Funzioni goniometriche (46914)

[mr.domenico93]

Semplificazione espressioni di funzioni goniometriche
Potete mettere lo svolgimento con la descrizione delle fasi?

sin 2α-2sin(30°+α)*cos(3/4 π -2α)

Aggiunto 32 minuti più tardi:

asppp
nell'ultimaparte
è cos(30°-α)

Aggiunto 2 minuti più tardi:

# BIT5 :
E' questa?

[math] \sin (2 \alpha)-2 \sin (30^{\circ}+ \alpha)cos( \frac34 \pi-2 \alpha) [/math]

e' cosi' il testo?

nell'ultimaparte è cos(30°-α)
scusa avevo letto quellosotto

Aggiunto 4 minuti più tardi:

# BIT5 :
E' questa?

[math] \sin (2 \alpha)-2 \sin (30^{\circ}+ \alpha)cos( 30^{\circ} - \alpha) [/math]

e' cosi' il testo?

siiii

[BIT5]

E' questa?

[math] \sin (2 \alpha)-2 \sin (30^{\circ}+ \alpha)cos( 30^{\circ} - \alpha) [/math]

e' cosi' il testo?

Aggiunto 16 minuti più tardi:

Primo addendo:

Ricordiamo la formula di duplicazione del seno:

[math] \sin (2x)=2 \sin x \cos x [/math]

Quindi il primo addendo sara'

[math] 2 \sin \alpha \cos \alpha [/math]

Vediamo la moltiplicazione

Ricordiamo la formula di addizione del seno:

[math] \sin (x+y) = \sin x \cos y + \sin y \cos x [/math]

Poi ricordiamo la formula di sottrazione del coseno:

[math] \cos (x-y)= \cos x \cos y + \sin x \sin y [/math]

Ricordiamo infine che seno 30 = 1/2 e coseno30 = rad3/2

Quindi la moltiplicazione sara':

[math] -2 ( \sin 30 \cos \alpha + \cos 30 \sin \alpha)(\cos 30 \cos \alph + \sin 30 \sin \alpha) [/math]

e dunque

[math] -2( \frac12 \cos \alpha + \frac{\sqrt3}{2} \sin \alpha)(\frac{\sqrt3}{2} \cos \alpha + \frac12 \sin \alpha) [/math]

Raccogliamo 1/2 per comodita'

[math]-2 (\frac12 ( \cos \alpha + \sqrt3 \sin \alpha))(\frac12 (\sqrt3 \cos \alpha + \sin \alpha)) [/math]

E quindi, siccome sono tutti fattori, possiamo scegliere di moltiplicarli in ordine sparso (per la prorpieta' commutativa)

Avremo

[math] -2 \cdot \frac12 \cdot \frac12 (\cos \alpha + \sqrt3 \sin \alpha)(\sqrt3 \cos \alpha + \sin \alpha) [/math]

Moltiplichiamo

[math] - \frac12 (\sqrt3 \cos^2 \alpha + \sin \alpha \cos \alpha + 3 \sin \alpha \cos \alpha + \sqrt3 \sin^2 \alpha) [/math]

E quindi

[math]- \frac12 ( \sqrt3 \cos^2 \alpha + \sqrt3 \sin^2 \alpha + 4 \sin \alpha \cos \alpha) [/math]

Raccogliamo radice di 3

[math] - \frac12 ( \sqrt3(\sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha) + 4 \sin \alpha \cos \alpha) [/math]

Ricorda la proprieta' fonamentale della trigonometria:

[math] \sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha = 1 [/math]

Quindi avrai

[math] - \frac12 ( \sqrt3 + 4 \sin \alpha \cos \alpha) [/math]

Moltiplica per -1/2

[math] - \frac{\sqrt3}{2} - 2 \sin \alpha \cos \alpha [/math]

Riscriviamo dunque l'espressione COMPLETA, (ovvero quest'ultimo e' il risultato del calcolo del secondo addendo... avevamo anche sin(2a))

[math] 2 \sin \alpha \cos \alpha - \frac{\sqrt3}{2} - 2 \sin \alpha \cos \alpha = - \frac{\sqrt3}{2} [/math]

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