Funzione in 2 variabili
Ciao ragazzi ho appena scoperto questo forum e spero vogliate darmi una mano a risolvere questo esercizio...è tutto il pomeriggio che non riesco a venirne a capo...soprattutto ho difficoltà nei passaggi algebrici!
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Determinare i punti stazionari della funzione con i passaggi algebrici relativi al sistema delle derivate parziali eguagliate a zero, della seguente funzione in 2 variabili:
z = 3x^3 + 9xy^2 - 5x + 4y
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riuscireste anche a farmi vedere un grafico dei punti critici?
Grazie mille!
Ste.
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Determinare i punti stazionari della funzione con i passaggi algebrici relativi al sistema delle derivate parziali eguagliate a zero, della seguente funzione in 2 variabili:
z = 3x^3 + 9xy^2 - 5x + 4y
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riuscireste anche a farmi vedere un grafico dei punti critici?
Grazie mille!
Ste.
Risposte
La derivata parziale di z rispetto ad x la indico come $dz/dx$ , analogamente la derivata parziale rispetto ad y la indico con $dz/dy $ in quanto non trovo il segno corretto da usare.
$dz/dx = 9x^2+9y^2-5 $
$dz/dy = 18xy +4 $
Per trovare i punti critici devo eguagliare a 0 entrambe le derivate e risolvere il sistema formato dalle 2 equazioni :
Divido la prima per 9 e la seconda semplifico per 2 ottenendo :
$x^2 +y^2 = 5/9 $
$ xy = -2/9 $.
Adesso uso un semplice artificio : $x^2+y^2 = (x+y)^2 -2xy $.
Quindi il sistema diventa :
$ (x+y)^2 -2xy = 5/9$
$xy = -2/9 $
e quindi :
$(x+y)^2 -2(-2/9) = 5/9$
$xy = -2/9$
da cui :
$ x+y = + - 1/3 $
$xy = -2/9 $
Ho quindi 2 sistemi da risolvere :
il primo :
$x+y = 1/3 $
$xy = -2/9 $
che dà luogo all'equazione risolvente : $ t^2-1/3t-2/9 = 0 $ che ha soluzioni : $ t = 2/3 ,-1/3 $ e quindi essendo un sistema simmetrico si hanno i punti critici :
$ P1 ( 2/3 , -1/3 ) ; P2(-1/3 , 2/3 )$
Il secondo sistema è :
$ x+y = -1/3 $
$ xy = -2/9 $ che dà luogo all'equazione risolvente :
$ 9 t^2+3t-2 = 0$ con soluzioni : $ t = -2/3 , 1/3 $ e quindi si hanno i punti critici :
$P3(-2/3 , 1/3 ) ; P4 ( 1/3, -2/3) $.
$dz/dx = 9x^2+9y^2-5 $
$dz/dy = 18xy +4 $
Per trovare i punti critici devo eguagliare a 0 entrambe le derivate e risolvere il sistema formato dalle 2 equazioni :
Divido la prima per 9 e la seconda semplifico per 2 ottenendo :
$x^2 +y^2 = 5/9 $
$ xy = -2/9 $.
Adesso uso un semplice artificio : $x^2+y^2 = (x+y)^2 -2xy $.
Quindi il sistema diventa :
$ (x+y)^2 -2xy = 5/9$
$xy = -2/9 $
e quindi :
$(x+y)^2 -2(-2/9) = 5/9$
$xy = -2/9$
da cui :
$ x+y = + - 1/3 $
$xy = -2/9 $
Ho quindi 2 sistemi da risolvere :
il primo :
$x+y = 1/3 $
$xy = -2/9 $
che dà luogo all'equazione risolvente : $ t^2-1/3t-2/9 = 0 $ che ha soluzioni : $ t = 2/3 ,-1/3 $ e quindi essendo un sistema simmetrico si hanno i punti critici :
$ P1 ( 2/3 , -1/3 ) ; P2(-1/3 , 2/3 )$
Il secondo sistema è :
$ x+y = -1/3 $
$ xy = -2/9 $ che dà luogo all'equazione risolvente :
$ 9 t^2+3t-2 = 0$ con soluzioni : $ t = -2/3 , 1/3 $ e quindi si hanno i punti critici :
$P3(-2/3 , 1/3 ) ; P4 ( 1/3, -2/3) $.
Grazie del suggerimento, purtroppo non riesco a calcolare le 4 soluzioni e le coordinate dei 4 punti stazionari...
Ok perfetto!! tutto chiaro e dettagliato!
Grazie mille e complimenti soprattutto per l'artificio!
E' difficile scrivere le formule nel modo grafico che hai utilizzato tu (con frazioni, esponenti. ecc...)?..scusa ma non sono ancora molto pratico...
Grazie mille e complimenti soprattutto per l'artificio!
E' difficile scrivere le formule nel modo grafico che hai utilizzato tu (con frazioni, esponenti. ecc...)?..scusa ma non sono ancora molto pratico...
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Come inserire formule matematiche
Camillo
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Camillo
Avrei una domanda.. probabilmente sembrerò scema ma non ho capito questo passaggio.. x^2 + y^2 = (x + y)^2 - 2xy (l'artificio per intenderci). è una formula o da dove è stato ricavato?
Grazie per la risposta
Grazie per la risposta
Ciao! 
1) non si usa ripescare post morti e sepolti (13 anni fa!), aprine uno nuovo
2) le formule mettile fra dollari, così x^2 + y^2 = (x + y)^2 - 2xy diventa $ x^2 + y^2 = (x + y)^2 - 2xy$
3) non hai notato che il quadrato di binomio $(x+y)^2 = x^2 + y^2 + 2xy$ per cui, se sottrai $2xy$...
1) non si usa ripescare post morti e sepolti (13 anni fa!), aprine uno nuovo
2) le formule mettile fra dollari, così x^2 + y^2 = (x + y)^2 - 2xy diventa $ x^2 + y^2 = (x + y)^2 - 2xy$
3) non hai notato che il quadrato di binomio $(x+y)^2 = x^2 + y^2 + 2xy$ per cui, se sottrai $2xy$...
Si chiama prima formula di Waring, ma la puoi dedurre facilmente dal quadrato del binomio. È un classico artificio per risolvere sistemi di grado superiore al secondo, quando le variabili sono simmetriche.
Non mi ero accorta del caso di necroposting.
Non mi ero accorta del caso di necroposting.
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