Funzioni composte
Analizzare i componenti della seguente funzione
F:x->1/x-1
F=f2of1
F1=x-1
F2=(x-1)^-1
F:x->1/x-1
F=f2of1
F1=x-1
F2=(x-1)^-1
Risposte
Ciao Gualtiero, dovresti scrivere meglio le funzioni. La funzione F, ad esempio, credo che avresti voluto scrivere $f(x)=1/(x-1)$, mentre, invece, hai scritto $f(x)=1/x-1$. Devi mettere le parentesi al posto giusto.
In ogni caso, sia che confermi la prima forma della funzione che la seconda, nella tua risoluzione c'è un errore.
In ogni caso, sia che confermi la prima forma della funzione che la seconda, nella tua risoluzione c'è un errore.
Hai ragione, in effetti la funzione era la seguente:
F:x—>1/(x-1)
F:x—>1/(x-1)
Quale sarebbe l’errore?
Se chiamo $f_1(x)=y$ e $f_2(y)=z$ puoi immaginarlo da solo.
$x->y=x-1 ->z=1/y=1/(x-1)$ quindi le due funzioni in cui si scompone $f(x)$ sono $f_1(x)=x-1$ e $f_2(x)=1/x$, infatti $f_2\circ f_1(x)=f_2(x-1)=1/(x-1)$
$x->y=x-1 ->z=1/y=1/(x-1)$ quindi le due funzioni in cui si scompone $f(x)$ sono $f_1(x)=x-1$ e $f_2(x)=1/x$, infatti $f_2\circ f_1(x)=f_2(x-1)=1/(x-1)$
Scusa la mia testardaggine @melia, ma continuo a non capire. Proviamo con un altro esempio:
Analizzare le componenti della funzione f:x—>(x+2)^3
Secondo me la risoluzione sarebbe la seguente:
Y=(x+2)^3
f=f2•f1
f1:x—>x+2
f2:x—>(x+2)^3
Analizzare le componenti della funzione f:x—>(x+2)^3
Secondo me la risoluzione sarebbe la seguente:
Y=(x+2)^3
f=f2•f1
f1:x—>x+2
f2:x—>(x+2)^3
"GualtieroMalghesi":
...ma continuo a non capire...
Prova a sostituire numeri alle variabili. Hai una funzione $ f: x rightarrow (x+2)^3 $ che vuoi esprimere come composizione di funzioni elementari $ f=f_2 \circ f_1$ Proponi $f_1: x rightarrow x+2 $ e $ f_2: rightarrow (x+2)^3 $.
Poniamo, ad esempio, $ x=1 $. Hai $f_1(1)=3 $ e $ f_2(f_1(1))=f_2(3)=125 $
( $ f_2 $ deve operare sul risultato fornito da $ f_1 $), mentre $ f(1)=27 $. Dunque $ f \ne f_2 \circ f_1$.
Invece con $ f_2: x rightarrow x^3 $ i conti tornano (per qualsiasi valore dell'incognita).
Ciao
Continuo a non capire, anzi mi sa che ho peggiorato pure le cose
Riprovo io
$f(x)=(x+2)^3$
$f(x)=f_2 circ f_1(x)$
$f_1:x ->x+2$ incrementa di 2
$f_2:x ->x^3$ fa il cubo della variabile
Calcolo $f(3)$ nei due modi, direttamente o tramite le due componenti
$f(3)=(3+2)^3=125$
$f(3)=f_2 circ f_1(3)=f_2(3+2)=f_2(5)=5^3=125$
$f(x)=(x+2)^3$
$f(x)=f_2 circ f_1(x)$
$f_1:x ->x+2$ incrementa di 2
$f_2:x ->x^3$ fa il cubo della variabile
Calcolo $f(3)$ nei due modi, direttamente o tramite le due componenti
$f(3)=(3+2)^3=125$
$f(3)=f_2 circ f_1(3)=f_2(3+2)=f_2(5)=5^3=125$
Forse ci sono problemi sul concetto di composizione, vale per le funzioni, ma anche per le trasformazioni geometriche, per le permutazioni... In una composizione quel che opera dopo riceve in ingresso il risultato di quel che ha operato prima e restituisce, a sua volta, a chi, eventualmente, debba operare successivamente, il risultato della propria elaborazione.
Facciamo un esempio Aldo aggiunge $ 2 $ a quel che gli viene passato, Bruno eleva al cubo quel che riceve.
Ad Aldo viene passato il numero $ 0 $, aggiunge $ 2 $ ed ottiene la somma $ 0+2=2 $ che passa a Bruno.
Bruno riceve $ 2 $ lo eleva al cubo ed ottiene la potenza $ 2^3 =8 $. Questo è il risultato della composizione Bruno $ circ $ Aldo applicata a $ 0 $.
Nota che la composizione è, in generale non commutativa (cambiando l'ordine degli operatori il risultato cambia), es.
Bruno riceve $ 0 $ ne fa il cubo e ottiene $ 0 $ che passa ad Aldo. Aldo vi aggiunge $ 2 $ ed ottiene $ 2 $. questo è il risultato della composizione Aldo $circ$ Bruno applicata a $ 0 $.
Condividi o hai dei dubbi? Nel secondo caso dovresti cercare di indicare quali sono.
Ciao
PS Riscusami Sara se mi sono sovrapposto.
Facciamo un esempio Aldo aggiunge $ 2 $ a quel che gli viene passato, Bruno eleva al cubo quel che riceve.
Ad Aldo viene passato il numero $ 0 $, aggiunge $ 2 $ ed ottiene la somma $ 0+2=2 $ che passa a Bruno.
Bruno riceve $ 2 $ lo eleva al cubo ed ottiene la potenza $ 2^3 =8 $. Questo è il risultato della composizione Bruno $ circ $ Aldo applicata a $ 0 $.
Nota che la composizione è, in generale non commutativa (cambiando l'ordine degli operatori il risultato cambia), es.
Bruno riceve $ 0 $ ne fa il cubo e ottiene $ 0 $ che passa ad Aldo. Aldo vi aggiunge $ 2 $ ed ottiene $ 2 $. questo è il risultato della composizione Aldo $circ$ Bruno applicata a $ 0 $.
Condividi o hai dei dubbi? Nel secondo caso dovresti cercare di indicare quali sono.
Ciao
PS Riscusami Sara se mi sono sovrapposto.
Penso di avere capito. Allora adesso ve la giro come me l’hanno spiegata a scuola.
Analizzare le componenti della funzione
f:x—>y=2x+3 X app R
La funzione ha equazione y=2x+3. Volendo ottenere l’immagine y di un x del dominio occorre moltiplicare 2 a x e al risultato aggiungere 3. Allora la funzione f è composta da f1 e f2; la f1 opera moltiplicando per 2 l’elemento in ingresso, quindi:
f1:x—>2x
La f2 opera aggiungendo 3 all’elemento in ingresso, quindi:
f2:x—>x+3
In definitiva:
f=f2•f1–>f2•f1:x—>y=f(x)=f2(f1(x))
Questo significa che y=(2x)+3
Analizzare le componenti della funzione
f:x—>y=2x+3 X app R
La funzione ha equazione y=2x+3. Volendo ottenere l’immagine y di un x del dominio occorre moltiplicare 2 a x e al risultato aggiungere 3. Allora la funzione f è composta da f1 e f2; la f1 opera moltiplicando per 2 l’elemento in ingresso, quindi:
f1:x—>2x
La f2 opera aggiungendo 3 all’elemento in ingresso, quindi:
f2:x—>x+3
In definitiva:
f=f2•f1–>f2•f1:x—>y=f(x)=f2(f1(x))
Questo significa che y=(2x)+3
Applico quello che ho appena esposto ad un altro esercizio, sia:
f:x—>y=(x+2)^3
f1:x—>x+2 all’elemento x in entrata aggiungo 2
f2:x—>x^3 elevo alla terza x
Quindi:
f=f2•f1–>f2•f1:x—>y=f2(f1(x))=(x+2)^3
Fosse stato f=f1•f2–>f1•f2:x—>y=f1(f2(x))=x^3+2
Giusto???
f:x—>y=(x+2)^3
f1:x—>x+2 all’elemento x in entrata aggiungo 2
f2:x—>x^3 elevo alla terza x
Quindi:
f=f2•f1–>f2•f1:x—>y=f2(f1(x))=(x+2)^3
Fosse stato f=f1•f2–>f1•f2:x—>y=f1(f2(x))=x^3+2
Giusto???
Volevo chiedervi ancora una cosa, visto che il ferro è caldo lo batto, se permettete. Nel caso io abbia la seguente funzione:
F:x—>(x^2+2)^2
con equazione y=(x^2+2)^2
La funzione si compone di:
f=f3•f2•f1
f1:x—>x^2
f2:x—>x+2
f3:x—>x^2
Quindi, correggetemi se sbaglio:
f=f3•f2•f1->f3•f2•f1:x->y=f(x)=f3[f2(f1(x))]=(x^2+2)^2
Che ne pensate?
Vorrei ringraziarvi perché siete stati gentilissimi, disponibili e soprattutto pazienti
. Se dovesse servirmi ancora qualche spiegazione spero di contare sul vostro aiuto.
F:x—>(x^2+2)^2
con equazione y=(x^2+2)^2
La funzione si compone di:
f=f3•f2•f1
f1:x—>x^2
f2:x—>x+2
f3:x—>x^2
Quindi, correggetemi se sbaglio:
f=f3•f2•f1->f3•f2•f1:x->y=f(x)=f3[f2(f1(x))]=(x^2+2)^2
Che ne pensate?
Vorrei ringraziarvi perché siete stati gentilissimi, disponibili e soprattutto pazienti
. Se dovesse servirmi ancora qualche spiegazione spero di contare sul vostro aiuto.
Mi pare che l'ostacolo sia stato superato. L'ultima espressione che scrivi è di difficile lettura/interpretazione, abituati a racchiudere le formule fra due segni di dollaro "$" ed a usare il tasto 'Anteprima' per osservare l'aspetto che assumerà il messaggio una volta inviato.
Ciao, prego e a presto.
Ciao, prego e a presto.
$f=f3•f2•f1->f3•f2•f1:x->y=f(x)=f3[f2(f1(x))]=(x^2+2)^2$
Così si capisce?
Così si capisce?
Così si legge senza fatica. Sull'uso delle notazioni (ce ne sono tante) cerca di adeguarti a quelle preferite dal tuo insegnante.
Se vuoi una critica; utilizzare la freccia verso destra, tanto col significato logico 'da questo discende quest'altro' , quanto in quello 'la funzione trasforma 'x' nell'espressione che compare a destra' crea un po' di confusione. L'importante è capirsi, spesso è sufficiente l'italiano.
Ciao
Se vuoi una critica; utilizzare la freccia verso destra, tanto col significato logico 'da questo discende quest'altro' , quanto in quello 'la funzione trasforma 'x' nell'espressione che compare a destra' crea un po' di confusione. L'importante è capirsi, spesso è sufficiente l'italiano.
Ciao
Tu come l’avresti scritta?
Io, diversamente giovane, abituato a notazioni che sono ormai anticaglia, non sono da prendere ad esempio.
Avrei scritto $ f=f_3 circ f_2 circ f_1 $ equivale a $ f(x)=f_3(f_2(f_1(x))) $, quindi $ f: x rightarrow (x^2+2)^2 $.
Ciao
Avrei scritto $ f=f_3 circ f_2 circ f_1 $ equivale a $ f(x)=f_3(f_2(f_1(x))) $, quindi $ f: x rightarrow (x^2+2)^2 $.
Ciao
Il problema è che il professore scrive come ho scritto io fino ad ora. Forse è un po’ troppo accademico, infatti in matematica la classe ha un po’ di problemi a comprendere la materia, soprattutto la teoria. E poi francamente la mia classe ha un programma diverso dal programma delle altre classi. Mah...
Comunque grazie mille, buona giornata.
Comunque grazie mille, buona giornata.
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