Funzione - limiti - asintoti - dominio - positività
Salve a tutti, mi sono trovato davanti questo esercizio e non ho la più pallida idea di come risolverlo.
Il prof. Del mio studente li chiama esercizi “indiretti”; nello specifico attraverso lo studio del dominio, della positività, dei punti di incontro con gli assi e del limite per $x$ che tende a infinito, viene chiesto di determinare la funzione di partenza partendo dal grafico.
Quello che ho capito da questo esercizio è che:
In corrispondenza dei valori del dominio che rendono impossibile la funzione (cioè in corrispondenza di asintoti verticali) creeremo una funzione con un denominatore che diventa %0% sostituendo il valore dell’asintoto; es. asintoto verticale in $-5$ - funzione fratta dove al denominatore compare $(x+5)$
Se dallo studio della positività emerge che prima e dopo un punto (che sia un asintoto o un punto di incontro con asse x è indifferente) si ha continuità di segno (es funzione prima di 3 e positiva dopo 3), bisogna elevare al quadrato. Qualcuno mi spiega tecnicamente perché si fa questo?
Correggetemi se sbaglio.
In aggiunta però in alcuni esercizi viene spiegato come “pareggiare i gradi di numeratore e denominatore” moltiplicando per un valore neutro $(x^2+1)$
In altri esercizi oltre alla moltiplicazione del Numeratore (o denominatore) per $(x^2+1)$ si moltiplica per $(x^2+a)$
Sinceramente non ho idea di cosa rappresenta $a$, a cosa serve? che parametro è? perchè dovrei pareggiare i gradi?. In ultimo per trovare il numero che moltiplica la funzione (ammesso che ci sia), si utilizza il limite per x che tende a infinito; se il limite è diverso da $0$ allora il numero (es.3) sarà posto a moltiplicazione come primo termine.
Posto la foto dell’esercizio da cui trovare la funzione di partenza. Grazie a chi vorrà rispondermi.
Il prof. Del mio studente li chiama esercizi “indiretti”; nello specifico attraverso lo studio del dominio, della positività, dei punti di incontro con gli assi e del limite per $x$ che tende a infinito, viene chiesto di determinare la funzione di partenza partendo dal grafico.
Quello che ho capito da questo esercizio è che:
In corrispondenza dei valori del dominio che rendono impossibile la funzione (cioè in corrispondenza di asintoti verticali) creeremo una funzione con un denominatore che diventa %0% sostituendo il valore dell’asintoto; es. asintoto verticale in $-5$ - funzione fratta dove al denominatore compare $(x+5)$
Se dallo studio della positività emerge che prima e dopo un punto (che sia un asintoto o un punto di incontro con asse x è indifferente) si ha continuità di segno (es funzione prima di 3 e positiva dopo 3), bisogna elevare al quadrato. Qualcuno mi spiega tecnicamente perché si fa questo?
Correggetemi se sbaglio.
In aggiunta però in alcuni esercizi viene spiegato come “pareggiare i gradi di numeratore e denominatore” moltiplicando per un valore neutro $(x^2+1)$
In altri esercizi oltre alla moltiplicazione del Numeratore (o denominatore) per $(x^2+1)$ si moltiplica per $(x^2+a)$
Sinceramente non ho idea di cosa rappresenta $a$, a cosa serve? che parametro è? perchè dovrei pareggiare i gradi?. In ultimo per trovare il numero che moltiplica la funzione (ammesso che ci sia), si utilizza il limite per x che tende a infinito; se il limite è diverso da $0$ allora il numero (es.3) sarà posto a moltiplicazione come primo termine.
Posto la foto dell’esercizio da cui trovare la funzione di partenza. Grazie a chi vorrà rispondermi.
Risposte
"Marco1005":
Se dallo studio della positività emerge che prima e dopo un punto (che sia un asintoto o un punto di incontro con asse x è indifferente) si ha continuità di segno (es funzione prima di 3 e positiva dopo 3), bisogna elevare al quadrato. Qualcuno mi spiega tecnicamente perché si fa questo?
Beh perche' se cerchi una funzione $f(-3) = 0$ e che $lim_{x->-3}f(x) > 0$,
una delle possibili risposte e' $f(x) = (x+3)^2$.
Se c'e' una discontinuita' invece di uno zero, $f(x) = 1/(x+3)^2$ e' quello che cerchi.
Non c'e' una procedura meccanica per risolvere questo tipo di esercizi.
Bisogna pescare dalle funzioni note e passarle in rassegna per vedere quale puo' fare al caso nostro.
Si tratta comunque, mi sembra di capire, di usare solo dei polinomi, quindi non e' che bisogna sforzarsi troppo.
Correggetemi se sbaglio.
In aggiunta però in alcuni esercizi viene spiegato come “pareggiare i gradi di numeratore e denominatore” moltiplicando per un valore neutro $(x^2+1)$
In altri esercizi oltre alla moltiplicazione del Numeratore (o denominatore) per $(x^2+1)$ si moltiplica per $(x^2+a)$
Banalmente, se il limite all'infinito e' finito (e' un numero, 3, 4, 10, ... ecc.) allora numeratore e denominatore devono avere lo stesso grado.
Se il limite all'infinito e' zero, il numeratore deve avere grado minore del denominatore.
Se il limite all'infinito e' infinito, il numeratore deve avere grado maggiore.
Sinceramente non ho idea di cosa rappresenta $a$, a cosa serve? che parametro è? perchè dovrei pareggiare i gradi?. In ultimo per trovare il numero che moltiplica la funzione (ammesso che ci sia), si utilizza il limite per x che tende a infinito; se il limite è diverso da $0$ allora il numero (es.3) sarà posto a moltiplicazione come primo termine.
Serve a modificare il grado del numeratore o del denominatore.
$a$ puo' essere usato per determinare il valore di $f(0)$, altrimenti puo' essere a piacere.
La soluzione e':
$f(x) = ((x+3)^2 (x-2))/((x+5)(x+1)(x^2+9/5))$
O meglio, e' una possibile soluzione, non e' l'unica.
Grazie per la risposta, .però nutro ancora qualche perplessità
Nel primo esempio numerico che hai fatto $f(-3)=0$ nella seconda parte il limite non deve tendere proprio a $-3$? il limite lo pongo maggiore di $0$ perchè dallo studio della positività prima e dopo $-3$ emerge segno + giusto? quindi quando la $x$ tende a $-3$ nel mio caso la funzione incontra l'asse delle $x$ con $y=0$, non collego però il passaggio matematico per arrivare a $(x+3)^2$.
Se il limite per x che tende a infinito è finito, questo numero è posto a moltiplicazione davanti alla funzione, è corretto? altrimenti se il limite è $0$ non posso moltiplicarlo pena l'azzeramento della funzione.
Domanda stupida, ma $(x^2+1)$ e $(x^2+a)$ sono la stessa cosa? cioè in alcuni esercizi viene usato o uno o l'altro, ma per qual motivo? se il problema è pareggiare i gradi utilizzo solo $(x^2+1)$, che mi serve introdurre un'altra incognita?
In aggiunta se moltiplico il denominatore per $(x^2+9/5)$ non sto pareggiando i gradi, in quanto il numeratore è di grado $3$, mentre il denominatore diventa di grado $4$, non riesco a capire fino in fondo.
Personalmente avevo trovato $n=5/9$ e lo avevo messo a moltiplicazione della funzione; dato che però davanti a moltiplicazione ci va solo l'eventuale limite finito (diverso da zero) per x che tende a infinito, non sapevo più dove mettere questo $5/9$
Nel primo esempio numerico che hai fatto $f(-3)=0$ nella seconda parte il limite non deve tendere proprio a $-3$? il limite lo pongo maggiore di $0$ perchè dallo studio della positività prima e dopo $-3$ emerge segno + giusto? quindi quando la $x$ tende a $-3$ nel mio caso la funzione incontra l'asse delle $x$ con $y=0$, non collego però il passaggio matematico per arrivare a $(x+3)^2$.
Se il limite per x che tende a infinito è finito, questo numero è posto a moltiplicazione davanti alla funzione, è corretto? altrimenti se il limite è $0$ non posso moltiplicarlo pena l'azzeramento della funzione.
Domanda stupida, ma $(x^2+1)$ e $(x^2+a)$ sono la stessa cosa? cioè in alcuni esercizi viene usato o uno o l'altro, ma per qual motivo? se il problema è pareggiare i gradi utilizzo solo $(x^2+1)$, che mi serve introdurre un'altra incognita?
In aggiunta se moltiplico il denominatore per $(x^2+9/5)$ non sto pareggiando i gradi, in quanto il numeratore è di grado $3$, mentre il denominatore diventa di grado $4$, non riesco a capire fino in fondo.
Personalmente avevo trovato $n=5/9$ e lo avevo messo a moltiplicazione della funzione; dato che però davanti a moltiplicazione ci va solo l'eventuale limite finito (diverso da zero) per x che tende a infinito, non sapevo più dove mettere questo $5/9$
Ho provato anche a moltiplicare la funzione per $5/9$ e dal grafico in excel risultano praticamente uguali - qual'è il discriminante nel mettere $5/9$ a moltiplicare piuttosto che mettere $9/5$? scusa ancora per le mille domande ma a ragioneria non ho mai fatto esercizi inversi sui limiti.
Provo a dare alcune risposte alle tue domande.
Non è una questione di limite, la funzione si annulla in $-3$, quindi $f(-3)=0$, ma non si annulla solo la funzione, si annulla anche la sua derivata prima quindi il fattore $x+3$ deve comparire almeno di secondo grado e comunque di grado pari. Se preferisci puoi utilizzare anche lo studio del segno per determinare la potenza di $x+3$, anche questo ti dice che l'esponente deve essere pari perché la funzione si annulla, ma non cambia segno.
Non capisco la domanda
Se con $x^2+1$ va tutto bene, ben venga l'uso di questo fattore, ma se devi far quadrare i conti con il passaggio per un punto dato è importante avere un parametro a cui assegnare il valore che ti torna più utile, quindi usi $x^2+a$ e poi assegni ad $a$ il valore che ti permette di far quadrare i calcoli
Non devi pareggiare i gradi, il limite tende a $0$, quindi il grado del denominatore deve essere maggiore di quello del numeratore
"Marco1005":
Nel primo esempio numerico che hai fatto $f(-3)=0$ nella seconda parte il limite non deve tendere proprio a $-3$? il limite lo pongo maggiore di $0$ perchè dallo studio della positività prima e dopo $-3$ emerge segno + giusto? quindi quando la $x$ tende a $-3$ nel mio caso la funzione incontra l'asse delle $x$ con $y=0$, non collego però il passaggio matematico per arrivare a $(x+3)^2$.
Non è una questione di limite, la funzione si annulla in $-3$, quindi $f(-3)=0$, ma non si annulla solo la funzione, si annulla anche la sua derivata prima quindi il fattore $x+3$ deve comparire almeno di secondo grado e comunque di grado pari. Se preferisci puoi utilizzare anche lo studio del segno per determinare la potenza di $x+3$, anche questo ti dice che l'esponente deve essere pari perché la funzione si annulla, ma non cambia segno.
"Marco1005":
Se il limite per x che tende a infinito è finito, questo numero è posto a moltiplicazione davanti alla funzione, è corretto? altrimenti se il limite è $0$ non posso moltiplicarlo pena l'azzeramento della funzione.
Non capisco la domanda
"Marco1005":
Domanda stupida, ma $(x^2+1)$ e $(x^2+a)$ sono la stessa cosa? cioè in alcuni esercizi viene usato o uno o l'altro, ma per qual motivo? se il problema è pareggiare i gradi utilizzo solo $(x^2+1)$, che mi serve introdurre un'altra incognita?
Se con $x^2+1$ va tutto bene, ben venga l'uso di questo fattore, ma se devi far quadrare i conti con il passaggio per un punto dato è importante avere un parametro a cui assegnare il valore che ti torna più utile, quindi usi $x^2+a$ e poi assegni ad $a$ il valore che ti permette di far quadrare i calcoli
"Marco1005":
In aggiunta se moltiplico il denominatore per $(x^2+9/5)$ non sto pareggiando i gradi, in quanto il numeratore è di grado $3$, mentre il denominatore diventa di grado $4$, non riesco a capire fino in fondo.
Non devi pareggiare i gradi, il limite tende a $0$, quindi il grado del denominatore deve essere maggiore di quello del numeratore
"Marco1005":
Ho provato anche a moltiplicare la funzione per $5/9$ e dal grafico in excel risultano praticamente uguali - qual'è il discriminante nel mettere $5/9$ a moltiplicare piuttosto che mettere $9/5$? scusa ancora per le mille domande ma a ragioneria non ho mai fatto esercizi inversi sui limiti.
Infatti Quinzio ha detto che quella trovata
e' una possibile soluzione, non e' l'unica.
e tu ne hai trovato un'altra.
"Marco1005":
Se il limite per x che tende a infinito è finito, questo numero è posto a moltiplicazione davanti alla funzione, è corretto? altrimenti se il limite è $0$ non posso moltiplicarlo pena l'azzeramento della funzione.
Non capisco la domanda
Grazie per le risposte,
il professore dello studente non ha ancora introdotto il concetto di derivata, quindi non riuscivo a collegare il fatto che per elevare al quadrato $(x+3)$ bisognasse banalmente controllare che la funzione fosse positiva sia prima di $-3$ sia dopo $-3$ -
Per quanto riguarda la mia domanda, il professore ha detto agli studenti che quando il limite di $x$ che tende all'infinito è un numero finito (diverso da zero) allora questo numero va posto a moltiplicazione della funzione. Successivamente per far quadrare i conti (come hai giustamente spiegato) si introduce una variabile che consenta di svolgere i calcoli, appunto $(x^2+a)$.
Al contrario quando il limite per x che tende a infinito è zero, non possiamo mettere zero a moltiplicazione della funzione, pertanto si procede sostituendo i valori di $x$ e $y$ con quelli in cui la funzione vale zero
eventualmente si inserisce $(x^2+1)$ per pareggiare i gradi. Questo almeno è come è stato spiegato agli studenti.
Grazie ancora
"Marco1005":
Al contrario quando il limite per x che tende a infinito è zero, non possiamo mettere zero a moltiplicazione della funzione...
... quindi il grado del denominatore deve essere più alto di quello del numeratore, in questo modo il limite per x che tende a infinito è 0.
"@melia":
... quindi il grado del denominatore deve essere più alto di quello del numeratore, in questo modo il limite per x che tende a infinito è 0.
Corretto, però il professore ha utilizzato $(x^2+1)$ per pareggiare i gradi- lo fa ad ogni esercizio e non capisco perchè - personalmente ho sempre calcolato i limiti in modo diverso a seconda che il grado di N e D fosse lo stesso, piuttosto che N > D oppure che N < D - non mi è mai stato insegnato l'inserimento di questo $(x^2+1)$.
Intanto che ci sono chiedo anche questo:
il concetto di annullamento della derivata prima unitamente alla funzione di partenza vale per qualsiasi punto? sia esso punto dove la funzione si azzera o sia anche un asintoto verticale? in poche parole se $-3$ non fosse stato un punto di incontro con l'asse X, ma fosse stato un asintoto verticale avrei dovuto mettere a denominatore $(x+3)^2$? Grazie mille
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