Funzioni e dominio
Qual è la differenza tra trovare il dominio di una funzione e trovare i valori per i quali questa funzione è positiva? Scusate la banalità della domanda ma mi sono ritrovata alcune funzioni, che non ho ancora approcciato, nel capitolo dei radicali del Bergamini e faccio fatica a individuare le differenze, seppur per voi sicuramente scontate
Risposte
Il dominio è l'insieme dei valori della variabile per cui la funzione è definita, quale che sia il segno.
Per es. $1/x$ ha per dominio tutti i reali tranne lo zero, ma è positiva per $x>0$
Per es. $1/x$ ha per dominio tutti i reali tranne lo zero, ma è positiva per $x>0$
Il dominio di una funzione è un insieme su cui definisci la funzione.
Una funzione la scrivi così:
\( f: D \to \mathbb{R} \) dove \(D\) è il dominio, sono i valori che può prendere la funzione. Non sono necessariamente tutti i valori possibili che può prendere la funzione, anche se spesso quando ti si chiede "Trova il dominio della funzione" s'intende il più grande insieme \( D \subset \mathbb{R} \) per cui è definibile.
Ad esempio
\[ f : [1,100] \to \mathbb{R} \]
\[ x \mapsto \frac{1}{x} \]
è la funzione sul dominio \(D=[1,100] \), che manda un elemento del dominio \(x \mapsto f(x)= \frac{1}{x} \), ad esempio \( 1 \mapsto f(1) = \frac{1}{1}=1 \), e \( 50 \mapsto f(50)= \frac{1}{50} \).
Ma potresti definire questa funzione anche su altri domini, e il più grande dominio che è sottoinsieme di \( \mathbb{R} \) è \(D= \mathbb{R} \setminus \{0\} \), l'unico numero da escludere è lo \(0\) perché non puoi dividere per \(0\). Quindi
\[ f: \mathbb{R} \setminus \{0\} \to \mathbb{R} \]
\[ x \mapsto \frac{1}{x} \]
Nota che siccome i due domini sono diversi sono due funzioni differenti.
Mentre i valori per cui una funzione è positiva significa che trovare i valori \(x \), del domino, per cui \( f(x) > 0 \). Con il primo esempio abbiamo che il dominio \( D= [1,100] \) e i valori per cui \(f(x) >0 \) è uguale al dominio ovvero \( [1,100] \), in questo caso coincide con il dominio.. Nel secondo esempio invece quando \( D = \mathbb{R} \setminus \{0\} \) abbiamo che i valori per cui \(f(x) >0 \) sono \( (0,\infty) \), quindi non coincide con il dominio.
Una funzione la scrivi così:
\( f: D \to \mathbb{R} \) dove \(D\) è il dominio, sono i valori che può prendere la funzione. Non sono necessariamente tutti i valori possibili che può prendere la funzione, anche se spesso quando ti si chiede "Trova il dominio della funzione" s'intende il più grande insieme \( D \subset \mathbb{R} \) per cui è definibile.
Ad esempio
\[ f : [1,100] \to \mathbb{R} \]
\[ x \mapsto \frac{1}{x} \]
è la funzione sul dominio \(D=[1,100] \), che manda un elemento del dominio \(x \mapsto f(x)= \frac{1}{x} \), ad esempio \( 1 \mapsto f(1) = \frac{1}{1}=1 \), e \( 50 \mapsto f(50)= \frac{1}{50} \).
Ma potresti definire questa funzione anche su altri domini, e il più grande dominio che è sottoinsieme di \( \mathbb{R} \) è \(D= \mathbb{R} \setminus \{0\} \), l'unico numero da escludere è lo \(0\) perché non puoi dividere per \(0\). Quindi
\[ f: \mathbb{R} \setminus \{0\} \to \mathbb{R} \]
\[ x \mapsto \frac{1}{x} \]
Nota che siccome i due domini sono diversi sono due funzioni differenti.
Mentre i valori per cui una funzione è positiva significa che trovare i valori \(x \), del domino, per cui \( f(x) > 0 \). Con il primo esempio abbiamo che il dominio \( D= [1,100] \) e i valori per cui \(f(x) >0 \) è uguale al dominio ovvero \( [1,100] \), in questo caso coincide con il dominio.. Nel secondo esempio invece quando \( D = \mathbb{R} \setminus \{0\} \) abbiamo che i valori per cui \(f(x) >0 \) sono \( (0,\infty) \), quindi non coincide con il dominio.
A proposito di pignolerie ... 
A mio parere, si dovrebbe sottolineare il fatto che il domino dovrebbe sempre essere dato affinché una funzione esista (così come il codominio) e non solo la legge di corrispondenza; "trovare il dominio" lo trovo un (piccolo) abuso che però, secondo me, tende a fuorviare spesso lo studente, il quale finisce per identificare sempre la funzione con la sua legge, dimenticandosi che esiste un dominio (e un codominio).
Leggermente meglio dire "trovare il dominio più grande" (noto che oggi spesso si usa dire "dominio naturale", ancor meglio), comunque sempre improprio (che vuol dire "grande" per un insieme? poi si sottintende sempre che ci si trova nei reali ma non è detto ... )
IMHO
Cordialmente, Alex
A mio parere, si dovrebbe sottolineare il fatto che il domino dovrebbe sempre essere dato affinché una funzione esista (così come il codominio) e non solo la legge di corrispondenza; "trovare il dominio" lo trovo un (piccolo) abuso che però, secondo me, tende a fuorviare spesso lo studente, il quale finisce per identificare sempre la funzione con la sua legge, dimenticandosi che esiste un dominio (e un codominio).
Leggermente meglio dire "trovare il dominio più grande" (noto che oggi spesso si usa dire "dominio naturale", ancor meglio), comunque sempre improprio (che vuol dire "grande" per un insieme? poi si sottintende sempre che ci si trova nei reali ma non è detto ... )
IMHO
Cordialmente, Alex
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