$f(x) = x^3 -x + q$ dim che ammettte almeno uno zero ..
Dimostrare che ammette almeno uno zero $AA$ $q$ appartenete ai reali. determinare poi per quali valori del parametro $q$ appartenente ad R la funzione ammette solo uno zero.
Si nota che per x=+- 1 $f(x) = q$ quindi nell'intervallo -1 1 si puo' applicare Rolle . ed allora esisterà un valore di x per cui $f'(x) = 0$ all'interno dell'intervallo -1 1 .
Non riesco a concludere e comunque la dimostrazione che ammette almeno uno zero non riesco a trovarla.
Grazie.
Si nota che per x=+- 1 $f(x) = q$ quindi nell'intervallo -1 1 si puo' applicare Rolle . ed allora esisterà un valore di x per cui $f'(x) = 0$ all'interno dell'intervallo -1 1 .
Non riesco a concludere e comunque la dimostrazione che ammette almeno uno zero non riesco a trovarla.
Grazie.
Risposte
secondo me devi sfruttare il fatto che si tratta di funzione polinomiale (quindi continua) e fare i limiti a $+ oo$ e $- oo$
La dimostrazione che esiste almeno una zero è immediata: la funzione è continua $AA x$ e tende a $+-oo$ per $x->+-oo$: una funzione continua che cambia segno ammette almeno uno zero.
Quanto al resto, vuoi risolvere l'equazione $x^3-x+q=0$ e puoi vederla come soluzione del sistema
${(y=x^3-x), (y=-q):}$
La prima curva ha un massimo in $(-1/sqrt3, 2/(3sqrt3))$ e un minimo in $(1/sqrt3, -2/(3sqrt3))$; la seconda la incontra in un solo punto se $q$ è esterno all'intervallo $(-2/(3sqrt3), 2/(3sqrt3))$.
Quanto al resto, vuoi risolvere l'equazione $x^3-x+q=0$ e puoi vederla come soluzione del sistema
${(y=x^3-x), (y=-q):}$
La prima curva ha un massimo in $(-1/sqrt3, 2/(3sqrt3))$ e un minimo in $(1/sqrt3, -2/(3sqrt3))$; la seconda la incontra in un solo punto se $q$ è esterno all'intervallo $(-2/(3sqrt3), 2/(3sqrt3))$.
Propongo un'alternativa, più fine ma più complicata: la funzione è un polinomio di terzo grado, quindi ammette tre soluzioni appartenenti a \(\mathbb{C}\), contate con molteplicità [Teorema Fondamentale dell'Algebra].
Basta ora ricordare che, per i polinomi a coefficienti reali, se \(f(z) = 0\) allora anche \(f(\bar z) = 0\), dove \(\bar z\) è il complesso coniugato di \(z\); questo significa che un polinomio che non ha soluzioni reali (\(z = \bar z\)) è per forza di grado pari, e quindi questo polinomio ha almeno una soluzione reale.
Basta ora ricordare che, per i polinomi a coefficienti reali, se \(f(z) = 0\) allora anche \(f(\bar z) = 0\), dove \(\bar z\) è il complesso coniugato di \(z\); questo significa che un polinomio che non ha soluzioni reali (\(z = \bar z\)) è per forza di grado pari, e quindi questo polinomio ha almeno una soluzione reale.
Raptorista sei un cranio.
Accedi a tutti gli appunti
Tutor AI: studia meglio e in meno tempo