Funzione esponenziale e logaritmica
Buonasera mi sono imbattuto in questo problema che espongo qui di seguito:
Il grafico in figura riporta in rosso la rappresentazione di una funzione di espressione analitica del tipo $ f(x)=a⋅(1/2)^(x+k)+b $
In base alle informazioni che puoi dedurre dal grafico, determina a, b e k.
allora notando che ci sono tre incognite ho optato per un sistema :
$ a(1/2)^(-1+k)+b=-10 $ questa impone il passaggio per il punto (-1;-10)
$ a(1/2)^k+b=-6 $ questa impone il passaggio per il punto (0;-6)
$ a(1/2)^(∞)+b=-2 $ questo è il limite di x che tende a infinito per l'asintoto orizzontale y=-2
ho deciso poi di iniziare questo sistema dalla terza equazione in quanto $(1/2)^∞$ tende a zero quindi l'incognita a sparisce perchè moltiplicata per zero e rimane b=-2 e cosi ho trovato il primo valore.
mi rimangono queste due andando a sostituire b:
$ a(1/2)^(-1+k)-2=-10 $
$ a(1/2)^k-2=-6 $
se fino a qui non ho sbagliato , io non riesco ad andare più avanti perchè come isolo una incognita nel sistema mi si semplifica e viene alla fine un ugualianza fra numeri .
(purtroppo non mi fa caricare l'immagine) ma come descritto è una curva che passa nei punti (-1;-10) poi (0;-6) e segue un asintodo orizzontale su y=-2
Il grafico in figura riporta in rosso la rappresentazione di una funzione di espressione analitica del tipo $ f(x)=a⋅(1/2)^(x+k)+b $
In base alle informazioni che puoi dedurre dal grafico, determina a, b e k.
allora notando che ci sono tre incognite ho optato per un sistema :
$ a(1/2)^(-1+k)+b=-10 $ questa impone il passaggio per il punto (-1;-10)
$ a(1/2)^k+b=-6 $ questa impone il passaggio per il punto (0;-6)
$ a(1/2)^(∞)+b=-2 $ questo è il limite di x che tende a infinito per l'asintoto orizzontale y=-2
ho deciso poi di iniziare questo sistema dalla terza equazione in quanto $(1/2)^∞$ tende a zero quindi l'incognita a sparisce perchè moltiplicata per zero e rimane b=-2 e cosi ho trovato il primo valore.
mi rimangono queste due andando a sostituire b:
$ a(1/2)^(-1+k)-2=-10 $
$ a(1/2)^k-2=-6 $
se fino a qui non ho sbagliato , io non riesco ad andare più avanti perchè come isolo una incognita nel sistema mi si semplifica e viene alla fine un ugualianza fra numeri .
(purtroppo non mi fa caricare l'immagine) ma come descritto è una curva che passa nei punti (-1;-10) poi (0;-6) e segue un asintodo orizzontale su y=-2
Risposte
Ma usi l'apposito tasto "aggiungi immagine" nel form di risposta?
"axpgn":
Ma usi l'apposito tasto "aggiungi immagine" nel form di risposta?
Credo che ora la ha caricata
Ciao satellitea30,
In realtà, assodato che deve essere $b = - 2 $, le prime due equazioni sono in realtà la stessa equazione, cioè, dopo le opportune semplificazioni, $a(1/2)^k = - 4 $
Siccome ovviamente $ (1/2)^k > 0 $, è chiaro che deve essere $a < 0 $, però ti serve cercare un'altra informazione, perché così le soluzioni ammissibili possono essere più di una, ad esempio:
$ a = - 4 $, $ k = 0 $, $b = - 2 $;
$ a = - 2 $. $ k = - 1 $, $b = - 2 $;
$ a = - 1 $, $ k = - 2 $, $b = - 2 $
In realtà, assodato che deve essere $b = - 2 $, le prime due equazioni sono in realtà la stessa equazione, cioè, dopo le opportune semplificazioni, $a(1/2)^k = - 4 $
Siccome ovviamente $ (1/2)^k > 0 $, è chiaro che deve essere $a < 0 $, però ti serve cercare un'altra informazione, perché così le soluzioni ammissibili possono essere più di una, ad esempio:
$ a = - 4 $, $ k = 0 $, $b = - 2 $;
$ a = - 2 $. $ k = - 1 $, $b = - 2 $;
$ a = - 1 $, $ k = - 2 $, $b = - 2 $
Non so io non riesco a trovare un terzo indizi :/ però posso eliminare due delle tre possibilità che mi hai fornito guardando il grafico. Pensavo che c'era una soluzione tramite sistema
Presumo che l'angolo debba essere determinato DOPO aver trovato il punto B però si può ottenere una stima abbastanza precisa facendo il contrario ovvero la pendenza della retta è pari all'incirca $11/6$
Cordialmente, Alex
Cordialmente, Alex
Assodato che $a<0$ e $b=-2$ per ragioni evidenti e già dette, hai da determinare $a$ e $k$ imponendo il passaggio per $(0,-6)$ e $A=(-1,-10)$.
Imponendo entrambe le condizioni ottieni un sistema indeterminato che dà:
$a = - 2^(k+2)$
con $k in RR$ parametro; ora, sostituendo nella legge di $f(x)$ si trova:
$f(x) = - 2^(k+2) 1/2^(x+k) - 2 = -4/2^x - 2$
quindi hai fortuna: il parametro $k$ non gioca nessun ruolo ed hai una legge "pulita".
Morale della favola: ci sono parametri liberi? E che te ne frega! Porta avanti i conti e vedi dove arrivi, prima di alzare bandiera bianca...
Infine, le coordinate di $B$ sono $(3,f(3)) = (3,-5/2)$, dunque:
$m_(AB) = (y_B - y_A)/(x_B - x_A) = (-5/2 + 10)/(3+1) = 15/8$
e, per interpretazione geometrica del coefficiente angolare hai:
$alpha = arctan m_(AB) = arctan(15/8)$
come suggerito dal testo.
[xdom="gugo82"]Sposto in Secondaria Secondo Grado.[/xdom]
Imponendo entrambe le condizioni ottieni un sistema indeterminato che dà:
$a = - 2^(k+2)$
con $k in RR$ parametro; ora, sostituendo nella legge di $f(x)$ si trova:
$f(x) = - 2^(k+2) 1/2^(x+k) - 2 = -4/2^x - 2$
quindi hai fortuna: il parametro $k$ non gioca nessun ruolo ed hai una legge "pulita".
Morale della favola: ci sono parametri liberi? E che te ne frega! Porta avanti i conti e vedi dove arrivi, prima di alzare bandiera bianca...
Infine, le coordinate di $B$ sono $(3,f(3)) = (3,-5/2)$, dunque:
$m_(AB) = (y_B - y_A)/(x_B - x_A) = (-5/2 + 10)/(3+1) = 15/8$
e, per interpretazione geometrica del coefficiente angolare hai:
$alpha = arctan m_(AB) = arctan(15/8)$
come suggerito dal testo.
[xdom="gugo82"]Sposto in Secondaria Secondo Grado.[/xdom]
Allora prima di tutto ringrazio tutti quanti per i consigli dati lo ho apprezzato molto e sono riuscito a capire tutti i passaggi. L unica cosa che mi lascia perplesso è che si ho capito il passaggio finale per arrivare a $ f(x)=-(4)/(2^x)-2$ ma da qua non riesco a capire quali sono i calcoli da portare avanti per trovare gli altri parametri a e k.
Perdonate la mia ignoranza
Perdonate la mia ignoranza
La questione è che non ti serve alcun valore specifico di $a$ né di $k$ (ossia, ogni $k in RR$ ed ogni $a=-2^(k+2)$ vanno bene per risolvere il problema -checché ne dica il testo-).
Questo viene dai calcoli: infatti basta sostituire in $f(x)$ la quantità $a=-2^(k+2)$ per far scomparire il parametro $k$ dalla legge di $f(x)$.
Questo fatto si interpreta così: non c'è bisogno di tre parametri per far assumere alla curva-grafico il comportamento che vuoi (cioè, passaggio per $A$, intercetta a $-6$ e asintoto orizzontale $y=-2$); in particolare, uno tra $a$ e $k$ è di troppo.
Se proprio, per qualche misterioso motivo, vuoi scegliere un valore dei parametri, ti basta dare a $k$ un valore a tuo piacimento e ad $a$ il valore che viene fuori da $a=-2^(k+2)$.
Puoi scegliere $k=-2$ ed $a=-1$, ma puoi scegliere anche $k=sqrt(2)/(217pi)$ ed ottieni lo stesso quel che ti serve.
Questo viene dai calcoli: infatti basta sostituire in $f(x)$ la quantità $a=-2^(k+2)$ per far scomparire il parametro $k$ dalla legge di $f(x)$.
Questo fatto si interpreta così: non c'è bisogno di tre parametri per far assumere alla curva-grafico il comportamento che vuoi (cioè, passaggio per $A$, intercetta a $-6$ e asintoto orizzontale $y=-2$); in particolare, uno tra $a$ e $k$ è di troppo.
Se proprio, per qualche misterioso motivo, vuoi scegliere un valore dei parametri, ti basta dare a $k$ un valore a tuo piacimento e ad $a$ il valore che viene fuori da $a=-2^(k+2)$.
Puoi scegliere $k=-2$ ed $a=-1$, ma puoi scegliere anche $k=sqrt(2)/(217pi)$ ed ottieni lo stesso quel che ti serve.
Grazie mille adesso ho capito:)
Accedi a tutti gli appunti
Tutor AI: studia meglio e in meno tempo