Funzione inversa
Secondo voi come posso invertire $y=x^2+x+2$? Come si vede, questo polinomio non si può fattorizzare e non riesco ad esplicitarmi la x in funzione della y.
Risposte
Basta risolvere un'equazione di secondo grado (e poi stare attenti al fatto che ti verranno dati due "rami" per le due soluzioni)...
Ma non ha soluzioni...
Cosa significa "non ha soluzioni"?
Mi riferivo a $x^2+x+2=0$. Comunque probabilmente devo ragionare sull'insieme immagine di $x^2+x+2$, più tardi riprendo in mano l'esercizio e vediamo se riesco a risolverlo.
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"HowardRoark":
Mi riferivo a $x^2+x+2=0$.
E perché mai vorresti risolvere l'equazione \(y=0\), per invertire l'espressione \(y = f(x)\) rispetto a $x$? Sono due problemi che non c'entrano nulla uno con l'altro.
"sellacollesella":
[quote="HowardRoark"]Come posso invertire $y=x^2+x+2$ ?
Risolvendo \(x^2+x+2-y=0\) rispetto ad \(x\).[/quote]
Chiaro, grazie mille.
"megas_archon":
E perché mai vorresti risolvere l'equazione \(y=0\), per invertire l'espressione \(y = f(x)\) rispetto a $x$? Sono due problemi che non c'entrano nulla uno con l'altro.
In effetti con quel procedimento stavo solo cercando degli zeri (inesistenti in questo caso), la strada giusta era quella risolvere $x^2+x+2-y=0$ come giustamente ha suggerito sella, anche se non mi è ancora chiaro il motivo. Risolvendo un'equazione di secondo grado si trovano degli zeri, qui invece ho trovato un'altra funzione (ho scelto $(sqrt(4y-7)-1)/2$, senza prendere quella col meno).
Perdona l'ignoranza ma sulle funzioni inverse ci ho lavorato poco.
@HowardRoark: Se non riesci a capire, semplifica il problema.
Considera la funzione $f:RR -> RR$ definita ponendo $f(x) = 2x + 1$.
La $f$ è invertibile? Perché?
Come trovi l'inversa di $f$? Perché?
Ora prova a cambiare l'espressione di $f$, tipo $f(x)=x^2$.
Questa funzione è invertibile? Perché?
Esistono parti del suo dominio in cui è invertibile? Quali?
Come trovi l'inversa di $f$? Perché?
Considera la funzione $f:RR -> RR$ definita ponendo $f(x) = 2x + 1$.
La $f$ è invertibile? Perché?
Come trovi l'inversa di $f$? Perché?
Ora prova a cambiare l'espressione di $f$, tipo $f(x)=x^2$.
Questa funzione è invertibile? Perché?
Esistono parti del suo dominio in cui è invertibile? Quali?
Come trovi l'inversa di $f$? Perché?
"gugo82":
Considera la funzione $f:RR -> RR$ definita ponendo $f(x) = 2x + 1$.
La $f$ è invertibile? Perché?
Perché è iniettiva.
"gugo82":
Come trovi l'inversa di $f$? Perché?
Esplicitando la x in funzione della y: $x=1/2y-1/2$
"gugo82":
Ora prova a cambiare l'espressione di $f$, tipo $f(x)=x^2$.
Questa funzione è invertibile? Perché?
No, perché non è iniettiva. Chiaramente anche $x^2+x+2$ non è invertibile per lo stesso motivo, però restringendo il dominio a $[-1/2, +oo)$ lo diventa (iniettiva) e quindi la posso invertire.
"gugo82":
Come trovi l'inversa di $f$? Perché?
Sempre risolvendo rispetto ad $x$, stando attento a prendere la soluzione $(sqrt(4y-7)-1)/2$ perché il dominio della funzione di partenza diventa l'insieme di arrivo dell'inversa. In effetti $(sqrt(4y-7)-1)/2>=-1/2$ sempre, e va a $+oo$ per $y->+oo$.
Credo di aver fatto la stessa cosa rispetto all'esempio che hai fatto all'inizio, ho solo fatto confusione.
Grazie mille per i quesiti chiarificatori, adesso credo di aver capito.
[nota]anziché considerare $x^2$ ho preso la funzione che dovevo invertire, comunque per $x^2$ si prende come dominio $[0,+oo)$ e si inverte come $x=sqrt(y)$[/nota]
"HowardRoark":
Perché è iniettiva.
Quindi anche \(g:\mathbb{R} \to \mathbb{C}\) definita ponendo \(g(x):=2x+1\) è invertibile? Anche questa è iniettiva.
"Mephlip":
Quindi anche \(g:\mathbb{R} \to \mathbb{C}\) definita ponendo \(g(x):=2x+1\) è invertibile? Anche questa è iniettiva.
$CC$ immagino siano i numeri complessi, che per il momento non sto studiando. Per le funzioni $f: RR -> RR$ sono sicuro che l'iniettività sia condizione necessaria e sufficiente per l'invertibilità[nota]Ci sarebbe da considerare anche la suriettività, però affinché questa sia sempre verificata basta restringere l'insieme di arrivo all'insieme delle immagini della funzione. Ad esempio per $y=x^2$, se anziché prendere la funzione da $RR->RR$ la prendo da $RR->[0,+oo)$, questa diventa suriettiva. Se poi applico anche la restrizione del dominio a $[0,+oo)$ diventa anche iniettiva e la posso invertire.[/nota], per gli scopi che ho ora mi basta sapere questo.
Non è corretto così come è scritto: scrivendo \(f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}\), già sottintendi che il codominio sia \(\mathbb{R}\) e in tal caso non è affatto vero che l'iniettività è condizione necessaria e sufficiente per l'invertibilità. Al più, come dici successivamente nella nota, puoi dire che per \(f:\mathbb{R}\to f(\mathbb{R})\) l'iniettività è condizione necessaria e sufficiente per l'invertibilità.
Sì, \(\mathbb{C}\) sono i complessi.
Sì, \(\mathbb{C}\) sono i complessi.
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