Funzioni esercizi
Ragazzi mi potreste aiutare nello svolgimento di questi due esercizi sulle funzioni? Grazie
1) Verificare che f : x -> x-2, g : x -> -x+3 sono corrispondenze biunivoche, tra Z e Z, così come pure f○g e g○f.
Verificare che $(f o g)^-1$ = $g^-1$ o $f^-1$= i, essendo i : x -> x
2)Date le funzioni f : x -> 2x e g : x -> 5x, verificare che f, g, f o g sono funzioni biunivoche tra Q e Q; calcolare $f^-1$; $g^-1$; $(f o g)^-1$ e dimostrare che $(f o g)^-1 = g^-1 o f^-1 = f^-1 o g^-1$

1) Verificare che f : x -> x-2, g : x -> -x+3 sono corrispondenze biunivoche, tra Z e Z, così come pure f○g e g○f.
Verificare che $(f o g)^-1$ = $g^-1$ o $f^-1$= i, essendo i : x -> x
2)Date le funzioni f : x -> 2x e g : x -> 5x, verificare che f, g, f o g sono funzioni biunivoche tra Q e Q; calcolare $f^-1$; $g^-1$; $(f o g)^-1$ e dimostrare che $(f o g)^-1 = g^-1 o f^-1 = f^-1 o g^-1$
Risposte
per quanto riguarda il punto 1) : f(x)=x-2 definita in Z e a valori in Z; dobbiamo provare che è biunivoca , allora preso y=a che appartiena a Z(codominio) posso trovare x che appartiena a Z (dominio) e tale che f(x)=a; infatti si ha che a=x-2 e cioè x=a+2 ma a e 2 appartengono a Z, quindi anche x=a+2 appartiene a Z ed è l'unico elemento di Z per cui ho f(x)=a (ovviamente!); quindi f(x)=x-2 è biettiva.
per provare l'altro si ragiona in modo analogo
ciao
per provare l'altro si ragiona in modo analogo
ciao
fog e gof sono due funzioni composte ( dette anche funzioni di funzioni) ; fog=f(g(x))=f(3-x)=(3-x)-2=3-x-2=1-x
gof=-(x-2)+3=2-x+3=-x+5
si prova che sono biettive ragionando in modo analogo per la funzione f(x)
gof=-(x-2)+3=2-x+3=-x+5
si prova che sono biettive ragionando in modo analogo per la funzione f(x)
Premesso che: g(x)= $(x)/(2)$ ; f(x)= 2x+1
Ragazzi mi sapreste dire il calcolo che fa il professore per fare ciò: (grazie)
g(f(x))= $(2x+1)/(2)$
Ragazzi mi sapreste dire il calcolo che fa il professore per fare ciò: (grazie)
g(f(x))= $(2x+1)/(2)$
vai, semplicemente, a sostituire la f(x) nella 'x' della funzione g(x)
Come mai esce $(2x+1)/(2)$? e la x del $(x)/(2)$ dove va a finire?
cosa significa dove va a finire?allora $g(x)=x/2$ , allora al posto di quella $x$ ci vai a mettere $2x+1$
ok..grazie 1000 della spiegazione

prego
Un'altra domandina sulle funzioni... 
Premesso che ad esempio f(x)= 2x+1 e g(x)= 3-2x
Come bisogna svolgere $(f o g)^-1$ ? grazie

Premesso che ad esempio f(x)= 2x+1 e g(x)= 3-2x
Come bisogna svolgere $(f o g)^-1$ ? grazie

f(x)= 2x+1 e g(x)= 3-2x
$fog(x)=f(g(x))=f(3-2x)=2*(3-2x)+1=7-4x$ a questo punto basta porre $7-4x=y$ e trovarsi l'inversa $x=(7-y)/4$ quindi $(f o g)^-1 (y)=(7-y)/4$
$fog(x)=f(g(x))=f(3-2x)=2*(3-2x)+1=7-4x$ a questo punto basta porre $7-4x=y$ e trovarsi l'inversa $x=(7-y)/4$ quindi $(f o g)^-1 (y)=(7-y)/4$
Grazie di cuore, ora mi è tutto chiaro

$fog=f(g(x))$ e cioè se $f(x)=2x+1$ e $g(x)=3-2x$, allora $fog=2(3-2x)+1=6-4x+1=-4x+7$. Per determinare l'inversa della funzione composta poniamo $fog=y$ e allora $y=-4x+7$ cioè $(7-y)/4=x$, ossia $x=(7-y)/4$ che è proprio la funzione inversa di $fog$
Grazie anche a te

prego