Funzione polinomiale con parametro reale

[Francy20052]

Buongiorno, chiedo nuovamente il vostro aiuto per risolvere un problema del capitolo sulla derivabilità ed il calcolo differenziale.
Riporto di seguito il testo dell'esercizio:

Considera la famiglia di funzioni $f(x)=ax^3+(2a+1)x^2+3ax+2a$, al variare del parametro reale a.
a) Verifica che per ogni a appartenente ad R il grafico di f(x) passa per il punto A (-1;1).
b) Stabilisci per quali valori del parametro a la funzione f(x) è invertibile. Motiva la risposta.
c) Trova, se esiste, il valore del parametro a per cui f(x) è invertibile e, detta F(x) la funzione inversa, F'(1)=2.
d) Determina il valore di a per cui la funzione f(x) ha la derivata seconda che si annulla nell’ascissa del punto A. Per il valore di a trovato, traccia un grafico possibile della funzione f(x).
_____________________________________________________________________
Allora, io ho iniziato l'esercizio ragionando in questo modo:
a) Ho sostituito le coordinate del punto A in f(x) ed ho trovato un'identità che non dipende dal parametro a, pertanto in grafico passa per il punto A per ogni a appartenente ad R (f(-1)=-a+2a+1-3a+2a=1)
b) La funzione è polinomiale, continua e derivabile in tutto il suo dominio R. Ho pensato che per essere invertibile dovesse essere crescente, pertanto ho studiato il segno di f(x), calcolando il delta - che dipende da a - e mi risulta negativo e qui mi sono bloccata. Sicuramente sto facendo dei ragionamenti sbagliati...

Qualcuno sarebbe in grado di aiutami nello svolgimento di questo esercizio?
Grazie e buona giornata

[moccidentale]

.

[Noodles1]

"Francy2005":
b) Stabilisci per quali valori del parametro a la funzione f(x) è invertibile.

A rigore, poichè la derivabilità della funzione inversa non è richiesta:

$AA x in RR$

$[f'(x) lt= 0] vv [f'(x) gt= 0]$

Quindi, poichè:

$f'(x)=3ax^2+2(2a+1)x+3a$

necessariamente:

$\Delta/4 lt= 0 rarr -5a^2+4a+1 lt= 0 rarr a lt= -1/5 vv a gt= 1$

[Francy20052]

Grazie, più o meno ero giunta ancge io a questi risultati.
Il vero problema sono gli ultimi due punti che non so proprio risolvere.
Hai qualche suggerimento?

[Noodles1]

Per quanto riguarda il terzo punto, poichè la derivata della funzione inversa è il reciproco della derivata della funzione, dovresti ricavare il parametro $a$ risolvendo il sistema sottostante:

$\{(f(x)=1),(f'(x)=1/2):} rarr \{(ax^3+(2a+1)x^2+3ax+2a=1),(3ax^2+2(2a+1)x+3a=1/2):}$

Tuttavia, riconsiderando il primo punto, necessariamente:

$[y=1] rarr [x=-1] rarr [a=5/4]$

Per quanto riguarda il quarto punto, non dovresti avere particolari problemi.

[lucastamba]

Ciao! Per la domanda (c) si impone $f'(1)=1/{F'(1)}=1/2$ cioè $10a+2=1/2$ che dà $a=-3/20$ che però non è nell'intervallo di invertibilità.
Per la domanda (d) si impone $f''(-1)=0$ e si determina il valore di a.

[Noodles1]

"LucaSt":
Per la domanda (c) si impone ...

Premesso che stiamo trattando concetti di base, sei sicuro di quello che hai scritto?

[lucastamba]

Pardon, hai ragione \(f'(x_0)=\frac{1}{ F'(y_0)}\) e \(x_0=-1\) per \(y_0=1\), confermo a=5/4
:smt023