Funzioni inverse (281574)

[ferdondino]

Mi potreste fare un esempio di funzione iniettiva ma non biettiva e un altro esempio di funzione biettiva ma non iniettiva?

[Zero87]

Una funzione biettiva è, per definizione, una funzione iniettiva e suriettiva quindi non esiste un esempio di una funzione biettiva ma non iniettiva.
Correggo la tua domanda in questo modo, dimmi se è giusto.

Mi potreste fare un esempio di funzione iniettiva ma non suriettiva e un altro esempio di funzione suriettiva ma non iniettiva?

Ricordiamo in breve - ma davvero molto in breve - cosa vuol dire per una funzione

[math] f: A \to B [/math]

essere iniettiva, suriettiva e biettiva.
-

[math] f [/math]

è iniettiva se a diversi elementi di A corrispondono diversi elementi di B;
-

[math] f [/math]

è suriettiva se ogni elemento di B è immagine di un elemento di A;
-

[math] f [/math]

è biiettiva se iniettiva e suriettiva ovvero se a diversi elementi di A corrispondono diversi elementi di B e tutti gli elementi di B sono immagine di elementi di A.

Per quanto riguarda una funzione iniettiva ma non suriettiva, l'esempio classico è

[math]f: \mathbb{R} - {0} \to \mathbb{R} \qquad f(x) = \frac{1}{x} [/math]

che si può dimostrare essere iniettiva ma non è suriettiva perché non esiste nessun valore di x per cui f(x)=0. Non è suriettiva per un valore... ma non è suriettiva lo stesso.
Nota: se una funzione è iniettiva ma non suriettiva non è biettiva quindi vale anche come esempio se hai chiesto una funzione "iniettiva ma non biettiva".


Per quanto riguarda una funzione suriettiva ma non iniettiva, il classico esempio è la parabola

[math]f: \mathbb{R} \to \mathbb{R}^+ \qquad f(x) = x^2 [/math]

che è suriettiva nei reali non negativi, ma non è iniettiva.

Sulla funzione suriettiva ma non iniettiva ti do una piccola specifica ulteriore.
C'è un po' di contrasto tra professore e professore in questo secondo punto perché se si considera la parabola come funzione dai reali ai reali non è suriettiva poiché i reali non sono immagine di un elemento del dominio.
In tal caso, se "non sono lecite" restrizioni dell'immagine di

[math] f [/math]

l'esempio di una funzione suriettiva ma non iniettiva è

[math] f(x) = \tan(x) [/math]

. Non te l'ho citato subito perché non so in che anno stai, quindi non so se conosci la trigonometria.