Funzione inversa
Buongiorno a tutti...
mi si chiede di calcolare \(\displaystyle f^{-1}(4) \)
dove \(\displaystyle f(x) = -x^2 + 4x +1 \)
Allora, risolvo \(\displaystyle y = -x^2 + 4x + 1 \) per \(\displaystyle x \) e trovo \(\displaystyle x_{1/2}=2\pm \sqrt {5-y} \)
Mi viene detto che è corretto...
Sbagliato!Non riesco a capire come la prof possa accettarlo, perché la condizione necessaria affinché una funzione sia invertibile è che sia iniettiva, ma la mia è una parabola che ovviamente non assolve tale requisito. Inoltre la funzione inversa, se esiste, è unica e palesemente questa non lo è.
Potreste valutare dove il mio ragionamento è sbagliato?Perché non capisco... Grazie mille in anticipo!
Ely
mi si chiede di calcolare \(\displaystyle f^{-1}(4) \)
dove \(\displaystyle f(x) = -x^2 + 4x +1 \)
Allora, risolvo \(\displaystyle y = -x^2 + 4x + 1 \) per \(\displaystyle x \) e trovo \(\displaystyle x_{1/2}=2\pm \sqrt {5-y} \)
Mi viene detto che è corretto...
Sbagliato!Non riesco a capire come la prof possa accettarlo, perché la condizione necessaria affinché una funzione sia invertibile è che sia iniettiva, ma la mia è una parabola che ovviamente non assolve tale requisito. Inoltre la funzione inversa, se esiste, è unica e palesemente questa non lo è.
Potreste valutare dove il mio ragionamento è sbagliato?Perché non capisco... Grazie mille in anticipo!
Ely
Risposte
E brava/o,Ely:
occhio attento e spirito critico,ci vuole..
Per dirimere la questione con l'insegnante,vedi se per caso da qualche parte nell'esercizio è specificato che la x è vincolata a stare in un intervallo cui corrisponde un arco di parabola crescente o decrescente:
così non fosse,a mio modo di vedere,hai ragione tu per le ragioni che hai ottimamente esposto!
Saluti dal web
occhio attento e spirito critico,ci vuole..
Per dirimere la questione con l'insegnante,vedi se per caso da qualche parte nell'esercizio è specificato che la x è vincolata a stare in un intervallo cui corrisponde un arco di parabola crescente o decrescente:
così non fosse,a mio modo di vedere,hai ragione tu per le ragioni che hai ottimamente esposto!
Saluti dal web
dagli un grande schiaffo 
è una schifezza ed è sbagliata concettualmente. La tua $f$ è suriettiva ma non iniettiva, come giustamente dici.
e poi, per rispondere al quesito, non bisogna fare tutta sta tiritera.
$f^(-1)(4)={x in RR|f(x)=4}$ , detto molto terra terra(occhio, ho dato per sotto inteso che la tua $f$ vada da $RR$ in $RR$.)
tuttavia $x in RR$ si riferisce al tuo dominio.
quindi alla fin fine bisognava risolvere questa bellissima equazione elementare
$-x^2+4x+1=4$
è una schifezza ed è sbagliata concettualmente. La tua $f$ è suriettiva ma non iniettiva, come giustamente dici.
e poi, per rispondere al quesito, non bisogna fare tutta sta tiritera.
$f^(-1)(4)={x in RR|f(x)=4}$ , detto molto terra terra(occhio, ho dato per sotto inteso che la tua $f$ vada da $RR$ in $RR$.)
tuttavia $x in RR$ si riferisce al tuo dominio.
quindi alla fin fine bisognava risolvere questa bellissima equazione elementare
$-x^2+4x+1=4$
Grazie!
Rispondendo a theras: /a (Elisa), purtroppo non ne è stato dato alcun vincolo sulla \(\displaystyle x \). Prendiamolo come un trabocchetto della prof per vedere se gli studenti sono attenti ...
A Kashaman, sì certo normalmente risolvo direttamente l'equazione; ma qui hai y=4 con due valori distinti reali di x, e sarebbe imbarazzante concludere che hai trovato l' \(\displaystyle f^-1 \) dato che, se esiste, è unica. Se non si è carciofi si conclude semplicemente che la funzione non ammette inversa.
grazie mille,
cerchiamo di creare lumi e non muli ...
Ely
Rispondendo a theras: /a (Elisa), purtroppo non ne è stato dato alcun vincolo sulla \(\displaystyle x \). Prendiamolo come un trabocchetto della prof per vedere se gli studenti sono attenti ...
A Kashaman, sì certo normalmente risolvo direttamente l'equazione; ma qui hai y=4 con due valori distinti reali di x, e sarebbe imbarazzante concludere che hai trovato l' \(\displaystyle f^-1 \) dato che, se esiste, è unica. Se non si è carciofi si conclude semplicemente che la funzione non ammette inversa.
grazie mille,
cerchiamo di creare lumi e non muli ...
Ely
e io cosa ho detto?
ti ho dato ragione.
Se $f:RR->RR$ allora non è invertibile e non esiste $f^(-1)$
tuttavia ,per restrizione e co-restrizione
Prendendo $D=[0,+\infty[$ , $CoD=[0,+\infty[$ allora la nostra funzione diventa invertibile.
Infatti $g : D -> CoD$ definita ponendo $AA x in D : g(x)=-x^2+4x+1$ è biettiva e quindi invertibile.
troviamo l'inversa.
$-x^2+4x+1=y <=> x^2-4x-1=-y , x^2-4x=1-y$ da cui aggiungendo $4$
$x^2-4x+4=5-y <=> (x-4)^2=5-y => x=4+\sqrt(5-y)$ (essendo $y,x >0$)
Dunque $f^(-1)(y)=4+\sqrt(5-y)$
ti ho dato ragione.
Se $f:RR->RR$ allora non è invertibile e non esiste $f^(-1)$
tuttavia ,per restrizione e co-restrizione
Prendendo $D=[0,+\infty[$ , $CoD=[0,+\infty[$ allora la nostra funzione diventa invertibile.
Infatti $g : D -> CoD$ definita ponendo $AA x in D : g(x)=-x^2+4x+1$ è biettiva e quindi invertibile.
troviamo l'inversa.
$-x^2+4x+1=y <=> x^2-4x-1=-y , x^2-4x=1-y$ da cui aggiungendo $4$
$x^2-4x+4=5-y <=> (x-4)^2=5-y => x=4+\sqrt(5-y)$ (essendo $y,x >0$)
Dunque $f^(-1)(y)=4+\sqrt(5-y)$
no aspetta. Forse non ci siamo capiti. io non ho trovato $f^(-1)(X)$ , io ho trovato le controimmagini di 4.
Il che è diverso.
Ho trovato, in poche parole, i valori che dato in pasto ad $f$ ti danno quattro. E nulla ci vieta che siano più di uno, proprio perché la nostra funzione non è ingettiva. In linea teorica ne possono essere infiniti
ne vuoi un esempio?
bene
prendi $f : RR ->RR$ definita ponendo $AA x in RR : f(x)=0$
In questo caso $f^(-1) (0) = { x in RR | f(x)=0}= RR$
Se poi $f$ è anche ingettiva, allora la controimmagine è unica.
Il che è diverso.
Ho trovato, in poche parole, i valori che dato in pasto ad $f$ ti danno quattro. E nulla ci vieta che siano più di uno, proprio perché la nostra funzione non è ingettiva. In linea teorica ne possono essere infiniti
ne vuoi un esempio?
bene
prendi $f : RR ->RR$ definita ponendo $AA x in RR : f(x)=0$
In questo caso $f^(-1) (0) = { x in RR | f(x)=0}= RR$
Se poi $f$ è anche ingettiva, allora la controimmagine è unica.
"Kashaman":
tuttavia ,per restrizione e co-restrizione
Prendendo $D=[0,+\infty[$ , $CoD=[0,+\infty[$ allora la nostra funzione diventa invertibile.
Si, si avevo capito. Se la restringi ha senso, d'accordo. Volevo solo dire che attenendomi alla consegna, questa condizione non c'è.
"Kashaman":
da cui aggiungendo $4$
$x^2-4x+4=5-y <=> (x-4)^2=5-y => x=4+\sqrt(5-y)$
Qui è \(\displaystyle (x-2)^2=5-y \)
Grazie, di nuovo.
Ely
Sono d'accordo con Kashaman, devi trovare le controimmagini di 4, che, visto la funzione non iniettiva, possono essere anche più di una.
"*Ely":
Qui è \(\displaystyle (x-2)^2=5-y \)
Grazie, di nuovo.
Ely
dettagli
"@melia":
devi trovare le controimmagini di 4, che, visto la funzione non iniettiva, possono essere anche più di una.
Cara @melia, se mi viene detto di trovare la controimmagine di una funzione allora cerco quella.
Ma non posso fare quello che mi pare, la consegna della mia prof. è: trova la funzione inversa \(\displaystyle f^{-1}(4) \) della funzione \(\displaystyle f(x)=-x^2+4x+1 \).
Altrimenti non avrei fatto rumore per nulla ...
Saluti
La funzione inversa è una funzione, non esiste la funzione inversa di 4, esiste la controimmagine di 4 che si scrive appunto $f^(-1)(4)$ ed è un insieme. In pratica $f^(-1)(4)$ non è una funzione, ma non lo è neppure se la funzione di partenza fosse stata iniettiva, la funzione inversa sarebbe stata $f^(-1)(x)$ e in tal caso avresti avuto pienamente ragione.
Facciamola semplice,
considera una funzione generica $f$, e $x$ un elemento del codominio.
Cosa si intende per controimmagine di x tramite f?
considera una funzione generica $f$, e $x$ un elemento del codominio.
Cosa si intende per controimmagine di x tramite f?
Si intende l'insieme degli elementi del dominio che hanno come immagine x.
@melia non era per te la domanda, io lo so :D:D
:D:D
Sorry!
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