Funzione Invertibile
Buongiorno a tutti, ho una richiesta sulla teoria: Quali sono le condizioni affinché una funzione sia invertibile?
Ho cercato sul libro ma non mi è risultato molto chiaro
Potete illuminarmi?
Grazie in anticipo, buona domenica a tutti!
Ho cercato sul libro ma non mi è risultato molto chiaro
Potete illuminarmi?
Grazie in anticipo, buona domenica a tutti!
Risposte
Condizione necessaria e sufficiente è iniettività + suriettività. Suriettività significa che per ogni elemento $y$ del codominio esiste (almeno) un elemento $x$ del dominio tale che $y = f(x)$ (cioè ogni elemento del codominio è immagine di almeno un elemento del dominio), Iniettività significa che per ogni $x, y$ del dominio vale $f(x) = f(y) \implies x = y$ (detto in parole povere la funzione mappa distinti elementi del dominio in distinti elementi del codominio).
Detto questo, per verificare l'iniettività, puoi considerare anche condizioni sufficienti, che possono essere più semplici da verificare. Ad esempio se una funzione è strettamente monotòna allora è sicuramente iniettiva (occhio però che questa è solo una condizione sufficiente: se non è monotòna non è detto che non sia iniettiva).
Per quanto riguarda la suriettività devi verificare che ogni elemento del codominio sia immagine di almeno un elemento del dominio. Se così non fosse puoi costruire una funzione suriettiva analoga a quella iniziale semplicemente restringendo il codominio all'immagine.
Ad esempio la funzione $f: \mathbb{R} \to \mathbb{R}: x \mapsto x^2$ non è suriettiva, perché se $y \in \mathbb{R}^-$ non esiste $x \in \mathbb{R}$ tale che $y = x^2$. Puoi però costruire una funzione analoga a quella di partenza ma suriettiva, restringendo il codominio all'immagine, in questo caso tale funzione sarebbe $g: \mathbb{R} \to \mathbb{R}^+ \cup \{0\}: x \mapsto x^2$.
Detto questo, per verificare l'iniettività, puoi considerare anche condizioni sufficienti, che possono essere più semplici da verificare. Ad esempio se una funzione è strettamente monotòna allora è sicuramente iniettiva (occhio però che questa è solo una condizione sufficiente: se non è monotòna non è detto che non sia iniettiva).
Per quanto riguarda la suriettività devi verificare che ogni elemento del codominio sia immagine di almeno un elemento del dominio. Se così non fosse puoi costruire una funzione suriettiva analoga a quella iniziale semplicemente restringendo il codominio all'immagine.
Ad esempio la funzione $f: \mathbb{R} \to \mathbb{R}: x \mapsto x^2$ non è suriettiva, perché se $y \in \mathbb{R}^-$ non esiste $x \in \mathbb{R}$ tale che $y = x^2$. Puoi però costruire una funzione analoga a quella di partenza ma suriettiva, restringendo il codominio all'immagine, in questo caso tale funzione sarebbe $g: \mathbb{R} \to \mathbb{R}^+ \cup \{0\}: x \mapsto x^2$.
una funzione è invertibile se e solo se è biunivoca. è chiaro però che si ha a che fare con "relazioni univoche" che sono funzioni limitatamente al loro dominio (a volte vengono dette impropriamente funzioni reali): per considerare l'invertibilità vanno studiati bene il dominio ed il codominio; limitatamente a dominio e codominio una funzione si considera "invertibile" se biunivoca, cioè se la relazione inversa è anch'essa una funzione.
nel caso di funzioni continue, una condizione sufficiente per l'invertibilità (ma non necessaria) è la stretta monotonia. ciao.
nel caso di funzioni continue, una condizione sufficiente per l'invertibilità (ma non necessaria) è la stretta monotonia. ciao.
Nel caso di funzioni continue direi che la stretta monotonia è anche condizione necessaria.
come diceva Tipper nel primo intervento, la stretta monotonia è codizione sufficiente ma non necessaria per l'iniettività. per quanto riguarda la suriettività, se la si considera rispetto a tutto l'insieme dei numeri reali, allora la si può provare solo attraverso il grafico e solo se la funzione è illimitata sia superiormente che inferiormente, se invece la si considera rispetto al codominio è banale e sottintesa. è vero che una funzione continua è invertibile (solo limitatamente a dominio e codominio) se e solo se è strettamente monotòna. ciao.
Grazie mille 
scusate, ma cosa si intende per monotona??? ... cioè sempre crescente o sempre decrescente????
si..che la derivata prima è sempre positiva o sempre negativa..
ragazzi e se si tratta di una funzione vettoriale,tipo una superficie?come si vede se è invertibile?(mi interessa perchè nelle ipotesi che sia una superficie regolare essa deve essere invertibile nei punti interni del dominio)
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