Funzione.. mi serve x la maturità..

[francycafy93]

ciao.. mi serve 1 grandissimo aiuto x matematica.. sto facendo la tesina sul progresso e di matematica voglio portare la diffusione di internet.. quindi la rappresento graficamente come una funzione sempre crescente.. ma non so come impostare il discorso e come scrivere proprio.. dovrei dire ke all'aumentare della variabile cresce il numero delle persone ke si collega a internet.. e poi dovrei collegarlo con la derivata.. ma non so.. ho già fatto tutto mi manca solo matematica.. helppppppppppp meeeeee!!! vi prego.. x favore.. grazie mille...

[ciampax]

Il tipo di equazione che vuoi usare è una Equazione differenziale Ordinaria (in cui le incognite sono funzioni e in cui sono presenti le derivate delle incognite stesse). Nel tuo caso, supponendo che

[math]y=y(t)[/math]

sia la funzione che rappresenta la "densità della gente che si collega ad internet al variare del tempo" puoi supporre che l'equazione da risolvere sia del tipo seguente

[math]y'(t)=k y(t)+f(t)[/math]

dove

[math]k[/math]

è una costante positiva e

[math]f(t)[/math]

una funzione (nota) che tiene conto di eventuali incrementi del numero di persone dovute a fattori esterni (accessibilità di una rete, diffusione dei computer, ecc.)

L'equazione precedente è una tipica Equazione differenziale ordinaria del primo ordine lineare e rappresenta, in generale, quelli che vengono chiamati "problemi di popolazione": la sua soluzione, infatti, ti permette di determinare la crescita di una popolazione in relazione all'aumento o alla diminuzione della popolazione stessa (più altri fattori esterni) secondo una certa costante moltiplicativa che si chiama "costante di crescita".

Ora, non so bene a che livello di "accuratezza" vuoi giungere, in ogni caso esiste una soluzione (formula) che permette di risolvere l'equazione precedente (sempre) a patto che tu sappia quale sia la popolazione ad un certo istante iniziale (puoi supporre che esso sia

[math]t=0[/math]

). In tal caso, quello che si risolve è il problema seguente, detto "Problema di Cauchy"

[math]\left{\begin{array}{lcl}
y'(t)=k y(t)+f(t) & & t>0\\ y(0)=y_0\in\mathbb{R}
\end{array}\right.[/math]

dove la seconda condizione viene detta "condizione iniziale" per il problema. La formula risolutiva di tale problema è

[math]y(t)=e^{kt}\left[\int_0^t f(s)\cdot e^{-ks}\ ds+y_0\right][/math]

e per determiarla bastano anche conoscenze di matematica come puoi averle tu all'ultimo anno. Però mi devi dire con quale accuratezza vuoi affrontare la cosa, così vedo di darti altri dettagli.

[francycafy93]

la matematica non il mio forte.. il commissario è esterno.. e quindi vorrei portare una cosa semplice in modo tale da non confondermi da sola..
avevo avuto una mezza idea.. visto che di informatico sto portando il sistema informativo con le reti telematiche multimediali (internet, Intranet ed Extranet) avevo pensato di collegarmi da qui a matematica.. dicendo che oggi giorno il numero di utenti che si collega a internet è sempre maggiore perchè tramite internet è possibile fare tante cose.. collegarsi ai social network, avere tantissime informazioni a disposizione ecc.. prendendo in esame un periodo decennale che va dal 2000 al 2010 possiamo notare che il numero di utenti che si collega a internet è sempre crescente.. (magari vorrei rappresentare graficamente questa cosa) e poi in qualche modo collegarmi alla definizione di derivata.. dicendo che al crescere della variabile x .....(e poi non so la definizione).. non so se ti ho reso l'idea..

[ciampax]

Bé, la cosa non è poi così semplice: il fatto è che non c'è un solo tipo di dipendenza tra y e x che fornisca un grafico crescente. Vene sono molte e ognuna spiega un differente tipo di relazione presente tra i dati. Ad esempio, se studi una funzione del tipo

[math]y=mx+q[/math]

(retta) la sua derivata è

[math]y'=m[/math]

per cui la funzione cresce se

[math]m>0[/math]

ma tale crescita risulta costante (ciò, avviene sempre nello stesso modo indipendentemente dall'intervallo che vai a considerare).

Se invece hai

[math]y=ax^2+bx+c[/math]

(parabola) allora la derivata è

[math]y'=2ax+b[/math]

e si ha crescita quando

[math]x>-\frac{b}{2a}[/math]

Come vedi le situazioni sono differenti e in generale le funzioni che ti ho appena mostrato non vanno bene per descrivere il tipo di relazione che intendi tu (e che invece è ben caratterizzato dal problema del post precedente).

Fammi sapere cosa ne pensi e magari ne riparliamo.

[francycafy93]

noi abbiamo sempre e solo fatto esercizi.. la teoria non l'abbiamo mai trattata.. il prof ci dava l'esercizio, quasi sempre uguali, e noi lo risolvevamo.. il post precedente non l'ho capito bene... ad esempio non so cosa significa equazione differenziale ordinaria.."Problema di Cauchy"..e tutta l'ultima parte..