Funzione limitata

[Andrea902]

Buonasera a tutti!
Devo dimostrare che la funzione $y=(x^2+2)/(x^2+1)$ è limitata. Per farlo devo necessariamente prima determinarne il codominio? Io generalmente faccio così però nel testo dell'esercizio si chiede di determinare il codominio dopo aver provato che è limitata. Come si può procedere? Grazie!

[fu^2]

la funzione è continua in $RR$, quindi ti basta verificare il comportamento a meno infinito e a più infinito, provando che i limiti esistono e sono finiti provi la tesi. Calcolandoli esplicitamente trovi anche il codominio...

[Andrea902]

Scusa, ma ancora non ho iniziato il calcolo dei limiti! Questo esercizio è inserito in una raccolta di quesiti preliminari sulle funzioni, come preparazione all'analisi infinitesimale...

[MaMo2]

Scrivendola così $y=1+1/(x^2+1)$ si deduce che $1

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[Andrea902]

Grazie mille ad entrambi! Poi mi si chiede di verificare che la funzione è crescente per $x<0$ e decrescente per $x>0$... dal momento che il dominio è stato ristretto come devo procedere?

[Aeiourini]

Per definire che una funzione è crescente o decrescente devi ricorrere alle derivate prime e poi studiarne il segno. Nel tuo caso si ha
$y=(x^2+2)/(x^2+1)$
derivata prima
$y'=((2x*(x^2+1))-(2x*(x^2+2)))/(x^2+1)^2$
svolgendo i calcoli
$y'=(2x^3-2x^3+2x-4x)/(x^2+1)^2$
$y'=(-2x)/(x^2+1)^2$
ecco $y>=0$ per
$-2x>=0$ e $(x^2+1)^2>=0$
il denominatore è sempre positivo e il numeratore è positivo per $x<0$ quindi è crescente
per $x>0$ il rapporto è negativo di conseguenza decrescente.
Questo perchè il coeficiente angolare della retta tangente alla curva nei punti per $x>0$ è negativo di conseguenza sia la retta che la curva decrescono e viceversa per $x<0$.

[oronte83]

Credo che il concetto di derivata non gli sia noto se non ha ancora affrontato lo studio dei limiti. Quindi per provare che la funzione è crescente e decrescente negli intervalli indicati, io attribuirei dei valori a x, interpretando i corrispondenti valori di y: per valori crescenti di x dovrai ottenere valori crescenti di y, se x<0, valori decrescenti se x>0.
Oppure, osservando che la funzione è pari e stabilito che è crescente se x<0, sarà decrescente per x>0.

[Andrea902]

Ma non lo si potrebbe dimostrare ricorrendo alla definizione di funzione crescente (o di funzione decrescente)? Ovvero, volendo provare che la funzione è crescente per $x<0$, dovrebbe sussistere in generale: $x_1

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[gugo82]

"Andrea90":Grazie mille ad entrambi! Poi mi si chiede di verificare che la funzione è crescente per $x<0$ e decrescente per $x>0$... dal momento che il dominio è stato ristretto come devo procedere?

Come già notato hai $f(x)=1+1/(x^2+1)$.

Ora prendi $x_1,x_2ge0$ scelti in modo che $x_2>x_1$: hai (faccio tutti i passaggi):

$x_2^2>x_1^2 quad$ (poiché $y=x^2$ è crescente per $xge0$)

$x_2^2+1>x_1^2+1 quad$ (poiché sommando $1$ ad ambo i membri la disuguaglianza non cambia)

$1/(x_2^2+1)<1/(x_1^2+1) quad$ (poiché prendendo i reciproci la disuguaglianza si inverte)

$1+1/(x_2^2+1)<1+1/(x_1^2+1) quad$ (poiché sommando $1$ ad ambo i membri la disuguaglianza non cambia);

quindi è $f(x_1)>f(x_2)$ se $x_2>x_1>0$ ed $f$ è perciò decrescente per $xge0$.


Si procede allo stesso modo per provare la crescenza nel caso di $xle0$ (l'unica differenza sta nel fatto che nel primo passaggio devi tener presente che $y=x^2$ è decrescente per $xle0$).

Buono studio.

[Studente Anonimo]

Salve.

"Andrea90":Ma non lo si potrebbe dimostrare ricorrendo alla definizione di funzione crescente (o di funzione decrescente)? Ovvero, volendo provare che la funzione è crescente per $x<0$, dovrebbe sussistere in generale: $x_1

Premettendo che non capisco cosa intendi con "avendo ristretto il dominio"... sì, basta usare la definizione.

per provare la crescenza per $x<0$ e la decrescenza per $x>0$ ti puoi limitare a provare la decrescenza per $x>0$ dato che la funzione è pari (su questo credo siamo d'accordo). Ora se $0 1/(1+z^2)$, quindi $f(x)=1+1/(1+x^2) > 1+1/(1+z^2)=f(z)$.

[Andrea902]

Quando dico "restringere il dominio" intendo dire (almeno così lo intende anche il mio libro di testo) che ho considerato un intervallo del dominio (e non tutto il dominio) in cui la funzione è crescente o decrescente, praticamente un intervallo in cui la funzione è monotòna.

Per quanto riguarda la crescenza in $x<0$ l'ho dedotta naturalmente dal fatto che quella in esame è una funzione pari, ma se avessi voluto provarlo come fatto per la decrescenza, partendo da $x_2>x_1$ ed essendo $x_1,x_2<0$ avrei poi dovuto scrivere $(-x_2)>(-x_1)$?

[Studente Anonimo]

"Andrea90":Quando dico "restringere il dominio" intendo dire (almeno così lo intende anche il mio libro di testo) che ho considerato un intervallo del dominio (e non tutto il dominio) in cui la funzione è crescente o decrescente, praticamente un intervallo in cui la funzione è monotòna.

So cosa significa restringere il dominio, ma non mi sembra che tu l'abbia fatto . Forse quello che intendi è che studi la tua funzione separatamente nei due intervalli $x>0$ e $x<0$.

Per quanto riguarda la crescenza in $x<0$ l'ho dedotta naturalmente dal fatto che quella in esame è una funzione pari, ma se avessi voluto provarlo come fatto per la decrescenza, partendo da $x_2>x_1$ ed essendo $x_1,x_2<0$ avrei poi dovuto scrivere $(-x_2)>(-x_1)$?

Se $f(x)$ è pari e decrescente per $x>0$ allora dati $zf(-z)$. Ora da $f(x)=f(-x)$ e $f(z)=f(-z)$ ottieni proprio $f(z)
Edito: mi rendo conto ora che forse volevi provare la crescenza come fatto per la decrescenza. Allora fai così: se $z1/(1+z^2)$ da cui $1+1/(1+x^2)>1+1/(1+z^2)$, ovvero $f(z)

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[Andrea902]

Grazie mille a tutti! Comunque, per cronaca, il mio testo utilizza proprio la locuzione "restringere il dominio" nel suggerimento per l'esercizio; anche se io preferirei dire che si studia la funzione nei due intervalli, come dice Martino!
Grazie ancora!