Funzione periodica
Buongiorno,
Vorrei il vostro aiuto per trovare una particolare funzione periodica continua che soddisfi alcune caratteristiche. Ma prima una premessa, per cercare di essere più comprensibile.
La funzione $ sen(x) $ é una funzione periodica continua, con periodo di 2 pigreco, il cui valore massimo é =1 per $ x=pi/2 $ e il cui valore minimo é =-1 per $ x=3/2pi $, questi ad intervalli di 2 pigreco, e con la distanza di questi apici pari a pigreco
Ora il quesito: la funzione di cui ho bisogno deve rispettare la periodicità e la continuità, ma la distanza fra gli apici non deve essere più =pigreco, ma un valore diverso, sempre nell'intervallo di periodicità di 2pigreco. Non scrivo l'intervallo fra i due apici perché puó variare a secondo del caso, e per questo avrei bisogno che nella funzione sia possibile cambiare una o più valori per avere l'intervallo fra i due apici desiderato.
Vi ringrazio e spero di essere stato chiaro.
Vorrei il vostro aiuto per trovare una particolare funzione periodica continua che soddisfi alcune caratteristiche. Ma prima una premessa, per cercare di essere più comprensibile.
La funzione $ sen(x) $ é una funzione periodica continua, con periodo di 2 pigreco, il cui valore massimo é =1 per $ x=pi/2 $ e il cui valore minimo é =-1 per $ x=3/2pi $, questi ad intervalli di 2 pigreco, e con la distanza di questi apici pari a pigreco
Ora il quesito: la funzione di cui ho bisogno deve rispettare la periodicità e la continuità, ma la distanza fra gli apici non deve essere più =pigreco, ma un valore diverso, sempre nell'intervallo di periodicità di 2pigreco. Non scrivo l'intervallo fra i due apici perché puó variare a secondo del caso, e per questo avrei bisogno che nella funzione sia possibile cambiare una o più valori per avere l'intervallo fra i due apici desiderato.
Vi ringrazio e spero di essere stato chiaro.
Risposte
Ah per essere più chiaro: nel periodo ci devono sempre essere due apici, uno =1 e uno =-1
Intendi come $sin(4x)$ ?
Cordialmente, Alex
Cordialmente, Alex
Eh no:
nel periodo ci devono sempre essere due apici, uno =1 e uno =-1
Vabbè, ce ne sono infiniterrime di funzioni fatte così.
Prova a raccordare segmenti o archi di parabola.
Quindi, ti tocca specificare qualche condizione in più.
Prova a raccordare segmenti o archi di parabola.
Quindi, ti tocca specificare qualche condizione in più.
"gugo82":
Vabbè, ce ne sono infiniterrime di funzioni fatte così.
Prova a raccordare segmenti o archi di parabola.
Quindi, ti tocca specificare qualche condizione in più.
Esempi?
Comunque no, non vorrei usare archi o altro, anche perché sennó bastava porre due differenti funzioni ma con periodo diverso e con l'intervallo di validità di x corrispondente ai due apici (con le opportune escusioni)
Per quanto riguarda $ sin(4x) $ non va bene, perché sarà pure che la distanza fra i due apici non é pigreco, ma il periodo é cambiato (deve rimane 2pigreco) e i due apici non devono essere equidistanti, per esempio invece di avere l'apice $ y=1 $ per $ x=pi/2 $ e l'apice $ y=-1 $ per $ x=3pi/2 $ (intervallo costante $ =pi $), bisogna avere l'apice $ y=1 $ per $ x=pi/3 $ e l'apice $ y=-1 $ per $ x=5pi/3 $ (intervallo non costante, perché sarà di $ 4/3pi $ fra l'apice y=1 e l'apice y=-1, e di $ 2/3pi $ fra l'apice y=-1 e l'apice y=1).
Spero di essere stato più chiaro.
Questa $sin(x)*sin(2x)$ ti piace di più? Per l'ampiezza basta riscalare ...
Cordialmente, Alex
Cordialmente, Alex
Troppi apici nel periodo Alex, devono essere solo due (uno massimo e uno minimo).
Peró grazie per il tentativo
Saluti
Peró grazie per il tentativo
Saluti
Eh, ma, non sei mai contento! 
Cordialmente, Alex
Cordialmente, Alex
Forse ho trovato ... $sin(x)*sin(2x+1)$ ... 
Per l'ampiezza, come detto, basta riscalare ...
Cordialmente, Alex
Per l'ampiezza, come detto, basta riscalare ...
Cordialmente, Alex
Dai che forse ci siamo ...
$sin(x)/(cos(x)+2)*sqrt(3)$
Cordialmente, Alex
$sin(x)/(cos(x)+2)*sqrt(3)$
Cordialmente, Alex
Ottimo, alla grande. Ma ora la parte difficile: e se uno dei due apici non fosse uguale a 1 o -1? In linea di massa la media dei valori di y dovrebbe essere zero, pur avendo questa nuova condizione.
Nella speranza che non mi stia maledendo, saluti.
Nella speranza che non mi stia maledendo, saluti.
"ruskin":
... e se uno dei due apici non fosse uguale a 1 o -1 ?
Riscali. Ovvero moltiplichi tutta la funzione per un coefficiente in modo da ampliarla o comprimerla; trovi la differenza tra massimo e minimo e la rapporti alla dimensione che vuoi ottenere.
Poi eventualmente aggiungi o togli in modo da "simmetrizzare" massimo e minimo.
Cordialmente, Alex
In generale puoi prendere una qualunque funzione pari continua, definirla solo su \([-\pi,\pi] \), per Weirestrass possiede massimo e minimo, mettili come vuoi sti massimi e minimi. E poi la estendi per \(2 \pi \) periodicità a tutto \( \mathbb{R} \).
Ok, ma in questo modo non cambia la media? Giustissimo moltiplicare per un coefficiente, ma aggiungendo o sottraendo per un valore sposto in alto o in basso l'equazione, cambiandola di conseguenza?
Comunque prima che ti mi rispondessi avevo trovato una soluzione partendo dalla tua equazione, per esempio $sin(x+1)/(cos(x)+2)*3^(1/2)$. Dovrebbe andar bene comunque. Opinioni?
Saluti
Comunque prima che ti mi rispondessi avevo trovato una soluzione partendo dalla tua equazione, per esempio $sin(x+1)/(cos(x)+2)*3^(1/2)$. Dovrebbe andar bene comunque. Opinioni?
Saluti
E per mettere gli "apici" come vuoi te, ti basta definire una funzione \(f\) continua solo su \([0,\pi] \), in modo che il massimo ed il minimo siano raggiunti rispettivamente con \(x_M \) e \(x_m \) e tale che \( \left| x_M - x_m \right| \neq \pi/2 \) ed inoltre tale che \( f(0) = f(\pi) \), e poi la estendi per parità su \( [-\pi,\pi] \) e poi per \( 2\pi \) periodicità 
Ad esempio prendiamo
\[ f : [0, \pi ] \to \mathbb{R} \]
definita
\[ x \mapsto f(x) = \left\{\begin{matrix}
x & \text{se} & 0 \leq x \leq 3 \\
\frac{3}{3-\pi} x - \frac{3 \pi}{3- \pi}& \text{se} & 3 < x \leq \pi
\end{matrix}\right. \]
poi la estendi per parità
ovvero la definisci su \( [-\pi,\pi] \) in modo tale che \( f(-x) = f(x) \) e poi per \(2\pi\)-periodicità ovvero in modo tale che \( f(x+ 2\pi)=f(x) \).
Su \( [-\pi,\pi] \) possiede massimo in \( x=3\) e \(x= 3 - \pi \) e vale \( f(3)=f(3-\pi)=3 \) e possiede minimo in \( x=0 \), \( x=\pi \) e \( x= - \pi \) e vale \( f(0)=f(\pi)=f(-\pi) = 0 \), come puoi vedere la distanza minimale tra due apici successivi vale (partendo da 0) \(3\), \( \{ \pi \} \), \(3 \), \( \{ \pi \} \), etc.. dove con \( \{ \cdot \} \) intendo la parte frazionaria ovvero \( \{ x \} = x - \left \lfloor x \right \rfloor \).
Ad esempio prendiamo
\[ f : [0, \pi ] \to \mathbb{R} \]
definita
\[ x \mapsto f(x) = \left\{\begin{matrix}
x & \text{se} & 0 \leq x \leq 3 \\
\frac{3}{3-\pi} x - \frac{3 \pi}{3- \pi}& \text{se} & 3 < x \leq \pi
\end{matrix}\right. \]
poi la estendi per parità
ovvero la definisci su \( [-\pi,\pi] \) in modo tale che \( f(-x) = f(x) \) e poi per \(2\pi\)-periodicità ovvero in modo tale che \( f(x+ 2\pi)=f(x) \).
Su \( [-\pi,\pi] \) possiede massimo in \( x=3\) e \(x= 3 - \pi \) e vale \( f(3)=f(3-\pi)=3 \) e possiede minimo in \( x=0 \), \( x=\pi \) e \( x= - \pi \) e vale \( f(0)=f(\pi)=f(-\pi) = 0 \), come puoi vedere la distanza minimale tra due apici successivi vale (partendo da 0) \(3\), \( \{ \pi \} \), \(3 \), \( \{ \pi \} \), etc.. dove con \( \{ \cdot \} \) intendo la parte frazionaria ovvero \( \{ x \} = x - \left \lfloor x \right \rfloor \).
Mmmmh... Interessante. Non c'é modo di poter definire arbitrariamente la distanza fra massimo e minimo (apici) senza dover splittare x, ma "semplicemente" variando i coefficienti nell'equazione?
"ruskin":
Mmmmh... Interessante. Non c'é modo di poter definire arbitrariamente la distanza fra massimo e minimo (apici) senza dover splittare x, ma "semplicemente" variando i coefficienti nell'equazione?
Non ho capito.
Non vuole le funzioni "a tratti".
"axpgn":
Non vuole le funzioni "a tratti".
Corretto.
Finora, partendo dalla tua funzione, riesco a poter definire l'ampiezza e la posizione del primo massimo/minimo cambiando alcuni parametri, peró il massimo e il minimo sono simmetrici rispetto a $x=0$, $x=2pi$, $x=4pi$ ecc.
Partendo dalla tua funzione generale $ sin(x) /(cos(x) +a) *b$ sì puó porre a sistema $sin(x) *b=cos(x) +a$ & $a*cos(x) +1=0$ (derivata prima senza il denominatore), così scegliendo un valore di x e sostituendo nel sistema, posso ricavare i parametri $a$ e $b$ così da avere il primo massimo/minimo nel valore x scelto e ampiezza =1 (basta poi moltiplicare per un valore per cambiare ampiezza).
Ora già così sarebbe sufficiente, ma sarei curioso se é possibile, sempre cambiando qualche parametro, poter scegliere arbitrariamente la posizione del massimo e del minimo, senza vincoli di simmetria e senza che la funzione sia "a tratti".
Saluti
"ruskin":
... peró il massimo e il minimo sono simmetrici rispetto a $ x=0 $, $ x=2pi $, $ x=4pi $ ecc.
Premesso che quello che cercavi era solo che la distanza tra max/min fosse diversa da quella min/max, essendo periodica basta spostare il punto di partenza (che è relativo).
Ottengo quello che vuoi ma sostanzialmente non cambia niente ...
$f(x)=sin(x+(2pi)/3)/(cos(x+(2pi)/3)+2)*sqrt(3)$
Cordialmente, Alex
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