Funzioni Goniometriche Maturità

[violetmari1]

Salve ragazzi, domani ho l'esame di maturità, e ho alcune difficoltà con le funzioni goniometriche. In particolar modo, ho visto quella dell'anno scorso ed avrei bisogno di spiegazioni sulla risoluzione, poichè non riesco a capire i procedimenti.
La funzione è : $ y=sin(3/2πx) $

[@melia]

Si tratta di tracciare il grafico della funzione seno, cosa che sai fare benissimo, solo che il periodo è diverso dal solito. Per trovare il periodo devi ricordare che $3/2 pi x +2 pi = 3/2 pi (x + T)$, ricavi T (che viene $4/3$) ed è fatta, nell'intervallo $[0, 4/3]$ devi disegnare un'onda completa della funzione seno.

[violetmari1]

"@melia":Si tratta di tracciare il grafico della funzione seno, cosa che sai fare benissimo, solo che il periodo è diverso dal solito. Per trovare il periodo devi ricordare che $3/2 pi x +2 pi = 3/2 pi (x + T)$, ricavi T (che viene $4/3$) ed è fatta, nell'intervallo $[0, 4/3]$ devi disegnare un'onda completa della funzione seno.

Sinceramente non riesco proprio a capire questa relazione. Ho sempre avuto un rifiuto per la goniometria -.-.

[Zero87]

"violetmari":Salve ragazzi, domani ho l'esame di maturità

Comunque, a parte questo, vedrò di spiegartelo con più semplicità.

Considera la funzione $y= sin(x)$ che dovresti conoscere (penso di sì dato che ne parli ).
Questa funzione, come grafico, è rappresentata da un'onda ed è periodica di periodo $2\pi$, cioè - terra terra - ogni $2\pi$ si ripete. Detto meglio $sin(2\pi + x)= sin(x)$.

Che funzione è $sin(3/2 \pi x)$?
E' del tipo $sin(a \cdot x)$ dove $a$ è un numero - in fondo il $\pi$, per quanto strano e $3,1415$, è una quantità reale - e il fatto che $a$ è un numero ne rende facile lo studio senza ingarbugliarsi con uno studio classico di funzione.

Ora, siccome $a$ è una costante reale (un numero, come detto, ma "costante reale" è un termine che fa chic), per vedere il periodo della nuova funzione ci si può rapportare a quello del seno puro e semplice. Basta porre
$a \cdot b=2\pi$
Da cui, in questo caso, si ha
$3/2 \pi \cdot b= 2\pi$ ovvero
$b= 4/3$.

Dopo che ho premesso che questo calcolo me lo faccio mentalmente e che questo è il "mio" metodo (ma comunque si può mostrare con qualche tecnicismo che funziona), posso capire che ti stai chiedendo "che ca...volo è $b$?"

Il mio ragionamento è questo
- $a$ (nel nostro caso $3/2 \pi$) è una costante, quindi non influenza il comportamento dell'onda, ma solo il periodo: puoi vedere, ad es., che nel caso di $sin(x^2)$ l'onda tende sempre ad essere "più stretta" man mano che ci si allontana dall'origine perché $x$ non è una costante, ma la stessa variabile ($sin(x^2)=sin(x \cdot x)$, nel mio schema mentale).
- siccome $a$ varia solo il periodo, voglio vedere di quanto varia, cioè voglio vedere quanto manca ad $a$ per arrivare a $2\pi$, nel mio caso $4/3$.

Quindi, puoi anche sostituire e verificare, vuol dire che
$sin(ax)= sin(a(x+b))$
cioè $sin(3/2 \pi x)= sin(3/2 \pi (x+4/3))$
che riporta, in quanto
$sin(3/2 \pi (x+4/3))= sin(3/2 \pi x + 3/2 \cdot 4/3 \pi)= sin(3/2 \pi x + 2\pi)= sin(3/2 \pi x)$.

Questo vuol dire che la nuova onda, dunque il nuovo grafico, è uguale al precedente, ma proporzionalmente ridotto in lunghezza in quanto il periodo dell'onda è $4/3 $, quindi il seno parte da zero, a $4/3 \cdot 1/4$ vale 1, a $4/3 \cdot 1/2 $ vale 0, a $4/3 \cdot 3/4$ vale -1 $ e a $4/3$ vale 0 per poi ripetersi.

In altre parole moltiplicare l'argomento del seno per una costante ne allunga o riduce il periodo: questa è una delle cose che si fanno quando si ha a che fare con i grafici deducibili (ne parlavo con un utente/utentessa qualche tempo fa, mi sa che era seulcontretous se non erro).

ATTENZIONE
Il metodo da me descritto è un po' contorto (ho provato ad esporlo semplicemente) e quindi se non sei sicura di quello che ho detto o pensi che sia contorto, lascia perdere e passa oltre: lungi da me l'idea di metterti ansia per la maturità!

[violetmari1]

Ho più o meno capito, grazie!!!