Funzione logaritmica test vero o falso
Buongiorno, ho il seguente test vero o falso:
a) funzione $y=log base4 di x$ ha come dominio R --> secondo me è falsa perchè nella funzione logaritmica D=R+
b) funzione $y=log base 1/2 di x$ è definita per ogni x>=0 --> secondo me è falso perchè il logaritmo non può essere mai 0 quindi dovrò porre come CE: x>0 e non X>=0
c) funzione y=log base 1/3 di x è decrescente --> secondo me è vero perchè la base è compresa fra 0 ed 1
d) funzione y=log base 5 di x è decrescente --> secondo me è falsa perchè la base >1
e) funzione y=log base 4di x è positiva per ogni x>0 --> secondo me è vera infatti la CE è x>0
f) funzione y=log base 1/3 di x è negativa per ogni x>1 è falso infatti ho provato a sostituire alla x il valore di 2 ho ottenuto y=1/9 che non è negativo
g) funzione y=log base 4 di x è crescente --> secondo me è vero perchè base>1
h) funzione y=log base 5/2 di x è decrescnte --> secondo me è falso perchè base>1
i) il grafico della funzione y=log base0,3 di x è simmetrico del grafico y=(1/3)^x rispetto alla bisettrice del I e III quadrante --> non riesco a capire coem procedere
l) il grafico della funzione y=log base 0,25 di x è simmetrico del grafico y=4^(-x) rispetto alla bisettrice del I e III quadrante --> non riesco a capire coem procedere
Il testo mi dice che le soluzioni devono essere 4 vere e 6 false, mi potreste dire se ho commesso degli errori e spiegarmi i punti i ed l?
Grazie, per l'aiuto che mi date.
Martina.
a) funzione $y=log base4 di x$ ha come dominio R --> secondo me è falsa perchè nella funzione logaritmica D=R+
b) funzione $y=log base 1/2 di x$ è definita per ogni x>=0 --> secondo me è falso perchè il logaritmo non può essere mai 0 quindi dovrò porre come CE: x>0 e non X>=0
c) funzione y=log base 1/3 di x è decrescente --> secondo me è vero perchè la base è compresa fra 0 ed 1
d) funzione y=log base 5 di x è decrescente --> secondo me è falsa perchè la base >1
e) funzione y=log base 4di x è positiva per ogni x>0 --> secondo me è vera infatti la CE è x>0
f) funzione y=log base 1/3 di x è negativa per ogni x>1 è falso infatti ho provato a sostituire alla x il valore di 2 ho ottenuto y=1/9 che non è negativo
g) funzione y=log base 4 di x è crescente --> secondo me è vero perchè base>1
h) funzione y=log base 5/2 di x è decrescnte --> secondo me è falso perchè base>1
i) il grafico della funzione y=log base0,3 di x è simmetrico del grafico y=(1/3)^x rispetto alla bisettrice del I e III quadrante --> non riesco a capire coem procedere
l) il grafico della funzione y=log base 0,25 di x è simmetrico del grafico y=4^(-x) rispetto alla bisettrice del I e III quadrante --> non riesco a capire coem procedere
Il testo mi dice che le soluzioni devono essere 4 vere e 6 false, mi potreste dire se ho commesso degli errori e spiegarmi i punti i ed l?
Grazie, per l'aiuto che mi date.
Martina.
Risposte
Riassumo in breve i tre concetti generali che stanno alla base delle risposte:
1) la funzione [tex]\log_a x[/tex] è definita $\iff x > 0, \ 0 < a \ne 1$.
2) la funzione [tex]\log_a x = \frac{\ln x}{\ln a }[/tex] è crescente se $a > 1$ e descrescente se $ 0 < a < 1$ (puoi vederlo chiaramente in questa forma).
3) la funzione [tex]\log_a x[/tex] è l'inversa della funzione $ a^x$. Come sicuramente saprai, i grafici delle funzioni inverse hanno una certa simmetria con quelli delle funzioni che invertono
1) la funzione [tex]\log_a x[/tex] è definita $\iff x > 0, \ 0 < a \ne 1$.
2) la funzione [tex]\log_a x = \frac{\ln x}{\ln a }[/tex] è crescente se $a > 1$ e descrescente se $ 0 < a < 1$ (puoi vederlo chiaramente in questa forma).
3) la funzione [tex]\log_a x[/tex] è l'inversa della funzione $ a^x$. Come sicuramente saprai, i grafici delle funzioni inverse hanno una certa simmetria con quelli delle funzioni che invertono
sono sbagliate E ed F
intervallo di positività non coincide con CE: e) è falsa perché la funzione è positiva per x>1
la f) dovrebbe essere vera. non so che calcoli hai fatto, ma con base minore di 1 la funzione è positiva per 01
la i) è falsa "solo" perché 0,3 non è proprio 1/3. ti spiego il procedimento per la l):
due funzioni inverse hanno grafici simmetrici rispetto alla bisettrice di I e III quadrante. questo succede perché, in realtà, fare l'inversa significa scambiare dominio e codominio e invertire le frecce, per cui come grafici significa scambiare le x con le y: se lo sai già passa oltre, altrimenti prova a disegnare la retta y=x e prendere coppie di punti simmetrici rispetto ad essa.
sai trovare l'equazione dell'inversa? se sì, prova a verificarlo da sola, altrimenti apri lo spoiler:
intervallo di positività non coincide con CE: e) è falsa perché la funzione è positiva per x>1
la f) dovrebbe essere vera. non so che calcoli hai fatto, ma con base minore di 1 la funzione è positiva per 0
la i) è falsa "solo" perché 0,3 non è proprio 1/3. ti spiego il procedimento per la l):
due funzioni inverse hanno grafici simmetrici rispetto alla bisettrice di I e III quadrante. questo succede perché, in realtà, fare l'inversa significa scambiare dominio e codominio e invertire le frecce, per cui come grafici significa scambiare le x con le y: se lo sai già passa oltre, altrimenti prova a disegnare la retta y=x e prendere coppie di punti simmetrici rispetto ad essa.
sai trovare l'equazione dell'inversa? se sì, prova a verificarlo da sola, altrimenti apri lo spoiler:
Al punto e) non capisco quali sono le considerazioni da fare affinché la funzione sia positiva;
al punto f) ho attribuito ad x il valore 2 (che quindi è >1 come indicava il test) e applicando la definizione di logaritmo ottengo che y=1/9 che è positivo. Mi potreste spiegare il calcolo da fare per verificare che la funzione sia negativa per ogni x >1
al punto i) e l) dalla teoria è noto che la funzione logaritmica rispetto alla funzione esponenziale ma poi nel pratico come faccio a verificarlo?
Come faccio ha stabilirne la simmetricità rispetto alla bisettrice?
Speriamo riusciate a chiarirmi i vari dubbi che ho.
Grazie, comunque.
Martina.
al punto f) ho attribuito ad x il valore 2 (che quindi è >1 come indicava il test) e applicando la definizione di logaritmo ottengo che y=1/9 che è positivo. Mi potreste spiegare il calcolo da fare per verificare che la funzione sia negativa per ogni x >1
al punto i) e l) dalla teoria è noto che la funzione logaritmica rispetto alla funzione esponenziale ma poi nel pratico come faccio a verificarlo?
Come faccio ha stabilirne la simmetricità rispetto alla bisettrice?
Speriamo riusciate a chiarirmi i vari dubbi che ho.
Grazie, comunque.
Martina.
rispondo al punto f)
$log_(1/3) 2 < 0$ non è certamente 9 ... forse volevi invertire 2 e 9, ma
$log_(1/3) 9 = -2$
se anche al punto e) vuoi ricorrere per esempi ... $log_4 (1/16) = -2$
per quanto riguarda il resto, prova, preliminarmente, a disegnare la retta $y=x$ e poi a prendere coppie di punti $(a;b), (b;a)$ con numeri $a, b$ a fantasia.
$log_(1/3) 2 < 0$ non è certamente 9 ... forse volevi invertire 2 e 9, ma
$log_(1/3) 9 = -2$
se anche al punto e) vuoi ricorrere per esempi ... $log_4 (1/16) = -2$
per quanto riguarda il resto, prova, preliminarmente, a disegnare la retta $y=x$ e poi a prendere coppie di punti $(a;b), (b;a)$ con numeri $a, b$ a fantasia.
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