Funzione fra insiemi

[scrittore93]

Buon pomeriggio,
sono nuovo nel forum. Sono iscritto al primo anno di ITPS (Informatica e Tecnologie per la Produzione del Software). Avrei bisogno di spiegazioni riguardo le funzioni fra insiemi anche con degli esempi ed esercizi già svolti. In particolare:

-Funzione invertibile
-Funzione caratteristica
-Funzione identità
-Quando due funzioni sono uguali
-Composizione di due funzioni

[stefanognr]

Premetto che, almeno per me, è difficile risolvere dei dubbi quando mi viene chiesta una spiegazione generale. Ti invito pertanto ad allenarti a formulare domande precise, cosa che si rivelerà senza alcun dubbio utile nel tuo percorso di studi. In ogni caso cerco di rispondere in qualche maniera.

1) Una funzione (globalmente) invertibile è una funzione che associa per ogni elemento x del dominio X uno e solo uno elemento y del codominio Y.
Ad esempio

[math]f(x)=x^2[/math]

non è invertibile perchè gli elementi x=-1 e x=1 del dominio sono mandati nello stesso elemento y=1 del codominio. Non può esistere quindi una funzione inversa che manda y=1 in un'unica x.

[math]f(x)=x^3[/math]

invece è invertibile.
La condizione necessaria e sufficiente per l'invertibilità è la biiettività( = iniettività + suriettività).

2) In matematica avanzata l'aggettivo "caratteristica" è spesso associato al soggetto "funzione" anche se si parla di cose differenti...creando confusione.
Se riporti la definizione data dal tuo testo sarò ben lieto di rispondere.

3) La funzione identità è quella che manda un elemento del dominio in se stesso.
Esempio: Per le funzioni reali f(x)=x è la funzione identità in quanto manda un generico x in se stesso. Graficamente è la retta bisettrice che taglia il I ed il III quadrante.

4) Domanda ambigua. Due funzioni possono essere uguali puntualmente o globalmente. Il primo caso avviene quando hanno lo stesso valore per un set discreto di punti del dominio.
Esempio: f(x) = x ed g(x)=-x sono uguali in x=0 in quanto f(0)=g(0)=0.
Il secondo caso è quello banale, ovvero che le due funzioni sono identiche in ogni punto del dominio, ovvero sono la stessa funzione.

5) Dati gli insiemi A, B e C e le funzioni f e g definite come

[math]f: A \to B , g: B \to C [/math]

allora la funzione

[math]h=g * f: A \to C[/math]

è la composizione di g con f.

Esempio:

[math]f(x) = x^2[/math]

,

[math]g(x)= x+3[/math]

allora

[math]f*g = (x+3)^2[/math]

.

Resto disponibile per chiarimenti.