio Bernardo questo post con l'esercizio in modo che nella prossima versione del libro venga aggiornato.
Pag. 62 es. 50.
Grazie per l'aiuto.
Pag. 62 es. 50.
Grazie per l'aiuto.
Ecco un altro problema:
su una semiretta di origine $O$ si prendono i punti $ABC$ con $OC>OB>OA$. Sia $M$ il punto medio di $OA$ e $N$ il punto medio di $BC$. Quale relazione è vera? Dimostrarlo.
A) $MN=1/2(OB+OA)$
B) $MN=1/2(OA+BC)$
C) $MN=1/2(OC+AB)$
Qualche aiuto?
su una semiretta di origine $O$ si prendono i punti $ABC$ con $OC>OB>OA$. Sia $M$ il punto medio di $OA$ e $N$ il punto medio di $BC$. Quale relazione è vera? Dimostrarlo.
A) $MN=1/2(OB+OA)$
B) $MN=1/2(OA+BC)$
C) $MN=1/2(OC+AB)$
Qualche aiuto?
La relazione giusta è la C. Uno fra i metodi per dimostrarlo è porre $OA=a,AB=b,BC=c$ e poi calcolare, in funzione di $a,b,c$, sia $MN$ che $OC+AB$
Posto $OA=2u$, $AB=3u$, $BC= 4u$.
Ottengo $MN=1/9 OC+2/9 OC+AB= 1/2OC+AB$ che é comunque giusto, ma non é uguale alla richiesta.
Partendo da quella formula, posso esprimere $MN$ con un'equazione, ma tale equazione deve possedere
solo $OC$ ed $AB$, ovvero $MN$ deve essere in funzione di tali segmenti e dunque l'unica soluzione che vedo è quella.
Piano b:
$MN=1/2x+b+1/2c=1/2(2b+x+c)=1/2(AO+AB)$
Ottengo $MN=1/9 OC+2/9 OC+AB= 1/2OC+AB$ che é comunque giusto, ma non é uguale alla richiesta.
Partendo da quella formula, posso esprimere $MN$ con un'equazione, ma tale equazione deve possedere
solo $OC$ ed $AB$, ovvero $MN$ deve essere in funzione di tali segmenti e dunque l'unica soluzione che vedo è quella.
Piano b:
$MN=1/2x+b+1/2c=1/2(2b+x+c)=1/2(AO+AB)$
E chi ti ha detto che i punti siano a quelle distanze? Tutto quello che sappiamo è che si susseguono nell'ordine O, A,B,C; le distanze di un punto da quello successivo possono essere qualsiasi e per questo ti ho suggerito di indicarle con tre lettere diverse. Usando le lettere che ho suggerito, si ha
$MN=MA+AB+BN=1/2a+b+1/2c=1/2(a+2b+c)$
Ora concludi tu.
$MN=MA+AB+BN=1/2a+b+1/2c=1/2(a+2b+c)$
Ora concludi tu.
Si, le misure le avevo solo prese per una verifica numerica che poi non ho postato.
In ogni caso il procedimento che hai messo tu coincide con il mio "piano b" (ho solo indicato la x al posto della a).
Grazie!
In ogni caso il procedimento che hai messo tu coincide con il mio "piano b" (ho solo indicato la x al posto della a).
Grazie!
Ultime due domande (so già che sono out limit):
1) É facile dimostrare che in un triangolo isoscele le mediane relative ai lati obliqui sono congruenti; é possibile dimostrare il teorema inverso?
2) Si supponga di prendere un angolo convesso, poi un punto nella parte di piano concava dell''angolo e si congiunga tale punto con gli estremi dei lati dell'angolo convesso. É possibile dimostrare che l'angolo con vertice il punto é minore dell'angolo iniziale preso in considerazione?
1) É facile dimostrare che in un triangolo isoscele le mediane relative ai lati obliqui sono congruenti; é possibile dimostrare il teorema inverso?
2) Si supponga di prendere un angolo convesso, poi un punto nella parte di piano concava dell''angolo e si congiunga tale punto con gli estremi dei lati dell'angolo convesso. É possibile dimostrare che l'angolo con vertice il punto é minore dell'angolo iniziale preso in considerazione?
1) Indicando con $AM,BN$ le mediane uguali e con $G$ la loro intersezione, dalla proprietà del baricentro ottieni $AG=BG$, quindi $ABG$ è isoscele e si ha $B hatAG=A hatBG$. Con questo ti è facile dimostrare l'eguaglianza fra i triangoli $ABM,ABN$ e dedurne quella fra gli angoli alla base di $ABC$.
Grazie.
Provo a mettere il secondo in un altro contesto: preso un triangolo $ABC$ con vertice $A$ in basso a sinistra ruotando in senso antiorario e un punto $P$ interno ad esso, unisco $B$ e $C$ con $P$ e devo dimostrare che l'angolo $BPC>BAC$.
Provo a mettere il secondo in un altro contesto: preso un triangolo $ABC$ con vertice $A$ in basso a sinistra ruotando in senso antiorario e un punto $P$ interno ad esso, unisco $B$ e $C$ con $P$ e devo dimostrare che l'angolo $BPC>BAC$.
Prolunga $CP$ fino ad incontrare $AB$ in $D$. Poiché l'angolo esterno di un triangolo è maggiore degli angoli interni non adiacenti hai
$BhatPC>BhatDC >BhatAC$
$BhatPC>BhatDC >BhatAC$
In effetti ci sono diversi errori che sono sfuggiti nel libro
Stiamo preparando la prossima edizione, segnalerò questi problemi a chi ci sta lavorando
Grazie delle segnalazioni.
Stiamo preparando la prossima edizione, segnalerò questi problemi a chi ci sta lavorando
Grazie delle segnalazioni.
Per ora sto lavorando ai primi due capitoli della geometria razionale.
Si possono vedere e scaricare qui:
readthedocs.org/projects/mc3_gr_01_fondamenti
readthedocs.org/projects/mc3_gr_02_triangoli
Per segnalare errori o proposte, andate invece su:
bitbucket.org/zambu/mc3_gr_01_fondamenti
bitbucket.org/zambu/mc3_gr_02_triangoli
Cliccate sul pulsante issues e descrivete l'errore o la proposta. Possibilmente create un issue per ogni errore o proposta.
Dalla pagina che si apre si possono vedere gli issue ancora aperti o vedere tutti quelli che sono stati proposti (cliccando su "all").
L'uso di questo strumento rende più semplice la correzione e l'aggiornamento del testo.
Grazie
Daniele
Si possono vedere e scaricare qui:
readthedocs.org/projects/mc3_gr_01_fondamenti
readthedocs.org/projects/mc3_gr_02_triangoli
Per segnalare errori o proposte, andate invece su:
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Cliccate sul pulsante issues e descrivete l'errore o la proposta. Possibilmente create un issue per ogni errore o proposta.
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Grazie
Daniele
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