Funzione inversa
Ciao a tutti..qual è la funzione inversa di:
f(x)= 3x + e^(2x)
potete mostrarmi tutti i passaggi? grazie
f(x)= 3x + e^(2x)
potete mostrarmi tutti i passaggi? grazie
Risposte
"Chiara87":
Ciao a tutti..qual è la funzione inversa di:
f(x)= 3x + e^(2x)
potete mostrarmi tutti i passaggi? grazie
E' questa la richiesta o magari la richiesta è: Qual è la derivata della funzione inversa? Chissa perchè ho la vaga impressioen di aver capito ki 6.... Hai pure tu questa impressione? [Se sì, evita di scrivere il mio nome, cognome e codice fiscale]... Si applica il teoream della derivata inversa ke adesso non ricordo e ke ripasserò
La funzione è sempre crescente in tutto il suo dominio $ ( -00, +00)$ ; quindi esiste la funzione inversa .
Mi sembra impossibile trovarne l'espressione analitica, perlomeno espressa in termini finiti.
Mi sembra impossibile trovarne l'espressione analitica, perlomeno espressa in termini finiti.
Si scusate, non ho messo tutto il testo pensando si potesse calcolare direttamente la funzione inversa di f(x).
Il testo richiede di calcolare g'(3+e^2) sapendo che g(x) è la funzione inversa di f(x). Come si procede?
matematico estinto non ho idea di chi tu sia..è la prima volta che entro in questo forum!
Il testo richiede di calcolare g'(3+e^2) sapendo che g(x) è la funzione inversa di f(x). Come si procede?
matematico estinto non ho idea di chi tu sia..è la prima volta che entro in questo forum!
Per definizione di formula inversa si ha $f^-1(f(x)) = x$.
Quindi dalla regola di derivazione delle funzioni composte si ottiene $(f^-1(f(x)))' f'(x) = 1$.
Calcolando nel nostro caso $f'(x) = 3 + 2 e^(2x)$ si ottiene $g'(f(x)) = 1/(3 + 2 e^(2x))$.
Quindi dalla regola di derivazione delle funzioni composte si ottiene $(f^-1(f(x)))' f'(x) = 1$.
Calcolando nel nostro caso $f'(x) = 3 + 2 e^(2x)$ si ottiene $g'(f(x)) = 1/(3 + 2 e^(2x))$.
ok perfetto..solo che non capisco dove devo sostituire 3+e^2..
Ecco un altro quesito simile:
Sia g la funzione inversa di
f(x) = e^[(x^3+1)/2]
quanto vale g'(e) ?
la 'e' va sostituita nella x della derivata della funzione inversa?
Grazie 1000!!!
Ecco un altro quesito simile:
Sia g la funzione inversa di
f(x) = e^[(x^3+1)/2]
quanto vale g'(e) ?
la 'e' va sostituita nella x della derivata della funzione inversa?
Grazie 1000!!!
Nel caso precedente ho scritto l'espressione generale della formula inversa, che va calcolata nel punto $3 + e^2$.
Probabilmente leggendo la risposta a questo quesito la cosa ti sarà più chiara.
Calcoliamo innanzitutto la derivata della funzione che risulta essere $f'(x) = 3/2 x^2 e^[(x^3+1)/2]$.
Quindi sostituendo nella formula generale si ottiene $g'(f(x)) = 2/(3 x^2 e^[(x^3+1)/2])$.
Il problema chiede di calcolare $g'(e)$, quindi deve essere $f(x) = e$.
La funzione $f(x)$ è uguale ad $e$ se e soltanto se $x = 1$ (poichè $e^[(1^3+1)/2]=e$).
In definitiva sostituendo il risultato che si ottiene è $g'(e) = 2/(3 e)$.
La $e$ non va sostituita alla $x$ poichè nella formula abbiamo $g'(f(x))$, ovvero la funzione dipende da $f(x)$.
Se avessimo avuto invece $g'(x)$ sarebbe stato lecito fare quel passaggio.
Forse può esserti più chiaro riscrivere la formula iniziale come $y = e^[(x^3+1)/2]$ e la formula per l'inversa come $g'(y) = 2/(3 x^2 e^[(x^3+1)/2])$.
Appare chiaro che la sostituzione che volevi fare è errata.
Probabilmente leggendo la risposta a questo quesito la cosa ti sarà più chiara.
Calcoliamo innanzitutto la derivata della funzione che risulta essere $f'(x) = 3/2 x^2 e^[(x^3+1)/2]$.
Quindi sostituendo nella formula generale si ottiene $g'(f(x)) = 2/(3 x^2 e^[(x^3+1)/2])$.
Il problema chiede di calcolare $g'(e)$, quindi deve essere $f(x) = e$.
La funzione $f(x)$ è uguale ad $e$ se e soltanto se $x = 1$ (poichè $e^[(1^3+1)/2]=e$).
In definitiva sostituendo il risultato che si ottiene è $g'(e) = 2/(3 e)$.
La $e$ non va sostituita alla $x$ poichè nella formula abbiamo $g'(f(x))$, ovvero la funzione dipende da $f(x)$.
Se avessimo avuto invece $g'(x)$ sarebbe stato lecito fare quel passaggio.
Forse può esserti più chiaro riscrivere la formula iniziale come $y = e^[(x^3+1)/2]$ e la formula per l'inversa come $g'(y) = 2/(3 x^2 e^[(x^3+1)/2])$.
Appare chiaro che la sostituzione che volevi fare è errata.
"La $e$ non va sostituita alla $x$ poichè nella formula abbiamo $g'(f(x))$, ovvero la funzione dipende da $f(x)$.
Se avessimo avuto invece $g'(x)$ sarebbe stato lecito fare questo passaggio."
Era proprio questo l'errore che facevo! Sei stato davvero chiarissimo, grazie 1000 di nuovo!!
Se avessimo avuto invece $g'(x)$ sarebbe stato lecito fare questo passaggio."
Era proprio questo l'errore che facevo! Sei stato davvero chiarissimo, grazie 1000 di nuovo!!
Ho un altro problema...come faccio ad individuare l'intervallo in cui una funzione è invertibile?
Per esempio se ho:
f(x)= 2^x + 8*2^(-x)
in che intervallo è invertibile?
Per esempio se ho:
f(x)= 2^x + 8*2^(-x)
in che intervallo è invertibile?
E' invertibile dove è monotòna : crescente oppure decrescente.
Direi strettamente monotona, cioè strettamente crescente o strettamente decrescente.
"fireball":
Direi strettamente monotona, cioè strettamente crescente o strettamente decrescente.
Esatto
ok, fin qui c'ero..ma l'intervallo di stretta monotonia come lo trovo?
"Chiara87":
ok, fin qui c'ero..ma l'intervallo di stretta monotonia come lo trovo?
Facendo lo studio della funzione , in particolare se trovi dove la funzione cresce e dove decresce ( strettamente ) , dove cioè la derivata prima è positiva, dove negativa etc...., eventuali max e min
Un'altra domanda:
Come faccio a sapere in che intervallo una funzione è invertibile?!
Se esempio ho la funzione f(x)= x^2 * e^x
in che intervallo è invertibile?
Come faccio a sapere in che intervallo una funzione è invertibile?!
Se esempio ho la funzione f(x)= x^2 * e^x
in che intervallo è invertibile?
Ma te l'ha detto Camillo, ti studi la funzione, cerchi max e min, crescenza e decrescenza. Quindi avrai degli intervalli in ciascuno dei quali la funzione è monotòna.....
Si, lo so che me lo ha detto camillo, però la cosa non mi è ancora poco chiara..
Allora, la derivata è:
f'(x) = 2x * e^x + x^2 * e^x
raccogliendo, f'(x) = x * e^x * (x+2)
Facendo lo studio della crescita e della decrescita trovo che
cresce in (-∞, 2) U (0, +∞) e decresce in (-2, 0)
ha quindi massimo relativo -2 e minimo 0
Però come faccio a vedere dove è invertibile?
Allora, la derivata è:
f'(x) = 2x * e^x + x^2 * e^x
raccogliendo, f'(x) = x * e^x * (x+2)
Facendo lo studio della crescita e della decrescita trovo che
cresce in (-∞, 2) U (0, +∞) e decresce in (-2, 0)
ha quindi massimo relativo -2 e minimo 0
Però come faccio a vedere dove è invertibile?
La funzione è strettamente crescente in $ ( -oo, -2)$ e quindi ivi invertibile ;
è strettamente decrescente in $ ( -2,0)$ e quindi ivi invertibile
è strettamente crescente in $ ( 0, +oo)$ e quindi ivi invertibile .
Diciamo che è invertibile a " pezzi ".
Quindi è invertibile in questi intervalli :$(-oo,-2) U ( -2,0 )U (0, +oo) $ .
è strettamente decrescente in $ ( -2,0)$ e quindi ivi invertibile
è strettamente crescente in $ ( 0, +oo)$ e quindi ivi invertibile .
Diciamo che è invertibile a " pezzi ".
Quindi è invertibile in questi intervalli :$(-oo,-2) U ( -2,0 )U (0, +oo) $ .
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