Funzioni continue e derivate:le ho capite bene?
Domani mattina avrò un compito in classe (sig!) ed è da giorni che studio e ripasso tutto..ieri sono anche andata a ripetizione per chiarirmi alcune cosine...
il compito verterà su:
1) derivate semplici,prodotto/somma/quoziente di derivate
2) derivate composte
3) problemini del tipo" data la funzione tal de tali , verificare che è continua e se è derivabile"...
Sul punto primo non ho problemi e so le mie simpatiche formuline a memoria!^.^
Sul punto secondo sono più indecisa:ho capito il funzionamento delle d. composte e la teoria,ma ho dei dubbi insormontabili su queste funzioni:
° la derivata di cos2x ,è -sen2x° 2? la derivata di cosx è -senx e auqetso punto devo rimltplicare per 2 che sarebeb la derivata di 2x.., quindi in teoria dovrebbe andare bene come l'ho derivata io...no?
° la derivata di cos alla seconda di x è 2°cosX ° 1(che è la derivata di X)?
° la derivata di coseno alla seconda di x alla seconda (panico) è 2°cosX°2x?
punto tre...
per verificare che una funziona è continua devo:
1) trovarmi il dominio
2) andare a fare limite destro e sinistro della funzione usando il valore escluso dal dominio e vedere se il valore L dei due limiti è uguale o diverso..se è diverso/infinito è discontinua,se invece sono uguali passo al punto 3
3) andare a sostituire il valore nella funzione e vedere se è uguale al valore del limite
...l'ho capito bene?
E poi per vedere se ammette derivabile devo derivare la funzione e fare limite destro e sinistro?
Inoltre vorrei sapere(questo giusto per mia conoscenza,nel compito non c'è)..la derivata è il coefficiente angolare della tangente alla funziona,la tangente alla funzione oppure la curva che include le tangenti alla funzione? perchè negli appunti inizialmente tutta la calsse ha scritto che la derivata è il coeff. della tg, poi la prof ha detto che avevamo capito male e che la derivata era la tangente e ieri il babbo di una mia amica ha detto che non è vero e che la derivata è una curva da cui aprtono le tg alal funzione..
P.S.
vi giuro che studio(di orale ho 8!),non ho mai mancato di fare un esercizio di matematica,non ho mai saltato compiti o lezioni..è che il mio cervellino proprio non ci arriva su certe cose!:(
il compito verterà su:
1) derivate semplici,prodotto/somma/quoziente di derivate
2) derivate composte
3) problemini del tipo" data la funzione tal de tali , verificare che è continua e se è derivabile"...
Sul punto primo non ho problemi e so le mie simpatiche formuline a memoria!^.^
Sul punto secondo sono più indecisa:ho capito il funzionamento delle d. composte e la teoria,ma ho dei dubbi insormontabili su queste funzioni:
° la derivata di cos2x ,è -sen2x° 2? la derivata di cosx è -senx e auqetso punto devo rimltplicare per 2 che sarebeb la derivata di 2x.., quindi in teoria dovrebbe andare bene come l'ho derivata io...no?
° la derivata di cos alla seconda di x è 2°cosX ° 1(che è la derivata di X)?
° la derivata di coseno alla seconda di x alla seconda (panico) è 2°cosX°2x?
punto tre...
per verificare che una funziona è continua devo:
1) trovarmi il dominio
2) andare a fare limite destro e sinistro della funzione usando il valore escluso dal dominio e vedere se il valore L dei due limiti è uguale o diverso..se è diverso/infinito è discontinua,se invece sono uguali passo al punto 3
3) andare a sostituire il valore nella funzione e vedere se è uguale al valore del limite
...l'ho capito bene?
E poi per vedere se ammette derivabile devo derivare la funzione e fare limite destro e sinistro?
Inoltre vorrei sapere(questo giusto per mia conoscenza,nel compito non c'è)..la derivata è il coefficiente angolare della tangente alla funziona,la tangente alla funzione oppure la curva che include le tangenti alla funzione? perchè negli appunti inizialmente tutta la calsse ha scritto che la derivata è il coeff. della tg, poi la prof ha detto che avevamo capito male e che la derivata era la tangente e ieri il babbo di una mia amica ha detto che non è vero e che la derivata è una curva da cui aprtono le tg alal funzione..
P.S.
vi giuro che studio(di orale ho 8!),non ho mai mancato di fare un esercizio di matematica,non ho mai saltato compiti o lezioni..è che il mio cervellino proprio non ci arriva su certe cose!:(
Risposte
Punto 1: non è molto carino da dire che una cosa la si studia a memoria (in matematica), ma alla fine per le derivate si tratta solo di applicare le formule e stare un pochino attenti 
. Anche io al liceo imparavo queste formule a memoria .
Punto 2. https://www.matematicamente.it/forum/der ... tml#384619
Ti segnalo questo intervento di K.Lomax se ti può essere utile.
https://www.matematicamente.it/forum/teo ... 31468.html
In questo link, invece, ci sono molti collegamenti ad appunti e alla definizione su wikipedia.
In generale si tratta proprio di procedere come ha scritto K.Lomax sul primo link che ho segnalato: per ora non riscrivo perché secondo me lo ha spiegato molto bene.
Punto 3. Alla fine si tratta di farci un po' l'occhio sui domini delle funzioni però per il resto è come hai detto tu. In altre parole, diciamo che si tratta di studiare cosa avviene ai "bordi" del dominio (virgolettato perché non voglio essere frainteso da qualcuno che sa la geometria meglio di me!).
Ti posso segnalare:
http://it.wikipedia.org/wiki/Continuit%C3%A0
sulla continuità delle funzioni;
http://it.wikipedia.org/wiki/Derivabilit%C3%A0
sulla derivabilità.
In generale, però, una volta che hai studiato, ad esempio, che certe funzioni sono continue, anche la composizione, la somma ed il prodotto di queste rimane una funzione continua, salvo in punti dove ci sono problemi con il dominio.
Facciamo un esempio.
$f(x)=\frac{1-x^2}{1+x^2}$ la nostra funzione.
Prima di tutto: dominio che è tutto $RR$ perché il denominatore non si annulla mai. Per il resto si tratta di un rapporto tra polinomi quindi non ci sono altri problemi.
Ovviamente, è continua perche rapporto tra funzioni che sono a loro volte continue perché somma di funzioni continue.
La derivata si calcola con quella formulona del quoziente che ora mi sfugge .
Per la continuità, per quanto mi ricordo dal liceo, in generale erano cose del genere "è continua perché somma/prodotto/composizione/... di funzioni continue". Solo se l'esercizio diceva "verificare che è continua nel punto $x$" allora bisognava fare il limite.
Per l'ultimo punto, riporto cosa hai scritto tu:
"Inoltre vorrei sapere(questo giusto per mia conoscenza,nel compito non c'è)..la derivata è il coefficiente angolare della tangente alla funziona,la tangente alla funzione oppure la curva che include le tangenti alla funzione? perchè negli appunti inizialmente tutta la calsse ha scritto che la derivata è il coeff. della tg, poi la prof ha detto che avevamo capito male e che la derivata era la tangente e ieri il babbo di una mia amica ha detto che non è vero e che la derivata è una curva da cui aprtono le tg alal funzione... "
(non so il codice sennò scrivevo il rettangolo con scritto "Squittentina ha scritto..." e la citazione )
Non ho capito molto quello che hai scritto: io l'ho inteso in questo modo.
"Inoltre vorrei sapere (...) se la derivata sia il coefficiente angolare della retta tangente alla funzione, la tangente alla funzione oppure la curva che include le tangenti alla funzione. Negli appunti inizialmente tutta la classe ha scritto che la derivata è il coefficiente angolare della retta tangente, poi la professoressa ha detto che avevamo capito male (quindi, mi sembra di capire che allora la prof. vi ha detto che la derivata "non è" il coefficiente angolare della retta tangente) e cioè che la derivata era la tangente e ieri il babbo di una mia amica ha detto che questo non è vero e che la cderivata è una curva da cui [... "aprtono" non lo so tradurre ...] le tangenti alla funzione"
Ora c'è da fare qualche appuntino e mi servo anche della definizione che da wikipedia di derivata (che ho già segnalato come link).
>>La derivata di una funzione reale di variabile reale $f(x)$ nel punto $x_0$ è definita come il limite del rapporto incrementale al tendere a 0 dell'incremento $h$, sotto l'ipotesi che tale limite esista e sia finito.<<
Poi, c'è un significato geometrico di questa che cito sempre dalla stessa pagina di wikipedia.
>>Il valore della derivata di $f(x)$ calcolata in $x_0$ ha un significato geometrico: è il coefficiente angolare della retta tangente alla curva rappresentata dal grafico di $f(x)$, nel punto di coordinate $(x_0,f(x_0))$.<<
Spero di essermi spiegato decentemente (non sono un granché). Invito chiunque a controbattere o a smentirmi (se ho sbagliato!).
Ciaociao e in bocca al lupo per il compito
. Anche io al liceo imparavo queste formule a memoria .Punto 2. https://www.matematicamente.it/forum/der ... tml#384619
Ti segnalo questo intervento di K.Lomax se ti può essere utile.
https://www.matematicamente.it/forum/teo ... 31468.html
In questo link, invece, ci sono molti collegamenti ad appunti e alla definizione su wikipedia.
In generale si tratta proprio di procedere come ha scritto K.Lomax sul primo link che ho segnalato: per ora non riscrivo perché secondo me lo ha spiegato molto bene.
Punto 3. Alla fine si tratta di farci un po' l'occhio sui domini delle funzioni però per il resto è come hai detto tu. In altre parole, diciamo che si tratta di studiare cosa avviene ai "bordi" del dominio (virgolettato perché non voglio essere frainteso da qualcuno che sa la geometria meglio di me!).
Ti posso segnalare:
http://it.wikipedia.org/wiki/Continuit%C3%A0
sulla continuità delle funzioni;
http://it.wikipedia.org/wiki/Derivabilit%C3%A0
sulla derivabilità.
In generale, però, una volta che hai studiato, ad esempio, che certe funzioni sono continue, anche la composizione, la somma ed il prodotto di queste rimane una funzione continua, salvo in punti dove ci sono problemi con il dominio.
Facciamo un esempio.
$f(x)=\frac{1-x^2}{1+x^2}$ la nostra funzione.
Prima di tutto: dominio che è tutto $RR$ perché il denominatore non si annulla mai. Per il resto si tratta di un rapporto tra polinomi quindi non ci sono altri problemi.
Ovviamente, è continua perche rapporto tra funzioni che sono a loro volte continue perché somma di funzioni continue.
La derivata si calcola con quella formulona del quoziente che ora mi sfugge
.Per la continuità, per quanto mi ricordo dal liceo, in generale erano cose del genere "è continua perché somma/prodotto/composizione/... di funzioni continue". Solo se l'esercizio diceva "verificare che è continua nel punto $x$" allora bisognava fare il limite.
Per l'ultimo punto, riporto cosa hai scritto tu:
"Inoltre vorrei sapere(questo giusto per mia conoscenza,nel compito non c'è)..la derivata è il coefficiente angolare della tangente alla funziona,la tangente alla funzione oppure la curva che include le tangenti alla funzione? perchè negli appunti inizialmente tutta la calsse ha scritto che la derivata è il coeff. della tg, poi la prof ha detto che avevamo capito male e che la derivata era la tangente e ieri il babbo di una mia amica ha detto che non è vero e che la derivata è una curva da cui aprtono le tg alal funzione...
"(non so il codice sennò scrivevo il rettangolo con scritto "Squittentina ha scritto..." e la citazione
)Non ho capito molto quello che hai scritto: io l'ho inteso in questo modo.
"Inoltre vorrei sapere (...) se la derivata sia il coefficiente angolare della retta tangente alla funzione, la tangente alla funzione oppure la curva che include le tangenti alla funzione. Negli appunti inizialmente tutta la classe ha scritto che la derivata è il coefficiente angolare della retta tangente, poi la professoressa ha detto che avevamo capito male (quindi, mi sembra di capire che allora la prof. vi ha detto che la derivata "non è" il coefficiente angolare della retta tangente) e cioè che la derivata era la tangente e ieri il babbo di una mia amica ha detto che questo non è vero e che la cderivata è una curva da cui [... "aprtono" non lo so tradurre ...] le tangenti alla funzione"
Ora c'è da fare qualche appuntino e mi servo anche della definizione che da wikipedia di derivata (che ho già segnalato come link).
>>La derivata di una funzione reale di variabile reale $f(x)$ nel punto $x_0$ è definita come il limite del rapporto incrementale al tendere a 0 dell'incremento $h$, sotto l'ipotesi che tale limite esista e sia finito.<<
Poi, c'è un significato geometrico di questa che cito sempre dalla stessa pagina di wikipedia.
>>Il valore della derivata di $f(x)$ calcolata in $x_0$ ha un significato geometrico: è il coefficiente angolare della retta tangente alla curva rappresentata dal grafico di $f(x)$, nel punto di coordinate $(x_0,f(x_0))$.<<
Spero di essermi spiegato decentemente (non sono un granché). Invito chiunque a controbattere o a smentirmi (se ho sbagliato!).
Ciaociao e in bocca al lupo per il compito
Prova ad usare l'editor MathML.
giusto.
$D cos^2(x)= 2cosx*(-senx)= -2senxcosx = -sen2x$
$D cos^2(x^2) = (2cosx^2)*(-senx^2)*2x$
Attenta alla definizione di derivata di funzione composta:
$D f(g(x_0)) = f'(g(x_0)) * g'(x_0) $
Si, per verificare se una funzione è continua in un punto $x_0$, devi verificare che $lim_(x->x_0^-) f(x) = lim_(x->x_0^+) f(x) = f(x_0)$.
Se ciò non si verifica, abbiamo un punto di discontinuità e allora, devi valutare di quale specie.
Non è che si deve fare solo quando lo richiede l'esercizio; va fatto in tutti i casi in cui serve capire se la funzione è continua o meno nel punto particolare.
La derivata di una funzione in un punto; é il coefficiente angolare della retta tangente nel punto.
Se ti dico che una funzione $f$ ammette derivata nel punto $x_0$, ti sto dicendo che in questo punto esiste la retta tangente e il coefficiente angolare di questa retta è proprio la derivata..
La derivata NON è,assolutamente, la retta tangente ma il suo coefficiente angolare.
La retta tangente è:
$y= f(x_0) + f'(x_0)(x-x_0)$
come noti la derivata $f'(x_0)$ si inserisce al posto del coefficiente angolare, poiché è il coefficiente angolare; non la retta!!
lascia perdere e non farti confondere da strane idee...
Quello esposto dal babbo della tua amica è un concetto sbagliatissimo e senza alcun senso; .
"Squittentina":
° la derivata di cos2x ,è -sen2x° 2? la derivata di cosx è -senx e auqetso punto devo rimltplicare per 2 che sarebeb la derivata di 2x.., quindi in teoria dovrebbe andare bene come l'ho derivata io...no?
giusto.
"Squittentina":
° la derivata di cos alla seconda di x è 2°cosX ° 1(che è la derivata di X)?
$D cos^2(x)= 2cosx*(-senx)= -2senxcosx = -sen2x$
"Squittentina":
° la derivata di coseno alla seconda di x alla seconda (panico) è 2°cosX°2x?
$D cos^2(x^2) = (2cosx^2)*(-senx^2)*2x$
Attenta alla definizione di derivata di funzione composta:
$D f(g(x_0)) = f'(g(x_0)) * g'(x_0) $
"Squittentina":
punto tre...
per verificare che una funziona è continua devo:
1) trovarmi il dominio
2) andare a fare limite destro e sinistro della funzione usando il valore escluso dal dominio e vedere se il valore L dei due limiti è uguale o diverso..se è diverso/infinito è discontinua,se invece sono uguali passo al punto 3
3) andare a sostituire il valore nella funzione e vedere se è uguale al valore del limite
...l'ho capito bene?
Si, per verificare se una funzione è continua in un punto $x_0$, devi verificare che $lim_(x->x_0^-) f(x) = lim_(x->x_0^+) f(x) = f(x_0)$.
Se ciò non si verifica, abbiamo un punto di discontinuità e allora, devi valutare di quale specie.
"Zero87":
Per la continuità, per quanto mi ricordo dal liceo, in generale erano cose del genere "è continua perché somma/prodotto/composizione/... di funzioni continue". Solo se l'esercizio diceva "verificare che è continua nel punto " allora bisognava fare il limite.
Non è che si deve fare solo quando lo richiede l'esercizio; va fatto in tutti i casi in cui serve capire se la funzione è continua o meno nel punto particolare.
"Squittentina":
Inoltre vorrei sapere(questo giusto per mia conoscenza,nel compito non c'è)..la derivata è il coefficiente angolare della tangente alla funziona,
La derivata di una funzione in un punto; é il coefficiente angolare della retta tangente nel punto.
Se ti dico che una funzione $f$ ammette derivata nel punto $x_0$, ti sto dicendo che in questo punto esiste la retta tangente e il coefficiente angolare di questa retta è proprio la derivata..
"Squittentina":
poi la prof ha detto che avevamo capito male e che la derivata era la tangente
La derivata NON è,assolutamente, la retta tangente ma il suo coefficiente angolare.La retta tangente è:
$y= f(x_0) + f'(x_0)(x-x_0)$
come noti la derivata $f'(x_0)$ si inserisce al posto del coefficiente angolare, poiché è il coefficiente angolare; non la retta!!
"Squittentina":
ieri il babbo di una mia amica ha detto che non è vero e che la derivata è una curva da cui aprtono le tg alal funzione..
lascia perdere e non farti confondere da strane idee...
Quello esposto dal babbo della tua amica è un concetto sbagliatissimo e senza alcun senso; .
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