Funzioni e calcolo combinatorio/calcolo delle probabilità
Salve a tutti 
Sono tornata a rompere le scatole perchè sono nella M con i compiti di matematica. Quest'anno sono pure rimandata perciò il 2 settembre mi aspetta l'esame. Ho finito la 4°superiore perciò gli argomenti saranno le funzioni (le più importanti ha detto la prof), il calcolo combinatorio e il calcolo delle probabilità. Ora, visto che le funzioni sono più importanti comincio da quelle. Nei compiti ci sono circa 6 funzioni razionali intere da svolgere (le altre 20 sono tutte fratte), solo che in classe abbiamo sempre fatto solo quelle fratte, perciò io con quelle intere, pur sapendo che non sono molto diverse dalle altre, non so farle. Non mi oriento proprio, per niente. Qualcuno di voi sarebbe così gentile da farmi solo la prima, come esempio, per favore? Il testo è questo $y=(x-1)^5$
Noi facciamo di solito Dominio, Simmetrie, Limiti, Asintoti, Intersezioni con gli assi, Studio del segno, Derivata prima, minimi e massimi, Derivata seconda e flessi, e poi ovviamente anche il grafico della funzione.
E' inutile scrivervi quello che ho fatto provando a risolverla, ho perfino dei dubbi sul Dominio, se sia $R$ oppure $X!=1$ ... I limiti dovrebbero essere giusti come li ho fatti, le intersezioni non credo e il resto ho qualche dubbio, di conseguenza il grafico è vuoto... (è veramente difficile usare i simboli al pc... posso hostare il mio foglio di brutta dove l'ho provata a svolgere?)
Per quanto riguarda il calcolo combinatorio e il calcolo delle probabilità, in alcuni mi viene il risultato sbagliato di pochissimo, non capisco cosa sbaglio nella formula... In alcuni altri non capisco cosa cambi nella formula... Tipo, ad esempio, ci sono 3 o 4 esercizi, uno di fila all'altro che chiedono cose simili, ma non uguali e mi sono persa ad un certo punto. Ve ne scrivo qualcuno:
1) In quanti modi si possono mettere 5 oggetti diversi in 7 cassetti, in modo che in ogni cassetto vi sia al massimo 1 oggetto?
2) In quanti modi posso collocare 5 oggetti in 3 cassetti?
3) Calcola in quanti modi si possono mettere 5 oggetti non distinti in 7 cassetti, in modo che in ogni cassetto vi sia al massimo 1 oggetto?
4) Determina in quanti modi si possono collocare 5 oggetti non distinti in 7 cassetti nell'ipotesi che un cassetto possa contenere più di 1 oggetto?
5) Calcola in quanti modi si possono collocare sei oggetti non distinti in 4 cassetti, nell'ipotesi che possa rimanere vuoto qualche cassetto.
6) In quanti modi si possono mettere sei oggetti non distinti in 4 cassetti, nell'ipotesi che tutti i cassetti contengano almeno 1 oggetto?
Tra tutti questi io sono riuscita a risolvere solo il primo, utilizzando le combinazioni e le permutazioni, facendo $C7,5*P5$ ma gli altri non so proprio come farli, se potete darmi una mano, vi ringrazio molto.
Sono tornata a rompere le scatole perchè sono nella M con i compiti di matematica. Quest'anno sono pure rimandata perciò il 2 settembre mi aspetta l'esame. Ho finito la 4°superiore perciò gli argomenti saranno le funzioni (le più importanti ha detto la prof), il calcolo combinatorio e il calcolo delle probabilità. Ora, visto che le funzioni sono più importanti comincio da quelle. Nei compiti ci sono circa 6 funzioni razionali intere da svolgere (le altre 20 sono tutte fratte), solo che in classe abbiamo sempre fatto solo quelle fratte, perciò io con quelle intere, pur sapendo che non sono molto diverse dalle altre, non so farle. Non mi oriento proprio, per niente. Qualcuno di voi sarebbe così gentile da farmi solo la prima, come esempio, per favore? Il testo è questo $y=(x-1)^5$Noi facciamo di solito Dominio, Simmetrie, Limiti, Asintoti, Intersezioni con gli assi, Studio del segno, Derivata prima, minimi e massimi, Derivata seconda e flessi, e poi ovviamente anche il grafico della funzione.
E' inutile scrivervi quello che ho fatto provando a risolverla, ho perfino dei dubbi sul Dominio, se sia $R$ oppure $X!=1$ ... I limiti dovrebbero essere giusti come li ho fatti, le intersezioni non credo e il resto ho qualche dubbio, di conseguenza il grafico è vuoto... (è veramente difficile usare i simboli al pc... posso hostare il mio foglio di brutta dove l'ho provata a svolgere?)
Per quanto riguarda il calcolo combinatorio e il calcolo delle probabilità, in alcuni mi viene il risultato sbagliato di pochissimo, non capisco cosa sbaglio nella formula... In alcuni altri non capisco cosa cambi nella formula... Tipo, ad esempio, ci sono 3 o 4 esercizi, uno di fila all'altro che chiedono cose simili, ma non uguali e mi sono persa ad un certo punto. Ve ne scrivo qualcuno:
1) In quanti modi si possono mettere 5 oggetti diversi in 7 cassetti, in modo che in ogni cassetto vi sia al massimo 1 oggetto?
2) In quanti modi posso collocare 5 oggetti in 3 cassetti?
3) Calcola in quanti modi si possono mettere 5 oggetti non distinti in 7 cassetti, in modo che in ogni cassetto vi sia al massimo 1 oggetto?
4) Determina in quanti modi si possono collocare 5 oggetti non distinti in 7 cassetti nell'ipotesi che un cassetto possa contenere più di 1 oggetto?
5) Calcola in quanti modi si possono collocare sei oggetti non distinti in 4 cassetti, nell'ipotesi che possa rimanere vuoto qualche cassetto.
6) In quanti modi si possono mettere sei oggetti non distinti in 4 cassetti, nell'ipotesi che tutti i cassetti contengano almeno 1 oggetto?
Tra tutti questi io sono riuscita a risolvere solo il primo, utilizzando le combinazioni e le permutazioni, facendo $C7,5*P5$ ma gli altri non so proprio come farli, se potete darmi una mano, vi ringrazio molto.
Risposte
Ciao,
perchè pensi che il dominio della funzione debba essere \(x \ne 1\) ?
Se sostituisci alla x il valore 1, hai difficoltà a calcolare la y ?
Per i problemi di calcolo combinatorio:
1) mi sembra corretto
2) il testo non specifica se gli oggetti sono distinti o no, per cui esaminerei entrambe le situazioni:
2a) oggetti distinti
In tal caso per il primo oggetto puoi scegliere fra 3 cassetti;
per il secondo oggetto puoi scegliere fra 3 cassetti... e così via.. quindi ? concludi tu..
2b) oggetti non distinti
Indico con una barretta | il delimitatore dei cassetti.
Sono 3 cassetti quindi abbiamo 2 delimitatori: | |
Tra questi delimiatatori dobbiamo inserire 5 oggetti, ad esempio: **|**|*
(2 oggetti nel primo cassetto, 2 nel secondo, 1 nel terzo)
Oppure: |****|* (nessun oggetto nel primo cassetto, 4 nel secondo, uno nel terzo)
Come vedi abbiamo sempre 7 elementi (5 oggetti e 2 delimitatori), in cui dobbiamo scegliere 2 dei 7 elementi che hanno la funzione
di delimitatore. In quanti modi possiamo farlo ?
Per gli altri esercizi si ragiona in modo simile: prova a proporre un tentativo di soluzione.
PS: derivate e flessi in quarta superiore.. per curiosità, che scuola frequenti ?
perchè pensi che il dominio della funzione debba essere \(x \ne 1\) ?
Se sostituisci alla x il valore 1, hai difficoltà a calcolare la y ?
Per i problemi di calcolo combinatorio:
1) mi sembra corretto
2) il testo non specifica se gli oggetti sono distinti o no, per cui esaminerei entrambe le situazioni:
2a) oggetti distinti
In tal caso per il primo oggetto puoi scegliere fra 3 cassetti;
per il secondo oggetto puoi scegliere fra 3 cassetti... e così via.. quindi ? concludi tu..
2b) oggetti non distinti
Indico con una barretta | il delimitatore dei cassetti.
Sono 3 cassetti quindi abbiamo 2 delimitatori: | |
Tra questi delimiatatori dobbiamo inserire 5 oggetti, ad esempio: **|**|*
(2 oggetti nel primo cassetto, 2 nel secondo, 1 nel terzo)
Oppure: |****|* (nessun oggetto nel primo cassetto, 4 nel secondo, uno nel terzo)
Come vedi abbiamo sempre 7 elementi (5 oggetti e 2 delimitatori), in cui dobbiamo scegliere 2 dei 7 elementi che hanno la funzione
di delimitatore. In quanti modi possiamo farlo ?
Per gli altri esercizi si ragiona in modo simile: prova a proporre un tentativo di soluzione.
PS: derivate e flessi in quarta superiore.. per curiosità, che scuola frequenti ?
Ok, penso di aver capito, ora provo a rifarli.
Frequento la Ragioneria
Frequento la Ragioneria
Se ci fai caso, in 2a) sono disposizioni con ripetizione; in 2b) combinazioni con ripetizione.
Giusto.. un tecnico commerciale!
Buono studio
Giusto.. un tecnico commerciale!
Buono studio
Per lo studio di funzione:
determina il dominio. Nella funzione che hai postato il dominio è R, infatti la funzione esiste sempre. Di solito dal dominio devi escludere quei punti in cui la funzione non esiste, ad es. se hai $f(x)=sqrtx"$ allora $D=R^+$.
Per le simmetrie devi vedere se la funzione è pari ($f(x)=-f(x)$) o dispari ($f(x)= -f(-x)$).
Nel tuo caso non è né pari né dispari.
Calcoli i limiti a più e meno infinito che in questo caso sono molto semplici, e poi calcoli le intersezioni con gli assi. Per l'intersezione con le ordinate poni $x=0$, per le ascisse $y=0$, anche qui i calcoli sono facili. Inoltre quando studi l'intersezione con l'asse delle x fai anche lo studio del segno
La derivata prima è facile da calcolare, determini il dominio (che è R), studi il segno e deduci quando la funzione cresce e quando descresce; inoltre trovi un punto di flesso a tangente orizzontale.
La derivata seconda ti dà informazioni su dove è rivolta la concavità.
Il grafico della funzione è questo:
[img]http://www4d.wolframalpha.com/Calculate/MSP/MSP165219geg7h3a49f5cbf000043ffed049ghfiec8?MSPStoreType=image/gif&s=27&w=290&h=109&cdf=Coordinates&cdf=Tooltips[/img]
p.s.: io a fine quarta avevo a mala pena finito di vedere le matrici, le derivate le ho fatte a Novembre in quinta!
determina il dominio. Nella funzione che hai postato il dominio è R, infatti la funzione esiste sempre. Di solito dal dominio devi escludere quei punti in cui la funzione non esiste, ad es. se hai $f(x)=sqrtx"$ allora $D=R^+$.
Per le simmetrie devi vedere se la funzione è pari ($f(x)=-f(x)$) o dispari ($f(x)= -f(-x)$).
Nel tuo caso non è né pari né dispari.
Calcoli i limiti a più e meno infinito che in questo caso sono molto semplici, e poi calcoli le intersezioni con gli assi. Per l'intersezione con le ordinate poni $x=0$, per le ascisse $y=0$, anche qui i calcoli sono facili. Inoltre quando studi l'intersezione con l'asse delle x fai anche lo studio del segno
La derivata prima è facile da calcolare, determini il dominio (che è R), studi il segno e deduci quando la funzione cresce e quando descresce; inoltre trovi un punto di flesso a tangente orizzontale.
La derivata seconda ti dà informazioni su dove è rivolta la concavità.
Il grafico della funzione è questo:
[img]http://www4d.wolframalpha.com/Calculate/MSP/MSP165219geg7h3a49f5cbf000043ffed049ghfiec8?MSPStoreType=image/gif&s=27&w=290&h=109&cdf=Coordinates&cdf=Tooltips[/img]
p.s.: io a fine quarta avevo a mala pena finito di vedere le matrici, le derivate le ho fatte a Novembre in quinta!
"Giant_Rick":
Calcoli i limiti a più e meno infinito che in questo caso sono molto semplici, e poi calcoli le intersezioni con gli assi. Per l'intersezione con le ordinate poni $x=0$, per le ascisse $y=0$, anche qui i calcoli sono facili. Inoltre quando studi l'intersezione con l'asse delle x fai anche lo studio del segno
La derivata prima è facile da calcolare, determini il dominio (che è R), studi il segno e deduci quando la funzione cresce e quando descresce; inoltre trovi un punto di flesso a tangente orizzontale.
La derivata seconda ti dà informazioni su dove è rivolta la concavità.
Il grafico della funzione è questo:
[img]http://www4d.wolframalpha.com/Calculate/MSP/MSP165219geg7h3a49f5cbf000043ffed049ghfiec8?MSPStoreType=image/gif&s=27&w=290&h=109&cdf=Coordinates&cdf=Tooltips[/img]
Ok, grazie mille
I limiti più o meno infinito mi vengono più e meno infinito. Per le intersezioni con gli assi, con l'asse x mi viene $X=1$ $Y=0$ e con l'asse delle y mi viene $Y=1$ e $X=0$ giusto? Lo studio del segno, ponendo 1 come riferimento, sopra lo 0, mi viene $- 0 +$ quindi tolgo la parte positiva a sinistra di 1 e la parte negativa alla destra di 1.Poi per le derivate ho qualche problemino... Le derivate mi sono venute $Y'= 5$ e $Y'' = 0$ . Sono giuste?
Il grafico ho provato a farlo però non riesco a confrontarlo perchè quello che hai messo tu non si vede...
Grazie comunque
PS: noi corriamo, la prof dice sempre che siamo indietro con il programma -.-" Quelli dell'altra sezione il programma l'hanno interrotto al calcolo combinatorio, mentre noi abbiamo fatto anche le variabili, perciò chi è il più indietro con il programma? -.-" Spero almeno che a settembre non metta anche la parte di teoria, sono contorti i quesiti della prof o.O
"jillvero93":
... Le derivate mi sono venute $Y'= 5$ e $Y'' = 0$ . Sono giuste?
No, rivedi le regole. La derivata di $(x-1)^5$ è $5(x-1)^4$
In verità per il grafico non c'è bisogno di studiare la funzione, in questo caso.
Le funzioni del tipo $y=x^n$ con $n$ dispari hanno sempre lo stesso tipo di grafico.
Nel tuo caso invece di passare per l'origine (0,0) passa per il punto (1,0) (rispetto a cui è simmetrica).
"cenzo":
No, rivedi le regole. La derivata di $(x-1)^5$ è $5(x-1)^4$
Già, è vero! Che cretina >.< E pensare che ne faccio tutti i giorni di simili, non ci ho proprio pensato: l'esponente che moltiplica g(x) che a sua volta moltiplica la derivata di g(x)... Grazie
Comunque avrei ancora una domanda.
Quando ho una funzione del tipo $(x-1)^2$>0 è sempre >0 , mentre quando ne ho una tipo $x^2+4$>0 dovrebbe venire $x^2>-4$ di conseguenza $x>±√-4$ e quindi sempre >0 . Invece con una funzione del tipo $x^2-4>0$ devo fare la parabola e quindi sotto $y=0$ e sopra $x^2=4$ , che diventa $x=±√4$ , quindi $x=±2$ è giusto? Con la parabola però non so fare una cosa, che probabilmente mi manca dalla 2°superiore. La $x^2$ è positiva perciò la concavità è rivolta verso l'alto, ma io come faccio a sapere se devo tenere in considerazione la parte interna alla parabola o quella esterna? E' importante per lo studio dei segni.
Se invece avessi un caso del tipo con un polinomio e dopo la ricerca del ∆, nella ricerca delle due soluzioni avessi un risultato tipo $(3±√-60)/2$ sarebbe sempre >0 ?
Quando ho una funzione del tipo $(x-1)^2$>0 è sempre >0 , mentre quando ne ho una tipo $x^2+4$>0 dovrebbe venire $x^2>-4$ di conseguenza $x>±√-4$ e quindi sempre >0 . Invece con una funzione del tipo $x^2-4>0$ devo fare la parabola e quindi sotto $y=0$ e sopra $x^2=4$ , che diventa $x=±√4$ , quindi $x=±2$ è giusto? Con la parabola però non so fare una cosa, che probabilmente mi manca dalla 2°superiore. La $x^2$ è positiva perciò la concavità è rivolta verso l'alto, ma io come faccio a sapere se devo tenere in considerazione la parte interna alla parabola o quella esterna? E' importante per lo studio dei segni.
Se invece avessi un caso del tipo con un polinomio e dopo la ricerca del ∆, nella ricerca delle due soluzioni avessi un risultato tipo $(3±√-60)/2$ sarebbe sempre >0 ?
Quando ho una funzione del tipo $(x-1)^2$>0 è sempre >0 , mentre quando ne ho una tipo $x^2+4$>0 dovrebbe venire $x^2>-4$ di conseguenza $x>±√-4$ e quindi sempre >0 . Invece con una funzione del tipo $x^2-4>0$ devo fare la parabola e quindi sotto $y=0$ e sopra $x^2=4$ , che diventa $x=±√4$ , quindi $x=±2$ è giusto? Con la parabola però non so fare una cosa, che probabilmente mi manca dalla 2°superiore. La $x^2$ è positiva perciò la concavità è rivolta verso l'alto, ma io come faccio a sapere se devo tenere in considerazione la parte interna alla parabola o quella esterna? E' importante per lo studio dei segni.
Se invece avessi un caso del tipo con un polinomio e dopo la ricerca del ∆, nella ricerca delle due soluzioni avessi un risultato tipo $(3±√-60)/2$ sarebbe sempre >0 ?
Per favore, tra 2 settimane devo fare l'esame di riparazione, mi potete aiutare? Sono giuste le cose che ho scritto sopra?
"jillvero93":
Quando ho una funzione del tipo $(x-1)^2$>0 è sempre >0
Falso. Per \( x=1 \) avresti \( 0>0 \).
\( (x-1)^2 > 0 \) per \(x \ne 1 \)
Ragionando con la parabola: sei nel caso \( \Delta=0 \). Unica soluzione \( x=1 \).
La parabola ha concavità verso l'alto con vertice nel punto A(1,0), in cui "tocca" l'asse x.
Ti chiede per quali valori di x la parabola sta sopra l'asse x (">0").
Risposta: sempre sopra, tranne nel punto x=1 in cui tocca l'asse (y=0, quindi non è y>0).
quando ne ho una tipo $x^2+4$>0 dovrebbe venire $x^2>-4$ di conseguenza $x>±√-4$ e quindi sempre >0 .
No, non puoi fare radici di numeri negativi nel campo dei numeri reali.
\( x^2+4 \) è sempre maggiore di zero. Infatti sommi \( x^2 \), una quantità maggiore o uguale a zero, con 4, che è maggiore di zero. Il risultato è un numero sempre maggiore di zero.
Del resto se calcoli il \( \Delta \) viene negativo.. la parabola sta sempre sopra l'asse delle x (non ci sono intersezioni con l'asse x) e quindi è sempre positiva, come richiesto.
Invece con una funzione del tipo $x^2-4>0$ devo fare la parabola e quindi sotto $y=0$ e sopra $x^2=4$ , che diventa $x=±√4$ , quindi $x=±2$ è giusto? Con la parabola però non so fare una cosa, che probabilmente mi manca dalla 2°superiore. La $x^2$ è positiva perciò la concavità è rivolta verso l'alto, ma io come faccio a sapere se devo tenere in considerazione la parte interna alla parabola o quella esterna? E' importante per lo studio dei segni.
Scivi l'equazione \( x^2-4=0 \) che ha \( \Delta>0 \) e quindi le due soluzioni \( x= \pm 2 \).
La parabola passa per i due punti A(-2,0) e B(2,0) con concavità verso l'alto.
Poi vedi l'esercizio cosa ti chiede. In questo caso chiede che la parabola \( x^2-4 \) sia \( >0 \).
Quindi vuole la zona in cui la parabola sta sopra l'asse delle x. Guarda il grafico: per quali valori di x ciò accade ?
Per \( x<-2 \) oppure per \( x>2 \), che è la soluzione.
Se invece avessi un caso del tipo con un polinomio e dopo la ricerca del ∆, nella ricerca delle due soluzioni avessi un risultato tipo $(3±√-60)/2$ sarebbe sempre >0 ?
Ripeto: calcola prima il \( \Delta \). Se viene negativo non le calcoli proprio le soluzioni (mai scrivere radici di numeri negativi!!!), perchè non ci sono soluzioni all'equazione. La parabola sta sopra l'asse delle x (ipotizzo che il coefficiente di \( x^2 \) sia positivo).
Per la disequazione poi dipende.
Se la vuole ">0", la risposta è sempre (la parabola sta sempre "sopra").
Se la vuole "<0", la risposta è mai (la parabola sta sempre "sopra", cioè non sta mai "sotto" l'asse x).
Ok, grazie mille per l'aiuto Domani ho l'esame, oggi sono nervosissima...
Domani ho l'esame, oggi sono nervosissima...
Prego e in bocca al lupo per l'esame.
Grazie a tutti per il supporto! L'esame è andato divinamente, avevo 7 quando sono andata a vedere i risultati, perciò ho preso più di 8 nella verifica d'esame -^^-
L'esame è andato divinamente, avevo 7 quando sono andata a vedere i risultati, perciò ho preso più di 8 nella verifica d'esame -^^-
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