Funzione nidificata
Ciao a tutti! Ho difficolta a comprendere pienamente il concetto di funzione, in particolare quello di funzione nidificata. La funzione, per come l'ho capita, è un'operazione che ha una condizione che deve risultare vera affinché venga associato un elemento di A uno e uno solo elemento di B (dati due insieme A e B qualsiasi). E, tramite il diagramma di Venn, mi è facile visualizzare il processo.
Nel caso però di funzioni nidificate come questa:
$ g: D => ( D => {0,1} ) | AAx in D : g(x) = f: D => {0,1} | AAy in D : f(y) = 1$ se e solo se a y piace x
Non riesco a capire come possa il condominio di g(x) essere una funzione. In termini più informatici, l'output di f(x) è 0 o 1 se è vero che all'argomento dato y piace una variabile x, ma quello di g(x)?
Dove entra in gioco l'argomento di g(x)? Si associa alla funzione che in seguito associa un valore per quest'ultima funzione, ma non mi è chiaro questo passaggio.
Spero di essere stato chiaro. Nel caso, potreste disegnare un diagramma di Venn per chiarire le relazioni della funzione di cui sopra?
Nel caso però di funzioni nidificate come questa:
$ g: D => ( D => {0,1} ) | AAx in D : g(x) = f: D => {0,1} | AAy in D : f(y) = 1$ se e solo se a y piace x
Non riesco a capire come possa il condominio di g(x) essere una funzione. In termini più informatici, l'output di f(x) è 0 o 1 se è vero che all'argomento dato y piace una variabile x, ma quello di g(x)?
Dove entra in gioco l'argomento di g(x)? Si associa alla funzione che in seguito associa un valore per quest'ultima funzione, ma non mi è chiaro questo passaggio.
Spero di essere stato chiaro. Nel caso, potreste disegnare un diagramma di Venn per chiarire le relazioni della funzione di cui sopra?
Risposte
Ciao dulf64, benvenuto nel forum!
Non ho mai sentito il termine "funzione nidificata" potresti per favore dare la definizione?
Inoltre questo
non vuol dire nulla
Edit: sospetto che per "funzione nidificata" tu intenda una funzione che associa ad ogni elemento del dominio un'altra funzione definita sul medesimo dominio.
Se è questo il caso scriviamo meglio, definiamo l'insieme delle funzioni \( \mathcal{F}(X,Y) \) da \(X\) a \(Y\). Ovvero \( \mathcal{F}(X,Y) \ni f : X \to Y \) (NB si usa \( \to \) e non \( \Rightarrow\) ).
Definiamo una funzione \( g : X \to \mathcal{F}(X,Y) \) cioé ad ogni \( x \mapsto g(x)=f_x : X \to Y \).
Non c'è nulla di diverso che accade. Semplicemente invece di avere un codominio che è un insieme di numeri hai un codominio che è un insieme di funzioni.
Attento che questa affermazione è falsa
il codominio è un insieme di funzioni, non una funzione!
Prendiamo il tuo esempio
\[ g : D \to \mathcal{F}(D,\{0,1\}) \]
\[ x \mapsto g(x)=f_x : D \to \{0,1\} \]
ora se fissi un elemento \(x \in D \) hai che
\[ f_x : D \to \{0,1\} \]
\[ y \mapsto f_x(y) = 1 \text{ se e solo se } x \sim y \]
ho scritto \( x \sim y \) perché non so cosa tu voglia dire con " a \( y \) piace \( x \) ", non vuole dire proprio nulla "piace" che io sappia (a meno che non è definito da qualche parte).
Ad ogni modo ti faccio un esempio:
prendiamo \( D := \{ 0,1 \} \) e diciamo che
\[ f_x : D \to \{0,1\} \]
\[ y \mapsto f_x(y) = \left\{\begin{matrix}
1 & \text{se} & xy=0 \\
0& \text{altrimenti}&
\end{matrix}\right. \]
allora hai ad esempio
\( 0 \mapsto g(0)=f_0 \) e \( 1 \mapsto g(1) = f_1 \). Ora hai che \( f_0(0)=1\) e e \( f_0(1)=1\), mentre \( f_1(0)=1\) e \( f_1(1) = 0 \). Come puoi vedere l'immagine di \(f_x\) (e quindi la funzione stessa) è determinata da \(g(x)\) ovvero è determinata da \(x\).
Però dovresti scrivere meglio perché io ho fatto delle supposizioni su cosa credo tu voglia dire. Ma ti ripeto che "a \( y\) piace \(x\) "non vuol dire nulla.
Non ho mai sentito il termine "funzione nidificata" potresti per favore dare la definizione?
Inoltre questo
$ g: D => ( D => {0,1} ) | AAx in D : g(x) = f: D => {0,1} | AAy in D : f(y) = 1$ se e solo se a y piace x
non vuol dire nulla
Edit: sospetto che per "funzione nidificata" tu intenda una funzione che associa ad ogni elemento del dominio un'altra funzione definita sul medesimo dominio.
Se è questo il caso scriviamo meglio, definiamo l'insieme delle funzioni \( \mathcal{F}(X,Y) \) da \(X\) a \(Y\). Ovvero \( \mathcal{F}(X,Y) \ni f : X \to Y \) (NB si usa \( \to \) e non \( \Rightarrow\) ).
Definiamo una funzione \( g : X \to \mathcal{F}(X,Y) \) cioé ad ogni \( x \mapsto g(x)=f_x : X \to Y \).
Non c'è nulla di diverso che accade. Semplicemente invece di avere un codominio che è un insieme di numeri hai un codominio che è un insieme di funzioni.
Attento che questa affermazione è falsa
Non riesco a capire come possa il condominio di g(x) essere una funzione.
il codominio è un insieme di funzioni, non una funzione!
Prendiamo il tuo esempio
\[ g : D \to \mathcal{F}(D,\{0,1\}) \]
\[ x \mapsto g(x)=f_x : D \to \{0,1\} \]
ora se fissi un elemento \(x \in D \) hai che
\[ f_x : D \to \{0,1\} \]
\[ y \mapsto f_x(y) = 1 \text{ se e solo se } x \sim y \]
ho scritto \( x \sim y \) perché non so cosa tu voglia dire con " a \( y \) piace \( x \) ", non vuole dire proprio nulla "piace" che io sappia (a meno che non è definito da qualche parte).
Ad ogni modo ti faccio un esempio:
prendiamo \( D := \{ 0,1 \} \) e diciamo che
\[ f_x : D \to \{0,1\} \]
\[ y \mapsto f_x(y) = \left\{\begin{matrix}
1 & \text{se} & xy=0 \\
0& \text{altrimenti}&
\end{matrix}\right. \]
allora hai ad esempio
\( 0 \mapsto g(0)=f_0 \) e \( 1 \mapsto g(1) = f_1 \). Ora hai che \( f_0(0)=1\) e e \( f_0(1)=1\), mentre \( f_1(0)=1\) e \( f_1(1) = 0 \). Come puoi vedere l'immagine di \(f_x\) (e quindi la funzione stessa) è determinata da \(g(x)\) ovvero è determinata da \(x\).
Però dovresti scrivere meglio perché io ho fatto delle supposizioni su cosa credo tu voglia dire. Ma ti ripeto che "a \( y\) piace \(x\) "non vuol dire nulla.
Grazie mille della spiegazione! Sei stato/a fantastico/a!
Speravo, ingenuamente, che il mio esempio di stampo linguistico passasse inosservato, ma in un forum di matematici, in effetti, non avevo speranze. Purtroppo, in altre discipline, ciò che ho scritto ha senso
. Era un modo per denotare una qualsiasi proprietà binaria tra due entità, che fossero matematiche o linguistiche e tu l'hai interpretata egregiamente. Così come la definizione di funzione nidificata. Molto probabilmente non esiste tale concetto in matematica, ma in informatica e discipline di cui sopra, ahimè esistono... e anche qui hai dato la perfetta definizione, grazie.
Tralasciando il mio disappunto per le discipline di cui sopra sopra, il concetto mi è più chiaro e grazie all'esempio dato ancor di più. Tuttavia, forse per la natura per niente analitica della mia mente, non riesco ancora a cogliere pienamente il concetto. Farò un altro esempio e questa volta userò esempi matematici, promesso.
Definisco:
il dominio
la funzione
(Comunque quella che avevo scritto, non ha senso per come l'ho definita o per la nota linguistica? Anche così non avrebbe senso?
$g: D -> {f: D->{0,1}} | AA x in D, g(x) = f : D -> {0,1} AA y in D, f(y) = 1 <=> y^2 + z^2 = x^2$)
Quindi, come nel tuo esempio, preso un elemento dal dominio
$5 -> g(5) = f$[size=50]$2$[/size]
$f$[size=50]$2$[/size]$(3,4) = 1$
Quindi, come mi hai suggerito, il condominio di g(x) sarebbe un insieme di funzioni. Ora, poiché la funzione $f$ associa uno e uno solo elemento del dominio al valore 1 e gli altri 0, la cardinalità del condominio (o immagine?) di $g(x)$ sarebbe pari alla cardinalità del $D$ (nell'esempio, nel condominio di $g(x)$ ci sarebbe la funzione che associa $1,1 -> 1$ $se$ $1^2 + 1^2 = x^2$, quella di $ 3,4 -> 1$ $ se$ $3^2 + 4^2 = x^2$ ...), cosicché, sostituendo l'argomento di $g(x)$ con un elemento del dominio, questo si associa alla funzione che soddisfa la condizione; oppure il codominio di $g(x)$ ha come elemento solo la funzione $f(y,z)$ (però, in questo caso, dovrei sostituire gli argomenti della funzione $f$ in un secondo tempo ricordandomi del valore della $x$, ed è qui che la cosa mi pare strana. Anche nel tuo esempio, $g(1) -> f$[size=50]$1$[/size], ma $f$[size=50]$1$[/size] ha due valori distinti a seconda del valore della $x$ che si perde in un piano ignoto. Certo, definendo tutti gli argomenti, la mia funzione si associa a $g(1) -> f$[size=50]$1$[/size] e poi per esempio f$[size=50]$1$[/size]$(1)$ = 0, tuttavia, rimango dubbioso proprio su questo punto).
Spero di essere stato chiaro e di aver spiegato un po' meglio dove sta il mio dubbio.
Ti ringrazio ancora moltissimo!
Speravo, ingenuamente, che il mio esempio di stampo linguistico passasse inosservato, ma in un forum di matematici, in effetti, non avevo speranze. Purtroppo, in altre discipline, ciò che ho scritto ha senso
. Era un modo per denotare una qualsiasi proprietà binaria tra due entità, che fossero matematiche o linguistiche e tu l'hai interpretata egregiamente. Così come la definizione di funzione nidificata. Molto probabilmente non esiste tale concetto in matematica, ma in informatica e discipline di cui sopra, ahimè esistono... e anche qui hai dato la perfetta definizione, grazie. Tralasciando il mio disappunto per le discipline di cui sopra sopra, il concetto mi è più chiaro e grazie all'esempio dato ancor di più. Tuttavia, forse per la natura per niente analitica della mia mente, non riesco ancora a cogliere pienamente il concetto. Farò un altro esempio e questa volta userò esempi matematici, promesso.
Definisco:
il dominio
$D:= NN$
la funzione
$g: D -> F(D,{0,1})$
$x -> g(x) = f$[size=50]$x$[/size]$ : D -> {0,1}$
$y,z -> f$[size=50]$x$[/size]$(y,z) = 1 <=> y^2 + z^2 = x^2$
(Comunque quella che avevo scritto, non ha senso per come l'ho definita o per la nota linguistica? Anche così non avrebbe senso?
$g: D -> {f: D->{0,1}} | AA x in D, g(x) = f : D -> {0,1} AA y in D, f(y) = 1 <=> y^2 + z^2 = x^2$)
Quindi, come nel tuo esempio, preso un elemento dal dominio
$5 -> g(5) = f$[size=50]$2$[/size]
$f$[size=50]$2$[/size]$(3,4) = 1$
Quindi, come mi hai suggerito, il condominio di g(x) sarebbe un insieme di funzioni. Ora, poiché la funzione $f$ associa uno e uno solo elemento del dominio al valore 1 e gli altri 0, la cardinalità del condominio (o immagine?) di $g(x)$ sarebbe pari alla cardinalità del $D$ (nell'esempio, nel condominio di $g(x)$ ci sarebbe la funzione che associa $1,1 -> 1$ $se$ $1^2 + 1^2 = x^2$, quella di $ 3,4 -> 1$ $ se$ $3^2 + 4^2 = x^2$ ...), cosicché, sostituendo l'argomento di $g(x)$ con un elemento del dominio, questo si associa alla funzione che soddisfa la condizione; oppure il codominio di $g(x)$ ha come elemento solo la funzione $f(y,z)$ (però, in questo caso, dovrei sostituire gli argomenti della funzione $f$ in un secondo tempo ricordandomi del valore della $x$, ed è qui che la cosa mi pare strana. Anche nel tuo esempio, $g(1) -> f$[size=50]$1$[/size], ma $f$[size=50]$1$[/size] ha due valori distinti a seconda del valore della $x$ che si perde in un piano ignoto. Certo, definendo tutti gli argomenti, la mia funzione si associa a $g(1) -> f$[size=50]$1$[/size] e poi per esempio f$[size=50]$1$[/size]$(1)$ = 0, tuttavia, rimango dubbioso proprio su questo punto).
Spero di essere stato chiaro e di aver spiegato un po' meglio dove sta il mio dubbio.
Ti ringrazio ancora moltissimo!
Sospetto che tu faccia confusione tra le immagini di \(g\) e le immagini di \(g(x)\). E credo che ti ho causato io questa confusione. Scriverò \(g(x) \) per scrivere \(f_x\) perché sono la stessa cosa.
Prendo il tuo esempio.
Piccola precisazione. Presumo che sia \( y \) che \(z\) sono variabili della tua funzione allora \( f_x : D^2 \to \{0,1\} \) e non \( f_x : D \to \{ 0,1 \} \). E dunque
\[ g : D \to \mathcal{F}(D^2,\{0,1\}) \]
\[ x \mapsto g(x) : D^2 \to \{0,1\} \]
\[ (y,z) \mapsto g(x)(y,z) = \left\{\begin{matrix}
1 & \text{se} & y^2+z^2=x^2 \\
0& \text{altrimenti}
\end{matrix}\right. \]
Detto ciò, nel tuo esempio: con \( \operatorname{Dom} \) indico il dominio. Con \( \operatorname{Cod} \) indico il codominio e con \( \operatorname{Im} \) indico l'immagine.
\[ \operatorname{Dom}(g) = D \]
\[ \operatorname{Cod}(g) = \mathcal{F}(D^2,\{0,1\}) \]
\[ \operatorname{Im}(g) \subsetneq \mathcal{F}(D^2,\{0,1\}) \]
dove il dominio di \(g\) è chiaro. Il codominio come detto è appunto l'insieme delle funzioni \( \mathcal{F}(D^2,\{0,1\}) \), perché ad ogni \( x \in D \) gli viene associata una ed una sola funzione \( g(x) : D^2 \to \{0,1\} \), che fondamentalmente ti associa ad un punto \( D^2 \ni (y,z) \mapsto g(x)(y,z)=1 \) se \( (y,z) \) giace sulla circonferenza del cerchio centrato in \((0,0)\) e di raggio \(x\) e \( g(x)(y,z) = 0 \) altrimenti.
Mentre chiaramente \( \operatorname{Im}(g) \subsetneq \mathcal{F}(D^2,\{0,1\}) \) non è tutto \( \mathcal{F}(D^2,\{0,1\}) \) poiché possiamo definire delle funzioni che non sono date dalla regola per cui è definita \( g \).
Ad esempio \(f : D^2 \to \{0,1\} \) dove \(f(y,z)= 0 \) se \(y+z \) è pari e \(f(y,z)= 1 \) altrimenti. Abbiamo chiaramente che \(f\) è un elemento di \( \mathcal{F}(D^2,\{0,1\}) \) ma per ogni \( x \in D \) risulta che \( g(x) \neq f \) poiché ad esempio \(f(0,2n+1) =1 \) per ogni \( n \in \mathbb{N} \). Ora se \(x\) è pari allora \(x=2m \) per qualche \(m\) e chiaramente \( f(0,2n+1)=1 \neq 0 = g(2m)(0,2n+1) \) per ogni \( n \in \mathbb{N} \). Mentre se \(x\) è dispari allora \(x=2m+1\) per qualche \(m\) e dunque risulta che \(g(2m+1)(0,2m+3) = 0 \neq 1 = f(0,2m+3) \). Pertanto per ogni \(x\) abbiamo che esiste almeno un punto \((y,z) \) tale che \( g(x)(y,z) \neq f(y,z) \) e dunque concludiamo che \(g(x) \neq f\). Infatti in generale due funzioni \( f: X \to Y \) e \(g: A \to B \) si dicono uguali se vale quanto segue \(X=A\), \(Y=B\) e per ogni \(x \in X \) risulta che \(f(x)=g(x) \), allora \(f=g\).
Detto ciò abbiamo dunque che fissato un \(x \in D \) risulta che \(g(x)\) è una funzione. E risulta che
\[ \operatorname{Dom}(g(x)) = D^2 \]
\[ \operatorname{Cod}(g(x)) = \{0,1\}\]
\[ \operatorname{Im}(g(x)) = \{0,1\} \]
Nella mia risposta precedente ho scritto
ma è sbagliato difatti intendevo \( g \) e non \(g(x)\). Mi scuso se ti ha creato confusione. L'affermazione fatta da te rimane scorretta.
Ad ogni modo essendo \(g(x) : D^2 \to \{0,1\} \) una funzione il suo codominio è \( \{0,1\}\) e la sua immagine è pure \(\{0,1\} \) poiché puoi trovare sia dei punti che danno come immagine \(0\), ad esempio \(g(x)(x,x)=0\) per ogni \(x \in D\), e puoi sicuramente trovare de punti per cui l'immagine è \(1\), ad esempio \(g(x)(0,x) = 1 \) per ogni \(x \in D \). Mentre invece l'immagine di \( g \) è un sottoinsieme (stretto per quanto detto sopra) dell'insieme delle funzioni \( \mathcal{F}(D^2,\{0,1\} ) \).
Non penso sia scorretto ma io opterei per
\[ g : D \to \mathcal{F}(D^2,\{0,1\}) \]
\[ x \mapsto g(x) : D^2 \to \{0,1\} \]
\[ (y,z) \mapsto g(x)(y,z) = \left\{\begin{matrix}
1 & \text{se} & y^2+z^2=x^2 \\
0& \text{altrimenti}
\end{matrix}\right. \]
È più chiara e più formale.
Spero di aver risposto a tutto. Se hai altri dubbi non esitare.
Prendo il tuo esempio.
$ D:= NN $
la funzione$ g: D -> F(D,{0,1}) $
$ x -> g(x) = f $[size=50]$ x $[/size]$ : D -> {0,1} $
$ y,z -> f $[size=50]$ x $[/size]$ (y,z) = 1 <=> y^2 + z^2 = x^2 $
Piccola precisazione. Presumo che sia \( y \) che \(z\) sono variabili della tua funzione allora \( f_x : D^2 \to \{0,1\} \) e non \( f_x : D \to \{ 0,1 \} \). E dunque
\[ g : D \to \mathcal{F}(D^2,\{0,1\}) \]
\[ x \mapsto g(x) : D^2 \to \{0,1\} \]
\[ (y,z) \mapsto g(x)(y,z) = \left\{\begin{matrix}
1 & \text{se} & y^2+z^2=x^2 \\
0& \text{altrimenti}
\end{matrix}\right. \]
Detto ciò, nel tuo esempio: con \( \operatorname{Dom} \) indico il dominio. Con \( \operatorname{Cod} \) indico il codominio e con \( \operatorname{Im} \) indico l'immagine.
\[ \operatorname{Dom}(g) = D \]
\[ \operatorname{Cod}(g) = \mathcal{F}(D^2,\{0,1\}) \]
\[ \operatorname{Im}(g) \subsetneq \mathcal{F}(D^2,\{0,1\}) \]
dove il dominio di \(g\) è chiaro. Il codominio come detto è appunto l'insieme delle funzioni \( \mathcal{F}(D^2,\{0,1\}) \), perché ad ogni \( x \in D \) gli viene associata una ed una sola funzione \( g(x) : D^2 \to \{0,1\} \), che fondamentalmente ti associa ad un punto \( D^2 \ni (y,z) \mapsto g(x)(y,z)=1 \) se \( (y,z) \) giace sulla circonferenza del cerchio centrato in \((0,0)\) e di raggio \(x\) e \( g(x)(y,z) = 0 \) altrimenti.
Mentre chiaramente \( \operatorname{Im}(g) \subsetneq \mathcal{F}(D^2,\{0,1\}) \) non è tutto \( \mathcal{F}(D^2,\{0,1\}) \) poiché possiamo definire delle funzioni che non sono date dalla regola per cui è definita \( g \).
Ad esempio \(f : D^2 \to \{0,1\} \) dove \(f(y,z)= 0 \) se \(y+z \) è pari e \(f(y,z)= 1 \) altrimenti. Abbiamo chiaramente che \(f\) è un elemento di \( \mathcal{F}(D^2,\{0,1\}) \) ma per ogni \( x \in D \) risulta che \( g(x) \neq f \) poiché ad esempio \(f(0,2n+1) =1 \) per ogni \( n \in \mathbb{N} \). Ora se \(x\) è pari allora \(x=2m \) per qualche \(m\) e chiaramente \( f(0,2n+1)=1 \neq 0 = g(2m)(0,2n+1) \) per ogni \( n \in \mathbb{N} \). Mentre se \(x\) è dispari allora \(x=2m+1\) per qualche \(m\) e dunque risulta che \(g(2m+1)(0,2m+3) = 0 \neq 1 = f(0,2m+3) \). Pertanto per ogni \(x\) abbiamo che esiste almeno un punto \((y,z) \) tale che \( g(x)(y,z) \neq f(y,z) \) e dunque concludiamo che \(g(x) \neq f\). Infatti in generale due funzioni \( f: X \to Y \) e \(g: A \to B \) si dicono uguali se vale quanto segue \(X=A\), \(Y=B\) e per ogni \(x \in X \) risulta che \(f(x)=g(x) \), allora \(f=g\).
Detto ciò abbiamo dunque che fissato un \(x \in D \) risulta che \(g(x)\) è una funzione. E risulta che
\[ \operatorname{Dom}(g(x)) = D^2 \]
\[ \operatorname{Cod}(g(x)) = \{0,1\}\]
\[ \operatorname{Im}(g(x)) = \{0,1\} \]
Nella mia risposta precedente ho scritto
"3m0o":
Attento che questa affermazione è falsa
Non riesco a capire come possa il condominio di g(x) essere una funzione.
il codominio è un insieme di funzioni, non una funzione!
ma è sbagliato difatti intendevo \( g \) e non \(g(x)\). Mi scuso se ti ha creato confusione. L'affermazione fatta da te rimane scorretta.
Ad ogni modo essendo \(g(x) : D^2 \to \{0,1\} \) una funzione il suo codominio è \( \{0,1\}\) e la sua immagine è pure \(\{0,1\} \) poiché puoi trovare sia dei punti che danno come immagine \(0\), ad esempio \(g(x)(x,x)=0\) per ogni \(x \in D\), e puoi sicuramente trovare de punti per cui l'immagine è \(1\), ad esempio \(g(x)(0,x) = 1 \) per ogni \(x \in D \). Mentre invece l'immagine di \( g \) è un sottoinsieme (stretto per quanto detto sopra) dell'insieme delle funzioni \( \mathcal{F}(D^2,\{0,1\} ) \).
(Comunque quella che avevo scritto, non ha senso per come l'ho definita o per la nota linguistica? Anche così non avrebbe senso?
$ g: D -> {f: D->{0,1}} | AA x in D, g(x) = f : D -> {0,1} AA y in D, f(y) = 1 <=> y^2 + z^2 = x^2 $)
Non penso sia scorretto ma io opterei per
\[ g : D \to \mathcal{F}(D^2,\{0,1\}) \]
\[ x \mapsto g(x) : D^2 \to \{0,1\} \]
\[ (y,z) \mapsto g(x)(y,z) = \left\{\begin{matrix}
1 & \text{se} & y^2+z^2=x^2 \\
0& \text{altrimenti}
\end{matrix}\right. \]
È più chiara e più formale.
Spero di aver risposto a tutto. Se hai altri dubbi non esitare.
Ho capito! Grazie mille sei stato/a di grandissimo aiuto. 
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