Funzioni logaritmiche identiche
So che una funzione logaritmica del tipo $y=log_(a)x$, con $a>0$ e a diverso da 1, ha dominio $x>0$ perché l'argomento deve essere positivo.
Non riesco però a capire perché le funzioni $y=log x^4$ e $y=4log x$ non siano identiche. Se nella seconda funzione considerassi anche $x$ negativi, mi basterebbe applicare il logaritmo di una potenza per ricondurmi all'argomento positivo. Più che altro non capisco bene questa cosa: com'è possibile che due funzioni non siano uguali quando scrivere $log a^x$ è equivalente allo scrivere $xlog a$?
Stessa cosa per questa funzione: $y= ln(x^2-1)$ e $y=ln(x-1) + ln(x+1)$: perché non rappresentano le stesse funzioni quando la prima deriva dalla seconda (applicando le proprietà del logaritmi, che dovrebbero rendere l'espressione equivalente ad ogni passaggio)?
In questo caso la seconda funzione ha effettivamente come dominio $x>1$; tuttavia non riesco a capire come si passi da un'equivalenza a due funzioni diverse.
Non riesco però a capire perché le funzioni $y=log x^4$ e $y=4log x$ non siano identiche. Se nella seconda funzione considerassi anche $x$ negativi, mi basterebbe applicare il logaritmo di una potenza per ricondurmi all'argomento positivo. Più che altro non capisco bene questa cosa: com'è possibile che due funzioni non siano uguali quando scrivere $log a^x$ è equivalente allo scrivere $xlog a$?
Stessa cosa per questa funzione: $y= ln(x^2-1)$ e $y=ln(x-1) + ln(x+1)$: perché non rappresentano le stesse funzioni quando la prima deriva dalla seconda (applicando le proprietà del logaritmi, che dovrebbero rendere l'espressione equivalente ad ogni passaggio)?
In questo caso la seconda funzione ha effettivamente come dominio $x>1$; tuttavia non riesco a capire come si passi da un'equivalenza a due funzioni diverse.
Risposte
"HowardRoark":
Non riesco però a capire perché le funzioni $y=log x^4$ e $y=4log x$ non siano identiche.
Non è vero che siano identiche: non hanno lo stesso dominio. Una funzione è composta da tre cose: dominio, codominio e legge di corrispondenza; se una sola è diversa le funzioni non sono identiche.
Cordialmente, Alex
Ho corretto il tuo messaggio perché se in arial la i maiuscola e la elle minuscola sono uguali, quando li scrivi nelle formule assumono aspetti diversi (credo che sia una specie di times) e il logaritmo naturale si scrive con la elle minuscola e la enne minuscola, non con una i maiuscola e una n minuscola.
Per l'esercizio, invece, devi tener conto che una funzione è caratterizzata prima di tutto dal suo dominio e poi dai valori che assume al variare della variabile indipendente.
Nel primo caso
$ y=log x^4 $ e $ y=4log x $, quando esistono entrambe assumono lo stesso valore, ma il dominio, ovvero le condizioni di esistenza, sono diverse, la prima esiste $AA x !=0$, mentre l'altra solo per $x>0$, domini diversi = funzioni diverse. In questo caso si potrebbe ovviare al problema mettendo il modulo, cioè $ y=4log |x| $ è la stessa funzione di $ y=log x^4 $, perché hanno lo stesso dominio.
Invece, per la funzione $ y= ln(x^2-1) $, che ha dominio $x< -1 vv x>1$ il prodotto nell'argomento potrebbe essere scritto come $(x+1)(x-1)$, ma anche $(-x-1)(1-x)$ quale delle due forme utilizzare nella trasformazione? Nessuna delle due è perfetta, avrai $ y=ln(x-1) + ln(x+1) $ per $x>1$, mentre $ y=ln(1-x) + ln(-x-1) $ per $x< -1$.
Per l'esercizio, invece, devi tener conto che una funzione è caratterizzata prima di tutto dal suo dominio e poi dai valori che assume al variare della variabile indipendente.
Nel primo caso
$ y=log x^4 $ e $ y=4log x $, quando esistono entrambe assumono lo stesso valore, ma il dominio, ovvero le condizioni di esistenza, sono diverse, la prima esiste $AA x !=0$, mentre l'altra solo per $x>0$, domini diversi = funzioni diverse. In questo caso si potrebbe ovviare al problema mettendo il modulo, cioè $ y=4log |x| $ è la stessa funzione di $ y=log x^4 $, perché hanno lo stesso dominio.
Invece, per la funzione $ y= ln(x^2-1) $, che ha dominio $x< -1 vv x>1$ il prodotto nell'argomento potrebbe essere scritto come $(x+1)(x-1)$, ma anche $(-x-1)(1-x)$ quale delle due forme utilizzare nella trasformazione? Nessuna delle due è perfetta, avrai $ y=ln(x-1) + ln(x+1) $ per $x>1$, mentre $ y=ln(1-x) + ln(-x-1) $ per $x< -1$.
Ok, quindi è possibile passare da una funzione a un'altra (nel senso definita in un dominio differente) adoperando passaggi algebrici. Per es. $y=ln(x^2-1)$ e $y=ln(x-1) + ln(x+1)$...
"HowardRoark":
Ok, quindi è possibile passare da una funzione a un'altra (nel senso definita in un dominio differente)
Eh, no … se è differente il dominio, è una funzione diversa … non capisco il senso di questa affermazione … quello che voglio dire è che mi sembra di vedere una certa "approssimazione" nel tuo approccio e questo non va bene (soprattutto perché sei all'inizio): se cambia il dominio, la funzione è un'altra. Punto.
Poi, all'atto pratico, questo può influire in maniera pesante oppure quasi nulla su ciò che stai facendo ma andrebbe evitato a priori e comunque ben ponderato … non so se sono stato chiaro ...
"axpgn":
[quote="HowardRoark"]Ok, quindi è possibile passare da una funzione a un'altra (nel senso definita in un dominio differente)
Eh, no … se è differente il dominio, è una funzione diversa … non capisco il senso di questa affermazione … quello che voglio dire è che mi sembra di vedere una certa "approssimazione" nel tuo approccio e questo non va bene (soprattutto perché sei all'inizio): se cambia il dominio, la funzione è un'altra. Punto.
Poi, all'atto pratico, questo può influire in maniera pesante oppure quasi nulla su ciò che stai facendo ma andrebbe evitato a priori e comunque ben ponderato … non so se sono stato chiaro ...[/quote]
Non volevo essere approssimativo, al contrario: una funzione - come hai detto - è composta da dominio, codominio e legge di corrispondenza; io non solo ho affermato che si può passare da una funzione ad un'altra adoperando passaggi algebrici, ma ho anche specificato che ciò che potrebbe cambiare è il dominio.
Magari ho dato l'idea che considerassi due funzioni che hanno soltanto dominio differente 'simili' (o con un altro concetto che, se ci fosse stato, sarebbe stato coniato appunto dalla mia approssimazione e non da una corrispondenza con quello che ho studiato) o comunque 'quasi uguali'. Comunque non intendevo questo
Se cambia il dominio, si tratta di una funzione diversa.
$ y=ln(x^2-1) =\{(ln(x-1) + ln(x+1), se\ \ x>1 ),(ln(1-x)+ln(-1-x), se\ \ x< -1 ):}$
$ y=ln(x^2-1) =\{(ln(x-1) + ln(x+1), se\ \ x>1 ),(ln(1-x)+ln(-1-x), se\ \ x< -1 ):}$
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