Funzioni e rappresentazione grafica
salve, ho dei dubbi sui grafici. y=2x^2-x-1
ho calcolato le coordinate:(0,-1),(1,0),(-1,2),(2,5),(-2,5)
l'esercizio richiede:determinare le coordinate dei punti di intersezione con gli assi cartesiani dei diagrammi corrispondenti alle equazioni indicate
ho calcolato le coordinate:(0,-1),(1,0),(-1,2),(2,5),(-2,5)
l'esercizio richiede:determinare le coordinate dei punti di intersezione con gli assi cartesiani dei diagrammi corrispondenti alle equazioni indicate
Risposte
Allora, qui parliamo già di studio di funzione...
La domanda che devi porti innanzitutto è: quand'è che una funzione incrocia l'asse delle ascisse, cioè l'asse
Risposta: quando la variabile dipendente
Questo significa che le coordinate dei punti di intersezione tra la funzione e l'asse
Nel tuo caso, come abbiamo detto e ripetuto, la funzione
Proviamo a svolgere:
Abbiamo trovato che la parabola incrocia l'asse
Trovare, invece, il punto di intersezione con l'asse
Spero di averti chiarito un po' le idee, ma visti i tuoi dubbi ti consiglio di ripassare tutto per bene.
La domanda che devi porti innanzitutto è: quand'è che una funzione incrocia l'asse delle ascisse, cioè l'asse
[math]x[/math]
?Risposta: quando la variabile dipendente
[math]y[/math]
vale [math]0[/math]
.Questo significa che le coordinate dei punti di intersezione tra la funzione e l'asse
[math]x[/math]
corrispondono alla o alle soluzioni dell'equazione [math]f(x)=0[/math]
.Nel tuo caso, come abbiamo detto e ripetuto, la funzione
[math]2x^2-x-1[/math]
è una parabola e corrisponde, algebricamente, a una equazione di secondo grado che, come saprai, ammette due soluzioni distinte: la parabola avrà quindi (come nella maggior parte dei casi) due punti di intersezione con l'asse [math]x[/math]
.Proviamo a svolgere:
[math]2x^2-x-1=0[/math]
[math]
x_1=\frac{-(-1)+\sqrt{(-1)^2-4[2\cdot (-1)]}}{2\cdot2}=
\frac{1+\sqrt{9}}{4}=1
[/math]
x_1=\frac{-(-1)+\sqrt{(-1)^2-4[2\cdot (-1)]}}{2\cdot2}=
\frac{1+\sqrt{9}}{4}=1
[/math]
[math]
x_2=\frac{-(-1)-\sqrt{(-1)^2-4[2\cdot (-1)]}}{2\cdot2}=
\frac{1-\sqrt{9}}{4}=-\frac{1}{2}
[/math]
x_2=\frac{-(-1)-\sqrt{(-1)^2-4[2\cdot (-1)]}}{2\cdot2}=
\frac{1-\sqrt{9}}{4}=-\frac{1}{2}
[/math]
Abbiamo trovato che la parabola incrocia l'asse
[math]x[/math]
nei punti [math](1;0)[/math]
e [math](-\frac{1}{2};0)[/math]
.Trovare, invece, il punto di intersezione con l'asse
[math]y[/math]
significa trovare il valore assunto dalla funzione quando [math]x=0[/math]
.[math]f(0)=2(0)^2-0-1=-1[/math]
Spero di averti chiarito un po' le idee, ma visti i tuoi dubbi ti consiglio di ripassare tutto per bene.
allora, io le equazioni di secondo grado non le ho ancora studiate. I valori li posso trovare col metodo normale? Cioè se non conosco le equazioni di secondo grado posso creare la parabola?
se non conosci le equazioni di secondo grado puoi usare le scomposizioni di polinomi.
com'è il metodo? potresti spiegarmelo cortesemente
Aggiunto 3 secondi più tardi:
com'è il metodo? potresti spiegarmelo cortesemente
Aggiunto 16 minuti più tardi:
cioè il mio esercizio, richiede anche il grafico o soltanto le soluzioni?
Aggiunto 3 secondi più tardi:
com'è il metodo? potresti spiegarmelo cortesemente
Aggiunto 16 minuti più tardi:
cioè il mio esercizio, richiede anche il grafico o soltanto le soluzioni?
l'esercizio richiede: determinare le coordinate dei punti di intersezione con gli assi cartesiani dei diagrammi corrispondenti alle equazioni indicate
Se la traccia è questa direi che bastano le soluzioni.
Proviamo allora con la scomposizione in fattori.
Sai scomporre un trinomio della forma
[math]2x^2-x-1[/math]
?I passaggi sono i seguenti; spero ti ricordino qualcosa:
[math]2x^2-x-1=[/math]
[math]2x^2+(-2+1)x-1=[/math]
[math]2x^2-2x+x-1=[/math]
[math]2x(x-1)+x-1=[/math]
[math](2x+1)(x-1)[/math]
Attraverso la scomposizione otteniamo una scrittura equivalente alla funzione iniziale sotto forma di prodotto di due fattori: il binomio
[math](2x+1)[/math]
e il binomio [math](x-1)[/math]
.Sapendo che un prodotto è
[math]0[/math]
quando almeno uno dei fattori è pari a [math]0[/math]
, l'equazione di secondo grado di cui sopra si "scompone" in due semplici equazioni di primo grado:[math]2x+1=0\rightarrow x=-\frac{1}{2}[/math]
[math]x-1=0\rightarrow x=1[/math]
da cui otteniamo i due punti di intersezione della funzione con l'asse
[math]x[/math]
, gli stessi che ho ottenuto sopra.Per quanto riguarda l'intersezione con l'asse
[math]Y[/math]
, invece, dovrebbe esserti chiaro il procedimento che ho svolto.
i punti li ho capiti, non so mettere il grafico, cioè disegnare la parabola, non mi riesce farla sul piano cartesiano. Mi riescono solo le rette so che la parola è del tipo 2x^2-x-1
per disegnare la parabola ti serve essenzialmente calcolare il vertice e le intersezioni con gli assi. Una volta trovati tracci una linea morbida (niente segmenti dritti) che colleghi i vari punti.
il professore disse di collegare i punti, ma non mi riesce. cioè i punti li collego come fosse una curva?
esatto
non ci riesco, ci sto provando. cioè da quali punti devo cominciare?
non ci riesco, ci sto provando. cioè da quali punti devo cominciare?
non ci riesco, ci sto provando. cioè da quali punti devo cominciare?
da quello più a destra fino a quello più a sinistra o viceversa
allora ora metto l'esempio: x^2-x-1, in questo caso è una parabola
y=x^2-x-1 è SEMPRE una parabola, non "in questo caso"
capito, i valori trovati sono: A(0;-1)
B(1;0) (2,5) (-2,9)
B(1;0) (2,5) (-2,9)
se la tua funzione è y=2x^2-x-1, tra tutti i punti che hai scritto, solo (0;-1) e (1;0) sono corretti ma te ne manca uno...
Credo che tu stia facendo la stessa cosa che facevi con la retta, cioè, davi un valore alla x e ricavavi la y. Ecco, non è quello che devi fare qui.
Per trovare le intersezioni con l'asse y (cioè x=0) devi sostituire x=0 nell'equazione, quindi y=2*0^2-0-1 quindi abbiamo x=0 e y=-1 cioè il punto che tu hai chiamato A.
Adesso devi trovare gli altri 2 punti, dati dall'intersezione tra la parabola e l'asse x (cioè y=0).
Per trovarli devi risolvere 2x^2-x-1=0 e che, come abbiamo già visto, ti dà x=1 e x=-1/2. Per trovare le rispettive coordinate y devi sostituire alla tua equazione y=2x^2-x-1 una volta 1 (e trovi l'altro punto che avevi fatto bene, cioè (1,0) e una volta -1/2 e troverai il tuo ultimo punto.
Credo che tu stia facendo la stessa cosa che facevi con la retta, cioè, davi un valore alla x e ricavavi la y. Ecco, non è quello che devi fare qui.
Per trovare le intersezioni con l'asse y (cioè x=0) devi sostituire x=0 nell'equazione, quindi y=2*0^2-0-1 quindi abbiamo x=0 e y=-1 cioè il punto che tu hai chiamato A.
Adesso devi trovare gli altri 2 punti, dati dall'intersezione tra la parabola e l'asse x (cioè y=0).
Per trovarli devi risolvere 2x^2-x-1=0 e che, come abbiamo già visto, ti dà x=1 e x=-1/2. Per trovare le rispettive coordinate y devi sostituire alla tua equazione y=2x^2-x-1 una volta 1 (e trovi l'altro punto che avevi fatto bene, cioè (1,0) e una volta -1/2 e troverai il tuo ultimo punto.
questo quindi è il metodo? vale sempre per questo tipo di funzioni? devo prima diciamo scomporle? poi mettere i valori delle 2 x al posto della x e ricavare y?
per ricavare le intersezioni con l'asse x sì (almeno finchè non farai le equazioni di secondo grado)
non le ho ancora fatte. Scusa se ti sto disturbando ma sei molto brava, comunque il polinomio 2x^2-x-1 come si scompone? Le ho fatte le scomposizioni ma di questo tipo mai
non le ho ancora fatte. Scusa se ti sto disturbando ma sei molto brava, comunque il pol. 2x^2-x-1 come si scompone?
non le ho ancora fatte. Scusa se ti sto disturbando ma sei molto brava, comunque il pol. 2x^2-x-1 come si scompone?
un metodo te l'ha spiegato SteDV all'inizio, altri metodi possono essere o Ruffini oppure raccogli prima un 2 ed ottieni
poi scomponi il polinomio tra parentesi come un trinomio notevole (o somma-prodotto, a seconda del libro che uno utilizza)
nel caso non te lo ricordassi, si fa nel modo seguente.
Si parte da un polinomio
Adesso devi trovare due numeri la cui somma è s e il prodotto è p. E' banale che i due numeri siano -1 e 1/2 quindi il polinomio
Da questi, per trovare i valori delle x basta che poni ogni parentesi =0 e ricavi le x.
Nel nostro caso:
[math]2(x^2-\frac{x}{2}-\frac{1}{2}) [/math]
poi scomponi il polinomio tra parentesi come un trinomio notevole (o somma-prodotto, a seconda del libro che uno utilizza)
nel caso non te lo ricordassi, si fa nel modo seguente.
Si parte da un polinomio
[math]x^2+sx+p[/math]
dove s e p , nel nostro caso,sono s=-1/2 e p=-1/2.Adesso devi trovare due numeri la cui somma è s e il prodotto è p. E' banale che i due numeri siano -1 e 1/2 quindi il polinomio
[math]2(x^2-\frac{x}{2}-\frac{1}{2})[/math]
diventa [math]2(x-1)(x+\frac{1}{2})[/math]
.Da questi, per trovare i valori delle x basta che poni ogni parentesi =0 e ricavi le x.
Nel nostro caso:
[math]x-1=0[/math]
da cui [math]x=1[/math]
[math]x+\frac{1}{2}=0[/math]
da cui [math]x=-\frac{1}{2}[/math]
svolgendo 2x^2-x-1 con la regola di ruffini mi viene 1 1/2 vanno bene come valori di x?
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