Funzioni suriettive
un dubbio mi attanaglia...
una funzione suriettiva è definita dal fatto che a ogni elemento del suo codominio è associato almeno un elemento del dominio...ma se il codominio è l' insieme dei valori che una funzione f "fornisce" su un dominio D, allora la definizione di funzione suriettiva è inutile, nel senso che non esistono funzioni non suriettive...
molto probabilmente sono io che interpreto male il concetto di codominio, però non riesco a districarmi...
grazie mille
jack
una funzione suriettiva è definita dal fatto che a ogni elemento del suo codominio è associato almeno un elemento del dominio...ma se il codominio è l' insieme dei valori che una funzione f "fornisce" su un dominio D, allora la definizione di funzione suriettiva è inutile, nel senso che non esistono funzioni non suriettive...
molto probabilmente sono io che interpreto male il concetto di codominio, però non riesco a districarmi...
grazie mille
jack
Risposte
Infatti stai confondendo il codominio con l'immagine del dominio $f(A)$.
In generale $f(A)$ è sottoinsieme di B che è il codominio.
Se la funzione è suriettiva allora $f(A)=B$
In generale $f(A)$ è sottoinsieme di B che è il codominio.
Se la funzione è suriettiva allora $f(A)=B$
quindi nelle funzioni reali di variabile reale, il codominio è tutto R?
Esattamente. 
perfetto, ora mi è tutto più chiaro, grazie mille!!!
Magari mi sbaglio, ma se definisco una funzione $f:\mathbb{R}\rightarrow\mathbb{R}^{+}$, ad esempio con $f(x)=e^{x}$, il codominio in questo caso non dovrebbe essere l'insieme dei reali positivi, e dunque non tutto $\mathbb{R}$?
Anch'io ho solo recentemente iniziato a capire queste cosa... credo che tutto dipenda da come definisci la funzione:
se definisci $f:RRtoRR^+$ allora il codominio è l'insieme dei reali positivi, mentre se definisci $f:RRtoRR$ il codominio sarà tutto $RR$, fermo restando che l'immagine in entrambi i casi è $RR^+$
se definisci $f:RRtoRR^+$ allora il codominio è l'insieme dei reali positivi, mentre se definisci $f:RRtoRR$ il codominio sarà tutto $RR$, fermo restando che l'immagine in entrambi i casi è $RR^+$
Tipper, nessuno ti vieta di definire una funzione come dici tu.
E quello che dice Kroldar è corretto.
Il punto è che, quando si parla di "funzione reale di variabile reale" si intende che il codominio è tutto $\mathbb{R}$
In altre parole, la funzione che tu hai definito non è ciò che usualmente viene detto "funzione reale di variabile reale" (come Kroldar ricorderà, da un altro post...)
E quello che dice Kroldar è corretto.
Il punto è che, quando si parla di "funzione reale di variabile reale" si intende che il codominio è tutto $\mathbb{R}$
In altre parole, la funzione che tu hai definito non è ciò che usualmente viene detto "funzione reale di variabile reale" (come Kroldar ricorderà, da un altro post...)
"Fioravante Patrone":
In altre parole, la funzione che tu hai definito non è ciò che usualmente viene detto "funzione reale di variabile reale" (come Kroldar ricorderà, da un altro post...)
Eh già
Ok, grazie per il chiarimento.
Ha senso definire la funzione identica $f:\mathbb{R}\rightarrow\mathbb{R}^{+}$?
Secondo me no, perché l'immagine non sarebbe contenuta nel dominio; è così o mi sbaglio?
Secondo me no, perché l'immagine non sarebbe contenuta nel dominio; è così o mi sbaglio?
Dunque vediamo di chiarire un po' di cose...
Siano X, Y insiemi qualunque.
Quando si scrive $f:X ->Y$ si intende dire:
f definita in X a valori in Y, ovvero X è
il dominio, del quale ogni elemento viene
associato a uno e un solo elemento dell'insieme Y;
quest'ultimo si dice codominio della funzione f, che
quindi contiene tutti i valori y=f(x) assunti da f in $x in X$.
In generale per codominio si intende un qualsiasi
insieme che contiene l'immagine di f, dove per immagine si
intende l'insieme di TUTTI E SOLI i valori che f assume in X,
denotato con $"im" f$ o $f(X)$.
Prendendo ad esempio una funzione definita
in tutto $RR$ a valori in $RR$, $f(x)=x^2$,
tutti sappiamo che $f(X)=[0,+oo)$; ci sono infiniti
codomini possibili per f, ovviamente $RR$ è il più
grande, poi ci potrebbe essere ad esempio
$[0,+oo) uu {-1}$, $[0,+oo) uu {-root(3)2}$
e così via, e si può scegliere chiaramente anche
l'immagine stessa come codominio, infatti
possiamo scrivere $f(X)=[0,+oo) sube [0,+oo)$
(notare che in questo caso il sottoinsieme non è proprio),
mentre ad esempio scegliendo il codominio $[0,+oo) uu {-1}$
si può scrivere $f(X)=[0,+oo) sub [0,+oo) uu {-1}$.
Siano X, Y insiemi qualunque.
Quando si scrive $f:X ->Y$ si intende dire:
f definita in X a valori in Y, ovvero X è
il dominio, del quale ogni elemento viene
associato a uno e un solo elemento dell'insieme Y;
quest'ultimo si dice codominio della funzione f, che
quindi contiene tutti i valori y=f(x) assunti da f in $x in X$.
In generale per codominio si intende un qualsiasi
insieme che contiene l'immagine di f, dove per immagine si
intende l'insieme di TUTTI E SOLI i valori che f assume in X,
denotato con $"im" f$ o $f(X)$.
Prendendo ad esempio una funzione definita
in tutto $RR$ a valori in $RR$, $f(x)=x^2$,
tutti sappiamo che $f(X)=[0,+oo)$; ci sono infiniti
codomini possibili per f, ovviamente $RR$ è il più
grande, poi ci potrebbe essere ad esempio
$[0,+oo) uu {-1}$, $[0,+oo) uu {-root(3)2}$
e così via, e si può scegliere chiaramente anche
l'immagine stessa come codominio, infatti
possiamo scrivere $f(X)=[0,+oo) sube [0,+oo)$
(notare che in questo caso il sottoinsieme non è proprio),
mentre ad esempio scegliendo il codominio $[0,+oo) uu {-1}$
si può scrivere $f(X)=[0,+oo) sub [0,+oo) uu {-1}$.
... quindi non ha senso definire la funzione identica $f(x)=x$ come $f:\mathbb{R}\rightarrow\mathbb{R}^{+}$ perché l'immagine non è contenuta nel codominio...
A dire il vero, così come dici la tua non sarebbe neppure una funzione!
Al limite potresti restringere anche il dominio ai reali positivi, allora potrebbe pure andare.
Al limite potresti restringere anche il dominio ai reali positivi, allora potrebbe pure andare.
"laura.todisco":
A dire il vero, così come dici la tua non sarebbe neppure una funzione!
Al limite potresti restringere anche il dominio ai reali positivi, allora potrebbe pure andare.
Ecco la risposta: non ha senso definirla.
Non ha senso definirla così perché prima
di scrivere una funzione devi tenere conto
che devono essere SEMPRE già assegnati il dominio
e il codominio. Se scrivi $f:RR->RR^+$ dici
che f è definita in tutto $RR$ e che f ha valori
in $RR^+$, che è quindi il codominio;
detto questo puoi scrivere
l'espressione analitica della funzione,
ed in questo caso andava bene $f(x)=x^2$,
infatti è definita in tutto $RR$ e ha codominio
(in questo caso tu hai scelto $RR^+$) ed
immagine coincidenti.
Non puoi mai fare il contrario, cioè scrivere
prima l'espressione analitica e poi assegnare
dominio e codominio!
di scrivere una funzione devi tenere conto
che devono essere SEMPRE già assegnati il dominio
e il codominio. Se scrivi $f:RR->RR^+$ dici
che f è definita in tutto $RR$ e che f ha valori
in $RR^+$, che è quindi il codominio;
detto questo puoi scrivere
l'espressione analitica della funzione,
ed in questo caso andava bene $f(x)=x^2$,
infatti è definita in tutto $RR$ e ha codominio
(in questo caso tu hai scelto $RR^+$) ed
immagine coincidenti.
Non puoi mai fare il contrario, cioè scrivere
prima l'espressione analitica e poi assegnare
dominio e codominio!
Quello che si dovrebbe scrivere a rigore quando
si definisce una funzione è questo (ti faccio un esempio):
sia $f:[-1,1]->RR$ la funzione definita da $f(x)=sqrt(1-x^2)$...
(qui ho scelto come codominio $RR$ ma potevo scegliere ad esempio anche
$RR^+$ oppure la stessa immagine di f).
si definisce una funzione è questo (ti faccio un esempio):
sia $f:[-1,1]->RR$ la funzione definita da $f(x)=sqrt(1-x^2)$...
(qui ho scelto come codominio $RR$ ma potevo scegliere ad esempio anche
$RR^+$ oppure la stessa immagine di f).
Accedi a tutti gli appunti
Tutor AI: studia meglio e in meno tempo