Geomeetria
Sono tornata (carica) di "bellissimi" problemi di geometria....
Alcuni sono riuscita a farli...... Ma questi no......
1- Date due circonferenze isometriche ed esterne, sia M il punto medio del segmento congiungente i due centri O e O'.
a. ogni retta passante per M secante le due circonferenze le taglia in punti a due a due simmetrici rispetto ad M;
b. ogni retta parallela alla retta OO' e secante le circonferenze, le taglia in punti a due a due simmetrici rispetto alla retta perpendicolare OO' e passante per M.
2- Sia AB un giametro di una circonferenza di centro O. Per il punto A si conduca una qualsiasi corda AC, poi lla tangente in C e la tangente in B. Sia D il punto di intersezione delle due tangenti. Dimostrare che OD//AC.
3- Detto OA il raggio di una circonferenza O, si prolunghi tale raggio di un segmento AB=OA e da B si tracci la tangente BC alla circonferenza. Dimostrare che il trinagolo AOC è equilatero.
4- Per i punti d'intersezione di due circonferenze si conducano due rette parallele , che taglino ulteriormente le due circonferenze, la prima nei punte M ed N, la secopnda nei punti P e Q. Dimostrare che MN=PQ. (si conducano dai die centri i diametri perpendicolari alle due rette)
Vi ringrazio......
Buone Feste!
Perchè sono così negata in matematica????
Alcuni sono riuscita a farli...... Ma questi no......
1- Date due circonferenze isometriche ed esterne, sia M il punto medio del segmento congiungente i due centri O e O'.
a. ogni retta passante per M secante le due circonferenze le taglia in punti a due a due simmetrici rispetto ad M;
b. ogni retta parallela alla retta OO' e secante le circonferenze, le taglia in punti a due a due simmetrici rispetto alla retta perpendicolare OO' e passante per M.
2- Sia AB un giametro di una circonferenza di centro O. Per il punto A si conduca una qualsiasi corda AC, poi lla tangente in C e la tangente in B. Sia D il punto di intersezione delle due tangenti. Dimostrare che OD//AC.
3- Detto OA il raggio di una circonferenza O, si prolunghi tale raggio di un segmento AB=OA e da B si tracci la tangente BC alla circonferenza. Dimostrare che il trinagolo AOC è equilatero.
4- Per i punti d'intersezione di due circonferenze si conducano due rette parallele , che taglino ulteriormente le due circonferenze, la prima nei punte M ed N, la secopnda nei punti P e Q. Dimostrare che MN=PQ. (si conducano dai die centri i diametri perpendicolari alle due rette)
Vi ringrazio......
Buone Feste!
Perchè sono così negata in matematica????
Risposte
Buone feste anche a te! Per ora comincio dal 2) poi vedo di risolvere anche gli altri…
2- Prendo un considerazione i due triangoli rettangoli (perché un lato è il raggio e un altro tangente) OCD e OBD. Questi sono uguali in quanto hanno un lato in comune (OD) e OC e OB sono raggi, quindi gli angoli COD e DOB sono uguali, o un altre parole, sono la metà di COB. Per il teorema degli angoli al centro e alla circonferenza CAB è metà di COB cioè CAB = DOB, quindi AC e OD hanno lo stesso angolo di incidenza rispetto allo stesso segmento (AB), quindi sono paralleli.
2- Prendo un considerazione i due triangoli rettangoli (perché un lato è il raggio e un altro tangente) OCD e OBD. Questi sono uguali in quanto hanno un lato in comune (OD) e OC e OB sono raggi, quindi gli angoli COD e DOB sono uguali, o un altre parole, sono la metà di COB. Per il teorema degli angoli al centro e alla circonferenza CAB è metà di COB cioè CAB = DOB, quindi AC e OD hanno lo stesso angolo di incidenza rispetto allo stesso segmento (AB), quindi sono paralleli.
Ti ringrazio! Non voglio approffittare dellla rua bontà, è che proprio non ci riesco!
Perchè sono così negata in matematica????
Perchè sono così negata in matematica????
Non ti preoccupare, io mi diverto (so che sembra strano), scusa tu se te li mando a rate, ma sto facendo anche altro...
3- OB = 2 OC per come è stato posto il problema, quindi il triangolo rettangolo BCO è metà (rispetto a BC) triangolo equilatero, quindi l’angolo COB è di 60°. Il triangolo isoscele (perché due lati sono i raggi) COA ha (ovviamente) i due angoli alla base uguali e il terzo di 60°, quindi anche gli altri due sono di 60°. Il triangolo oltre ad essere isoscele è dunque equiangolo e quindi equilatero.
3- OB = 2 OC per come è stato posto il problema, quindi il triangolo rettangolo BCO è metà (rispetto a BC) triangolo equilatero, quindi l’angolo COB è di 60°. Il triangolo isoscele (perché due lati sono i raggi) COA ha (ovviamente) i due angoli alla base uguali e il terzo di 60°, quindi anche gli altri due sono di 60°. Il triangolo oltre ad essere isoscele è dunque equiangolo e quindi equilatero.
Sulla soluzione del primo ho qualche dubbio sulla correttezza e la rigorosità, comunque
1- a. indico con A e A’ le intersezioni con le circonferenze e confronto i triangoli OMA e O’MA’. OM = O’M per come è stato definito il problema, OA e O’A’ perché raggi di circonferenze isometriche e OMA = O’MA’ perché angoli opposti, quindi i due triangoli sono uguali.
b. se due rette sono parallele allora, per definizione, hanno distanza costante. Indico con A e A’ le intersezioni con le circonferenze e traccio le perpendicolari intersecando OO’ in H e H’. Per quanto detto AH =A’H’. A questo punto anche i triangoli rettangoli OAH e O’H’A’ sono uguali (due lati e un angolo), quindi OH = O’H’ e per differenza (con OM e O’M) anche HM = H’M. quindi i punti A e A’ hanno stessa distanza orizzontale (HM = H’M ) e verticale (AH =A’H’) da M, quindi sono simmetrici rispetto alla perpendicolare ad M.
Ripeto che in questa dimostrazione la rigorosità lascia molto a desiderare.
1- a. indico con A e A’ le intersezioni con le circonferenze e confronto i triangoli OMA e O’MA’. OM = O’M per come è stato definito il problema, OA e O’A’ perché raggi di circonferenze isometriche e OMA = O’MA’ perché angoli opposti, quindi i due triangoli sono uguali.
b. se due rette sono parallele allora, per definizione, hanno distanza costante. Indico con A e A’ le intersezioni con le circonferenze e traccio le perpendicolari intersecando OO’ in H e H’. Per quanto detto AH =A’H’. A questo punto anche i triangoli rettangoli OAH e O’H’A’ sono uguali (due lati e un angolo), quindi OH = O’H’ e per differenza (con OM e O’M) anche HM = H’M. quindi i punti A e A’ hanno stessa distanza orizzontale (HM = H’M ) e verticale (AH =A’H’) da M, quindi sono simmetrici rispetto alla perpendicolare ad M.
Ripeto che in questa dimostrazione la rigorosità lascia molto a desiderare.
Ed ecco anche l’ultimo…
4- Chiamo i punti di intersezione delle due circonferenze A e A’ (A su MN e A’ su PQ). Dimostro che il trapezio MPAA’ è isoscele. La somma degli angoli opposti di un quadrilatero inscritto è 180°, quindi MPA’ + MAA’ = 180°, per costruzione anche MAA’ + NAA’ = 180° e quindi MPA’ = NAA’. NAA’ = PA’A perché angoli alterni interni (guisto? Non ricordo bene il nome, ma sono uguali di sicuro) tra due rette parallele. Quindi MPA’ = AA’P e il trapezio è isoscele, quindi MP = AA’. Analogamente posso dimostrare che il trapezio NQAA’ è isoscele e giungere a queste conseguenze: MPA’ = ANQ e MP = NQ.
Ora traccio il segmento MQ e studio i triangoli MNQ e MPQ. Hanno un lato in comune (MQ), : MPQ = MNQ e MP = NQ per quanto visto. Quindi i due triangoli sono uguali e dunque MN = PQ.
Non ho utilizzato il suggerimento perché non capivo a cosa servisse, spero che questa dimostrazione vada bene comunque.
4- Chiamo i punti di intersezione delle due circonferenze A e A’ (A su MN e A’ su PQ). Dimostro che il trapezio MPAA’ è isoscele. La somma degli angoli opposti di un quadrilatero inscritto è 180°, quindi MPA’ + MAA’ = 180°, per costruzione anche MAA’ + NAA’ = 180° e quindi MPA’ = NAA’. NAA’ = PA’A perché angoli alterni interni (guisto? Non ricordo bene il nome, ma sono uguali di sicuro) tra due rette parallele. Quindi MPA’ = AA’P e il trapezio è isoscele, quindi MP = AA’. Analogamente posso dimostrare che il trapezio NQAA’ è isoscele e giungere a queste conseguenze: MPA’ = ANQ e MP = NQ.
Ora traccio il segmento MQ e studio i triangoli MNQ e MPQ. Hanno un lato in comune (MQ), : MPQ = MNQ e MP = NQ per quanto visto. Quindi i due triangoli sono uguali e dunque MN = PQ.
Non ho utilizzato il suggerimento perché non capivo a cosa servisse, spero che questa dimostrazione vada bene comunque.
Ti ringrazio infinitamente!!!!
Ancora....... BUONE FESTE!!!!!
Perchè sono così negata in matematica????
Ancora....... BUONE FESTE!!!!!
Perchè sono così negata in matematica????
Scusa, ma non riesco a capire com'è il disegno.
Me lo potresti gentilmente fare?
1- Date due circonferenze isometriche ed esterne, sia M il punto medio del segmento congiungente i due centri O e O'.
a. ogni retta passante per M secante le due circonferenze le taglia in punti a due a due simmetrici rispetto ad M;
b. ogni retta parallela alla retta OO' e secante le circonferenze, le taglia in punti a due a due simmetrici rispetto alla retta perpendicolare OO' e passante per M.
Ho provato a dimostrare questo problema in un modo diverso.... E' più corretto il mio o il tuo?
3- Detto OA il raggio di una circonferenza O, si prolunghi tale raggio di un segmento AB=OA e da B si tracci la tangente BC alla circonferenza. Dimostrare che il trinagolo AOC è equilatero.
L'angolo OCB è retto perchè OC perpendicolare a CB. Nel triangolo rettangolo, l'ipotenusa OB è il doppio del cateto OC e quindi L'angolo OBC= 1/3R e l'angolo BOC=2/3R. Il triangolo OAC è isoscele sulla base AC con l'angolo al vertice uguale a 2/3R. Ciascun angola alla base vale: 1/2(2R-2/3R)=2/3R. Pertanto OAC è equilatero.
VA bene?
Perchè sono così negata in matematica????
Me lo potresti gentilmente fare?
1- Date due circonferenze isometriche ed esterne, sia M il punto medio del segmento congiungente i due centri O e O'.
a. ogni retta passante per M secante le due circonferenze le taglia in punti a due a due simmetrici rispetto ad M;
b. ogni retta parallela alla retta OO' e secante le circonferenze, le taglia in punti a due a due simmetrici rispetto alla retta perpendicolare OO' e passante per M.
Ho provato a dimostrare questo problema in un modo diverso.... E' più corretto il mio o il tuo?
3- Detto OA il raggio di una circonferenza O, si prolunghi tale raggio di un segmento AB=OA e da B si tracci la tangente BC alla circonferenza. Dimostrare che il trinagolo AOC è equilatero.
L'angolo OCB è retto perchè OC perpendicolare a CB. Nel triangolo rettangolo, l'ipotenusa OB è il doppio del cateto OC e quindi L'angolo OBC= 1/3R e l'angolo BOC=2/3R. Il triangolo OAC è isoscele sulla base AC con l'angolo al vertice uguale a 2/3R. Ciascun angola alla base vale: 1/2(2R-2/3R)=2/3R. Pertanto OAC è equilatero.
VA bene?
Perchè sono così negata in matematica????
La tua dimostrazione è corretta, e fossi in te userei la tua.
Metto anche il disegno del primo problema condensando i due sottoproblemi. Con A e A’ indico ogni volta le intersezioni con le circonferenze di centro O e O’ rispettivamente. Quindi A e A’ variano a seconda di quale sottoproblema sto risolvendo.
Metto anche il disegno del primo problema condensando i due sottoproblemi. Con A e A’ indico ogni volta le intersezioni con le circonferenze di centro O e O’ rispettivamente. Quindi A e A’ variano a seconda di quale sottoproblema sto risolvendo.
Ok, userò la mia.
Grazie per il disegno!
Alla prossima.
Perchè sono così negata in matematica????
Grazie per il disegno!
Alla prossima.
Perchè sono così negata in matematica????
Ho provato a risolvere questo problema in un altro modo. E' giusto?
Per i punti d'intersezione di due circonferenze si conducano due rette parallele , che taglino ulteriormente le due circonferenze, la prima nei punte M ed N, la secopnda nei punti P e Q. Dimostrare che MN=PQ. (si conducano dai die centri i diametri perpendicolari alle due rette)
[Allora ho chiamato A e A' i pinti di intersezione delle due circonferenze, A su MN e A' su PQ, ho poi chiamato i centri delle due circonferenze O e O']
Considero i triangoli MAO e PA'O, essi hanno:
- MO^A=PO^A', perchè angoli apposti al verice.
- MO=OP, perchè raggi delle stessa circonferenza.
-AO=OA', perchè raggi delle stessa circonferenza.
I due triangoli per il I criterio di isometria sono isometrici in particolare MA=PA'.
Considero ora i triangoli ANO' e A'O'Q, essi hanno:
- AO'N=A'O'Q, poichè opposti al vertice.
- AO'=O'A', perchè raggi delle stessa circonferenza.
- NO'=O'q, perchè raggi delle stessa circonferenza.
I due triangoli per il I criterio di isometria sono isometrici in particolare AN=A'Q.
MN=PQ poichè sono formati dall'unione di due segmenti isometrici, cioè: (MA=PA')+(AN+A'Q)= MN=PQ.
Può andar bene?
Perchè sono così negata in matematica????
Per i punti d'intersezione di due circonferenze si conducano due rette parallele , che taglino ulteriormente le due circonferenze, la prima nei punte M ed N, la secopnda nei punti P e Q. Dimostrare che MN=PQ. (si conducano dai die centri i diametri perpendicolari alle due rette)
[Allora ho chiamato A e A' i pinti di intersezione delle due circonferenze, A su MN e A' su PQ, ho poi chiamato i centri delle due circonferenze O e O']
Considero i triangoli MAO e PA'O, essi hanno:
- MO^A=PO^A', perchè angoli apposti al verice.
- MO=OP, perchè raggi delle stessa circonferenza.
-AO=OA', perchè raggi delle stessa circonferenza.
I due triangoli per il I criterio di isometria sono isometrici in particolare MA=PA'.
Considero ora i triangoli ANO' e A'O'Q, essi hanno:
- AO'N=A'O'Q, poichè opposti al vertice.
- AO'=O'A', perchè raggi delle stessa circonferenza.
- NO'=O'q, perchè raggi delle stessa circonferenza.
I due triangoli per il I criterio di isometria sono isometrici in particolare AN=A'Q.
MN=PQ poichè sono formati dall'unione di due segmenti isometrici, cioè: (MA=PA')+(AN+A'Q)= MN=PQ.
Può andar bene?
Perchè sono così negata in matematica????
No, hai preso un caso particolare, cioè quello in cui AA' è perpendicolare a MN e PQ. Per spiegarti meglio ti faccio un contro-esempio con un disegno.
Da questo disegno puoi vedere come MA sia diverso da PA'
WonderP.
Da questo disegno puoi vedere come MA sia diverso da PA'
WonderP.
Già... Hai ragione!!!
Perchè sono così negata in matematica????
Perchè sono così negata in matematica????
Accedi a tutti gli appunti
Tutor AI: studia meglio e in meno tempo