Funzione inversa

[maria601]

Devo svolgere il seguente esercizio : In un diagramma cartesiano disegna le seguente funzione e la sua inversa, dopo aver considerato, se necessario, opportuni insiemi di partenza e di arrivo, tali che la funzione sia biettiva. Scrivi l'espressione analitica della funzione inversa :

$ y=3x^2-x+1 $

Per la funzione ho trovato l'ascissa del vertice, cioè 1/6, ho considerato la funzione che ad x minore di un 1/6 associa la funzione stessa la cui inversa si ottiene simmetrizzando rispetto alla bisettrice del primo e del terzo quadrante; quindi ho considerato la funzione che ad x>1/6 associa sempre la funzione stessa, anche questa è biunivoca e quindi simmetrizzabile;
ho fatto il grafico di ognuna delle due precedenti funzioni, il grafico dell'inversa simmetrizzando rispetto alla bisettrice del primo e terzo quadrante, quindi ho l'epressione analitica.

[Sk_Anonymous]

Quale sarebbe l'espressione analitica?

[garnak.olegovitc1]

Salve maria60,
avendo quella funzione, essa è una parabola, ti individui le coordinate di almeno tre punti di essa, o di punti notevoli, ed una volta fatto ciò ti basta invertire la prima coordinata con la seconda, e viceversa. Una volta fatto il tutto con i tre punti, o con i punti notevoli della parabola, rappresentali nel grafico e conduci per essi la curva, vedrai che essa è l'inversa della funzione iniziale.
Cordiali saluti

p.s.=oppure potresti ricavarti la parabola simmetrica di quella iniziale rispetto alla retta $y=x$

[maria601]

Ma per renderla biettiva devo fare la restrizione della funzione ? (mi chiede di renderla prima biettiva, e poi di simmetrizzarla ).

[Sk_Anonymous]

Certamente. Quello che non si capisce è se sei riuscita a determinare l'espressione analitica della funzione inversa.

[maria601]

Per x>1/6 dovrei avere : $ y=(1+sqrt(12x-11))/6$

[Sk_Anonymous]

"maria60":
Per x>1/6 dovrei avere : $ y=(1+sqrt(12x-11))/6$

Quasi:
$y>=1/6 rarr y=(1+sqrt(12x-11))/6$
$y<=1/6 rarr y=(1-sqrt(12x-11))/6$
entrambe definite per $x>=11/12$. Credo che tu abbia assegnato la condizione considerando la funzione diretta. Ma, più rigorosamente, dovresti assegnarla considerando la funzione inversa. Anzi, così facendo, non sarebbe nemmeno necessaria, dato che $y>=1/6$ oppure $y<=1/6$ derivano implicitamente dall'espressione della funzione inversa. Quello che voglio dire è che, assegnando $x>1/6$, hai considerato la funzione diretta, subito dopo hai scritto l'espressione della funzione inversa scambiando, giustamente, la $x$ con la $y$. In questo modo si genera un po' di confusione, visto che la $x$ che compare nella condizione non è la $x$ che compare nella funzione inversa. In ogni modo, se questo era il tuo intento, il tuo procedimento è assolutamente corretto. In definitiva, considerando anche la suriettività, bisognerebbe scrivere:
per $[x>=1/6 ^^ y>=11/12]$ la funzione $[y=3x^2-x+1]$ è invertibile con funzione inversa $[y=(1+sqrt(12x-11))/6]$
per $[x<=1/6 ^^ y>=11/12]$ la funzione $[y=3x^2-x+1]$ è invertibile con funzione inversa $[y=(1-sqrt(12x-11))/6]$