Funzioni

[mmattiak]

Una funzione monotona è necessariamente biiettiva? e una biiettiva è necessariamente monotona? Potreste darmi una risposta e motivarmela? grazie

[axpgn]

Se non è monotona avrai necessariamente due punti che avranno la stessa ordinata e quindi, invertendo il senso, a quella ordinata corrispondono due ascisse, perciò non può essere una funzione.
Esempio:

[gugo82]

"mmattiak":Una funzione monotona è necessariamente biiettiva? e una biiettiva è necessariamente monotona? Potreste darmi una risposta e motivarmela? grazie

No.

Ad esempio la funzione definita per casi:
\[
f(x):= \begin{cases} x+2 &\text{, se } x\leq -2\\ 0 &\text{, se } -2\leq x\leq 2 \\ x-2 &\text{, se } x\geq 2\end{cases}
\]
il cui grafico è riportato qui sotto:
[asvg]axes("","");
stroke="red"; strokewidth=2;
line([-6,-4],[-2,0]); line([-2,0],[2,0]); line([2,0],[6,4]);[/asvg]
è monotòna crescente, perché \(x_1\leq x_2\ \Rightarrow\ f(x_1)\leq f(x_2)\), ma non è biiettiva, perché assume lo stesso valore in tutti i punti dell'intervallo \([-2,2]\).

Affinché una funzione sia biiettiva c'è bisogno che essa sia strettamente monotòna, cioé o strettamente crescente o strettamente decrescente, in tutto il suo insieme di definizione.
Infatti, la stretta monotonia impedisce che siano presenti nel diagramma del grafico della funzione tratti orizzontali, ossia tratti in cui la funzione assume lo stesso valore (cosa che la monotonia semplice non impedisce, come si è visto nell'esempio precedente).

Per chiarire il senso della parte sottolineata, invece, basta analizzare il grafico seguente:
[asvg]axes("","");
stroke="red"; strokewidth=2; line([-6,-4],[0,2]); dot([0,-2]); line([0,-2],[6,4]);[/asvg]
Infatti, la funzione che ha tale grafico non è biiettiva perché, pur essendo strettamente crescente in ognuno dei due "pezzi" \(]-\infty,0[\) e \([0,+\infty[\) che compongono il dominio, non è strettamente crescente in tutto il suo dominio \(\mathbb{R}\) (perché, ad esempio, risulta \(-1< 0\) ma \(f(-1)=1>-2=f(0)\)).

[mathbells]

"mmattiak":...e una biiettiva è necessariamente monotona?

Anche in questo caso la risposta è no. Ad esempio ($f$ è definita in $\mathbb R$):
\[
f(x):= \begin{cases} x &\text{, se } x\in \mathbb Q\\ -x &\text{, se } x\notin \mathbb Q \end{cases}
\]