Funzioni...
devo calcolare i limiti ed eventuali asintoti orizzontali e verticali delle seguenti funzioni:
y=x/(x+1)
y=e^-2x*cosx
mi potete aiutare?[;)]
y=x/(x+1)
y=e^-2x*cosx
mi potete aiutare?[;)]
Risposte
per la prima equazione, che è un iperbole equilatera con gli assi paralleli a quelli cartesiani, data la forma y=(ax+b)/(cx+d), gli asintoti sono y= -d/c e y= a/c;
per la seconda ci devo pensare un attimo...
per la seconda ci devo pensare un attimo...
mi è venuto come asintoto verticale x=-1 e per l'orizzontale y=1
è giusto?
è giusto?
ecco fatto...per la seconda un asintoto verticale è y=0, poichè nei numeri reali una potenza di base positiva, non ha mai valori negativi, quindi la tua funzione non assume mai valori negativi; non mi pare ci siano altri asintoti in questa funzione, visto che il prodotto -2x*cos x non presenta limitazioni della x (cioè il prodotto è sempre un numero reale)...
sì mi sembra giusta la tua soluzione...ah adesso mi sono accorto che ho fatto un piccolo errore nella formula degli asintoti; è y=a/c e x=d/c; comunque avavi già rimediato al mio errore postandomi la soluzione corretta...
y = x/(x + 1)
Il dominio della funzione è R - {-1}
Il limite della funzione per x->(-1)+ è: -00
Il limite della funzione per x->(-1)- è: +00
Quindi l'asintoto verticale è uno solo ed è x = -1 ;
precisamente, quando x si avvicina a -1 da destra (ossia
si avvicina a -1 da valori poco più grandi), la funzione
va a -00; quando x si avvicina a -1 da sinistra (ossia si
avvicina a -1 da valori poco più piccoli), la funzione va a +00.
x = -1 è quindi un punto di discontinuità di seconda specie.
Per vedere se c'è un asintoto orizzontale, calcoliamo
il limite a cui tende la funzione quando x tende all'infinito:
lim[x->00] (x/(x + 1)) = lim[x->00] (x/(x(1 + 1/x)) = lim[x->00] (1/(1 + 1/x)) = 1/1 = 1
Poiché il limite è un valore finito (in questo caso infatti viene 1),
possiamo dire che y = 1 è asintoto orizzontale.
_____________________________________________________________________
y = e^(-2x)*cos(x) = cos(x)/e^(2x)
Il numeratore è definito per ogni x reale;
il denominatore non è mai uguale a zero ed è sempre
positivo, essendo un esponenziale.
Il dominio della funzione è dunque R,
e di conseguenza non ci sono punti di discontinuità.
Questo ci porta a dire che il grafico della funzione
non ammette asintoti verticali.
Vediamo invece se ci sono asintoti orizzontali ...
lim[x->00] cos(x)/e^(2x) ...
Questo limite non si può calcolare in maniera immediata;
occorre fare alcune considerazioni e distinguere due casi:
1) x->+00
sappiamo che -1 <= cos(x) <= 1
moltiplichiamo tutto per 1/e^(2x); otteniamo:
-1/e^(2x) <= cos(x)/e^(2x) <= 1/e^(2x)
per x->+00, sia -1/e^(2x) che 1/e^(2x) tendono a zero, quindi
per il primo teorema del confronto, anche cos(x)/e^(2x) tende a zero
per x->+00. Di conseguenza possiamo affermare che:
lim[x->+00] cos(x)/e^(2x) = 0
e quindi y = 0, ovvero l'asse x, è asintoto orizzontale.
2) x->-00 ; il limite non esiste perché se riprendiamo
-1/e^(2x) <= cos(x)/e^(2x) <= 1/e^(2x)
osserviamo che, per x->-00, -1/e^(2x) e 1/e^(2x) tendono a due limiti diversi
(rispettivamente -00 e +00), quindi il primo teorema del
confronto non è applicabile e conseguentemente nulla si può dire
sulla funzione cos(x)/e^(2x).
Il dominio della funzione è R - {-1}
Il limite della funzione per x->(-1)+ è: -00
Il limite della funzione per x->(-1)- è: +00
Quindi l'asintoto verticale è uno solo ed è x = -1 ;
precisamente, quando x si avvicina a -1 da destra (ossia
si avvicina a -1 da valori poco più grandi), la funzione
va a -00; quando x si avvicina a -1 da sinistra (ossia si
avvicina a -1 da valori poco più piccoli), la funzione va a +00.
x = -1 è quindi un punto di discontinuità di seconda specie.
Per vedere se c'è un asintoto orizzontale, calcoliamo
il limite a cui tende la funzione quando x tende all'infinito:
lim[x->00] (x/(x + 1)) = lim[x->00] (x/(x(1 + 1/x)) = lim[x->00] (1/(1 + 1/x)) = 1/1 = 1
Poiché il limite è un valore finito (in questo caso infatti viene 1),
possiamo dire che y = 1 è asintoto orizzontale.
_____________________________________________________________________
y = e^(-2x)*cos(x) = cos(x)/e^(2x)
Il numeratore è definito per ogni x reale;
il denominatore non è mai uguale a zero ed è sempre
positivo, essendo un esponenziale.
Il dominio della funzione è dunque R,
e di conseguenza non ci sono punti di discontinuità.
Questo ci porta a dire che il grafico della funzione
non ammette asintoti verticali.
Vediamo invece se ci sono asintoti orizzontali ...
lim[x->00] cos(x)/e^(2x) ...
Questo limite non si può calcolare in maniera immediata;
occorre fare alcune considerazioni e distinguere due casi:
1) x->+00
sappiamo che -1 <= cos(x) <= 1
moltiplichiamo tutto per 1/e^(2x); otteniamo:
-1/e^(2x) <= cos(x)/e^(2x) <= 1/e^(2x)
per x->+00, sia -1/e^(2x) che 1/e^(2x) tendono a zero, quindi
per il primo teorema del confronto, anche cos(x)/e^(2x) tende a zero
per x->+00. Di conseguenza possiamo affermare che:
lim[x->+00] cos(x)/e^(2x) = 0
e quindi y = 0, ovvero l'asse x, è asintoto orizzontale.
2) x->-00 ; il limite non esiste perché se riprendiamo
-1/e^(2x) <= cos(x)/e^(2x) <= 1/e^(2x)
osserviamo che, per x->-00, -1/e^(2x) e 1/e^(2x) tendono a due limiti diversi
(rispettivamente -00 e +00), quindi il primo teorema del
confronto non è applicabile e conseguentemente nulla si può dire
sulla funzione cos(x)/e^(2x).
Dunque, chiariamo un po' di cose...
Questo non è proprio corretto!!! Come fai a dire che
la funzione non assume mai valori negativi, se il coseno
è una funzione periodica e assume sempre valori compresi tra -1 e 1 ?
Prova per esempio a calcolare il valore di cos(x)/e^(2x)
per x = - 2/3 [}:)] : ottieni y = -32.97148260 che è un valore
decisamente negativo!! [:)] Per conoscere gli intervalli di positività
della funzione, occorre risolvere la disequazione cos(x)/e^(2x) > 0 ;
si ottiene: -[}:)]/2 + 2k[}:)] < x < [}:)]/2 + 2k[}:)] con k intero relativo o nullo.
La funzione cos(x)/e^(2x) è positiva SOLO in questo intervallo, non sempre!!!
L'asintoto verticale ha equazione x = - d/c !
quote:
Originally posted by jack
... la tua funzione non assume mai valori negativi ...
Questo non è proprio corretto!!! Come fai a dire che
la funzione non assume mai valori negativi, se il coseno
è una funzione periodica e assume sempre valori compresi tra -1 e 1 ?
Prova per esempio a calcolare il valore di cos(x)/e^(2x)
per x = - 2/3 [}:)] : ottieni y = -32.97148260 che è un valore
decisamente negativo!! [:)] Per conoscere gli intervalli di positività
della funzione, occorre risolvere la disequazione cos(x)/e^(2x) > 0 ;
si ottiene: -[}:)]/2 + 2k[}:)] < x < [}:)]/2 + 2k[}:)] con k intero relativo o nullo.
La funzione cos(x)/e^(2x) è positiva SOLO in questo intervallo, non sempre!!!
quote:
Originally posted by jack
... mi sono accorto che ho fatto un piccolo errore nella formula degli asintoti; è y=a/c e x=d/c ...
L'asintoto verticale ha equazione x = - d/c !
grazie per l'aiuto![:)]
...ma per la funzione y=e^-2x*cosx il limite che tende a -00 quanto vale?
...ma per la funzione y=e^-2x*cosx il limite che tende a -00 quanto vale?
quote:
Originally posted by barbarossa87
...ma per la funzione y=e^-2x*cosx il limite che tende a -00 quanto vale?
Si dice "il limite per x che tende a -00",
non "il limite che tende a -00"... [:)]
Comunque non esiste il limite per x->-00.
Infatti, riprendendo:
-1/e^(2x) <= cos(x)/e^(2x) <= 1/e^(2x)
per x->-00 il primo teorema del confronto non è
applicabile in quanto -1/e^(2x) tenderebbe a -00
mentre 1/e^(2x) tenderebbe a +00, cioè i risultati
dei due limiti sarebbero diversi. Quindi non
si può fare nulla.
sì ho visto la svista sugli asintoti dell' iperbole...sto invecchiando....
per quanto riguarda la seconda funzione, pensavo che fosse y=e^(-2x*cosx), che ha comunque per asintoto l' asse x; giusto per essere sicuri, ma quando scrivi x->+00, intendi dire "+ infinito"?
per quanto riguarda la seconda funzione, pensavo che fosse y=e^(-2x*cosx), che ha comunque per asintoto l' asse x; giusto per essere sicuri, ma quando scrivi x->+00, intendi dire "+ infinito"?
Sì, intendo dire "+infinito".
quote:
Originally posted by jack
... y=e^(-2x*cosx), che ha comunque per asintoto l' asse x ...
Non è vero!!! Il limite per x->00 di questa funzione non esiste e quindi,
essendo il dominio della funzione coincidente con l'insieme dei numeri reali,
non ci sono punti di discontinuità e di conseguenza non ci sono
né asintoti verticali, né asintoti orizzontali. È corretto dire
che il grafico della funzione non interseca mai l'asse dell'ascisse,
perché la funzione non si azzera mai, essendo un esponenziale;
ma non è corretto dire che l'asse delle ascisse è asintoto
orizzontale della funzione!
Infatti, possiamo dire che il grafico di una funzione
ammette un asintoto orizzontale, di equazione y = k,
quando i valori della funzione, per x che tende all'infinito
(ossia per x che cresce sempre di più, assumendo valori sempre più grandi),
tendono a k (ovvero si avvicinano sempre di più a k),
ma non assumono mai il valore k (k è chiaramente un valore finito).
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