Funzione inversa
Salve a tutti, vorrei chiedervi aiuto sul ricavare la funzione inversa della seguente funzione:
$ y=2^(x(x-1)) $
Ho risolto nel seguente modo
$ x(x-1)=log2(y) $
Ma a questo punto non riesco a capire come isolare la "x". Ho provato a fare in questo modo:
$ x^2 -x +1/4= log2(y) + 1/4 $
da cui
$ (x-1/2)^2= log2(y) + 1/4 $
$ x-1/2=\sqrt(log2(y) +1/4) $
$ x= \sqrt(log2(y) + 1/4) + 1/2 $
Il chè non credo sia corretto, poichè dal grafico il codominio risulta y>0 mentre il dominio dell'inversa che ho ricavato comprenderebbe anche $ log2(y) + 1/4 >= 0 $
Spero in una vostra risposta, grazie mille in anticipo
$ y=2^(x(x-1)) $
Ho risolto nel seguente modo
$ x(x-1)=log2(y) $
Ma a questo punto non riesco a capire come isolare la "x". Ho provato a fare in questo modo:
$ x^2 -x +1/4= log2(y) + 1/4 $
da cui
$ (x-1/2)^2= log2(y) + 1/4 $
$ x-1/2=\sqrt(log2(y) +1/4) $
$ x= \sqrt(log2(y) + 1/4) + 1/2 $
Il chè non credo sia corretto, poichè dal grafico il codominio risulta y>0 mentre il dominio dell'inversa che ho ricavato comprenderebbe anche $ log2(y) + 1/4 >= 0 $
Spero in una vostra risposta, grazie mille in anticipo
Risposte
Ciao, intanto benvenuto nel forum.
Quello che scrivi è un po' impreciso perché la funzione che vuoi invertire non è iniettiva e quindi non ammette una unica inversa a meno di non restringere il suo dominio. Inoltre nei calcoli che hai svolto noto un paio di errori:
primo errore o meglio prima omissione:
quando passi al logaritmo devi imporre la sua esitenza e quindi devi porre $y>0$
secondo errore o meglio seconda omissione:
Quando estri la radice devi porre $+-$ davanti alla radice, per cui viene $ x= +-\sqrt(log2(y) + 1/4) + 1/2 $
Non era più facile, giunti a questo punto, $ x^2 -x - log2(y) =0$ applicare pedestremente la formula risolutiva delle equazioni di secondo grado?
Quello che scrivi è un po' impreciso perché la funzione che vuoi invertire non è iniettiva e quindi non ammette una unica inversa a meno di non restringere il suo dominio. Inoltre nei calcoli che hai svolto noto un paio di errori:
primo errore o meglio prima omissione:
"Soultrader":
$ x(x-1)=log_2(y) $
quando passi al logaritmo devi imporre la sua esitenza e quindi devi porre $y>0$
secondo errore o meglio seconda omissione:
"Soultrader":
$ (x-1/2)^2= log2(y) + 1/4 $
$ x-1/2=\sqrt(log2(y) +1/4) $
$ x= \sqrt(log2(y) + 1/4) + 1/2 $
Quando estri la radice devi porre $+-$ davanti alla radice, per cui viene $ x= +-\sqrt(log2(y) + 1/4) + 1/2 $
Non era più facile, giunti a questo punto, $ x^2 -x - log2(y) =0$ applicare pedestremente la formula risolutiva delle equazioni di secondo grado?
Innanzi tutto vorrei ringraziarti per il benvenuto e per la risposta tempestiva. Mi rimane comunque un dubbio: dal grafico il codominio sembra essere $y>0$
Invece nell'inversa $ x=+-sqrt(log2(y) + 1/4) + 1/2 $ bisogna aggiungere anche la condizione di esistenza della radice e si avrebbe quindi
$\{(y>0),(log2(y) + 1/4>=0):}$
Esiste un modo per ottenere la seconda condizione di esistenza direttamente dal grafico oppure devo passare per forza attraverso la funzione inversa?
Invece nell'inversa $ x=+-sqrt(log2(y) + 1/4) + 1/2 $ bisogna aggiungere anche la condizione di esistenza della radice e si avrebbe quindi
$\{(y>0),(log2(y) + 1/4>=0):}$
Esiste un modo per ottenere la seconda condizione di esistenza direttamente dal grafico oppure devo passare per forza attraverso la funzione inversa?
La seconda condizione deriva dal fatto che come ti diceva @melia devi limitare il dominio e il codominio della funzione per avere sia iniettività che suriettività, condizioni che insieme equivalgono alla biettività, che ti permette di trovare l'inversa.
La funzione esponenziale non dà problemi (è iniettiva e suriettiva su $[0,+\infty ) $), mentre $x(x-1)$ è una parabola, che ha come codominio $[-1/4,+\infty )$. Per avere l'iniettività devi limitare il dominio a $x \in [1/2,+\infty )$ oppure a $ x\in (-\infty,1/2]$ (vedi grafico).
La seconda condizione deriva dal fatto che il codominio della funzione sarebbe, combinando quello della parabola e dell'esponenziale, $[2^{-1/4},+\infty[$.
Paola
La funzione esponenziale non dà problemi (è iniettiva e suriettiva su $[0,+\infty ) $), mentre $x(x-1)$ è una parabola, che ha come codominio $[-1/4,+\infty )$. Per avere l'iniettività devi limitare il dominio a $x \in [1/2,+\infty )$ oppure a $ x\in (-\infty,1/2]$ (vedi grafico).
La seconda condizione deriva dal fatto che il codominio della funzione sarebbe, combinando quello della parabola e dell'esponenziale, $[2^{-1/4},+\infty[$.
Paola
Ok, ora mi è tutto chiaro, grazie tante 
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