Funzione e derivabilità
Ciao a tutti,
vengo a disturbarvi in questa sezione perché mi è sorto un dubbio nello studio di concetti affini a quelli che vado ad esporre e che avevo trattato alle superiori. In realtà è nato dallo studio di analisi2, ne parlavo qui viewtopic.php?f=36&t=189542 , però purtroppo non riesco ancora a trovarmi delle risposte essendo rimasta una discussione aperta
Venendo al dunque, se io avessi una funzione:
$f(x)={(3x if x≠0),(2x if x=0):}$
Ora studiando la derivabilità che si fa con il rapporto incrementale si avrebbe $lim_(h->0) (3(h)-0)/h=3$ (*) derivabile e la derivata in zero è 3.
Mi chiedevo se svolgere una cosa del genere sia giusto, secondo me no, ma tant'è trovo qualcosa di simile:
scriviamo le derivate prime
$f'(x)={(3 if x≠0),(2 if x=0):}$ (**)
e a questo punto la derivata in zero verrebbe da dire essere 2. Che è un errore. Giusto?
A me pare proprio un errore concettuale sfruttare la derivata (**), si dovrebbe fare il rapporto incrementale (*) o sbaglio?
grazie per l'aiuto
vengo a disturbarvi in questa sezione perché mi è sorto un dubbio nello studio di concetti affini a quelli che vado ad esporre e che avevo trattato alle superiori. In realtà è nato dallo studio di analisi2, ne parlavo qui viewtopic.php?f=36&t=189542 , però purtroppo non riesco ancora a trovarmi delle risposte essendo rimasta una discussione aperta
Venendo al dunque, se io avessi una funzione:
$f(x)={(3x if x≠0),(2x if x=0):}$
Ora studiando la derivabilità che si fa con il rapporto incrementale si avrebbe $lim_(h->0) (3(h)-0)/h=3$ (*) derivabile e la derivata in zero è 3.
Mi chiedevo se svolgere una cosa del genere sia giusto, secondo me no, ma tant'è trovo qualcosa di simile:
scriviamo le derivate prime
$f'(x)={(3 if x≠0),(2 if x=0):}$ (**)
e a questo punto la derivata in zero verrebbe da dire essere 2. Che è un errore. Giusto?
A me pare proprio un errore concettuale sfruttare la derivata (**), si dovrebbe fare il rapporto incrementale (*) o sbaglio?
grazie per l'aiuto
Risposte
In un punto isolato non puoi calcolare la derivata con le formule di derivazione, la puoi calcolare solo con il limite del rapporto incrementale, quindi è $3$.
Grazie per la celere risposta, sono molto contento che almeno ho capito il concetto. Iniziavo già a vacillare
Non so se tu abbia voglia di dare uno sguardo all'ultimo post con la foto del libro, qui viewtopic.php?f=36&t=189542
in realtà è analisi 2 però il problema è legato a qualcosa esattamente simile a quello che chiedevo e a me pare il libro faccia proprio quella derivata non consentita.
Non riesco a capire e ci ragiono da giorni
In ogni caso grazie mille!
Non so se tu abbia voglia di dare uno sguardo all'ultimo post con la foto del libro, qui viewtopic.php?f=36&t=189542
in realtà è analisi 2 però il problema è legato a qualcosa esattamente simile a quello che chiedevo e a me pare il libro faccia proprio quella derivata non consentita.
Non riesco a capire e ci ragiono da giorni
In ogni caso grazie mille!
Mi spiace, ma non sono in grado di aiutarti nella dicussione in Analisi.
Fa nulla, ti ringrazio molto sei stata davvero gentile.
Buona serata
[size=150][EDIT][/size]
Torno a scrivere perché mi è vento in mente che avevo un altro dubbio non risolto sempre per funzioni definite per rami e sulla derivabilità. Avevo già aperto una domanda ma è rimasta irrisolta, vorrei tanto poter capire e colmare il mio dubbio perché finché non capirò mi si ripresenterà sicuramente.
In questa tipologia di funzioni
$f(x)={(3x if x≠0),(2x if x=0):}$
come dicevamo per calcolare il rapporto incrementale si usa $lim_(h->0) (f(x_0+h)-f(x_0))/h=3$
- Dove al numeratore in $f(x_0+h)$ sostituisco i valori nella funzione per x≠0
- E per scrivere $f(x_0)$ uso la funzione costante definita per x=0
Direi che ci siamo.
Il mio problema nasce in esercizi del tipo
$f(x)={(a*sqrt(x+4)-6 if -4<=x<0),(ln(bx+1)+2b if x>=0):}$
- Dopo aver studiato la continuità e trovato i paramenti (che non riporto perché non è qui che risiede il dubbio) passa allo studio del rapporto incrementale nel punto x=0 nel caso si trovi nel limite $h->0^+$ in $f(x+h)$ mette ovviamente i valori della funzione (corrispondente al caso $x>=0$) incrementata e in $f(x_0)$ il valore trovato sostituento ad x il valore 0 in $ln(bx+1)+2b$ if $x>=0$. (e per questo punto tutto bene)
- Quel che non capisco è perché invece studiando per $h->0^-$ utilizzi per $f(x_0)$ la funzione $a*sqrt(x+4)-6$ in cui sostituisce 0 (ma zero non è compendiato da quel ramo!). Quindi io mi chiedo: al numeratore del rapporto incrementale non dovrebbe usare $ln(bx+1)+2b$ e sostituirci qui lo zero essendo che $ln(bx+1)+2b$ if $x>=0$ (caso maggiore uguale a zero?). Eppure non fa così!
Cioè mi perplime che per scrivere il rapporto incrementale h->0-, che quindi dovrebbe appartenere al ramo $x>=0$ vada invece ad usare la funzione del ramo $-4<=x<0$ per scrivere $f(x_0)$ nel numeratore.
Grazie ancora
Buona serata
[size=150][EDIT][/size]
Torno a scrivere perché mi è vento in mente che avevo un altro dubbio non risolto sempre per funzioni definite per rami e sulla derivabilità. Avevo già aperto una domanda ma è rimasta irrisolta, vorrei tanto poter capire e colmare il mio dubbio perché finché non capirò mi si ripresenterà sicuramente.
In questa tipologia di funzioni
$f(x)={(3x if x≠0),(2x if x=0):}$
come dicevamo per calcolare il rapporto incrementale si usa $lim_(h->0) (f(x_0+h)-f(x_0))/h=3$
- Dove al numeratore in $f(x_0+h)$ sostituisco i valori nella funzione per x≠0
- E per scrivere $f(x_0)$ uso la funzione costante definita per x=0
Direi che ci siamo.
Il mio problema nasce in esercizi del tipo
$f(x)={(a*sqrt(x+4)-6 if -4<=x<0),(ln(bx+1)+2b if x>=0):}$
- Dopo aver studiato la continuità e trovato i paramenti (che non riporto perché non è qui che risiede il dubbio) passa allo studio del rapporto incrementale nel punto x=0 nel caso si trovi nel limite $h->0^+$ in $f(x+h)$ mette ovviamente i valori della funzione (corrispondente al caso $x>=0$) incrementata e in $f(x_0)$ il valore trovato sostituento ad x il valore 0 in $ln(bx+1)+2b$ if $x>=0$. (e per questo punto tutto bene)
- Quel che non capisco è perché invece studiando per $h->0^-$ utilizzi per $f(x_0)$ la funzione $a*sqrt(x+4)-6$ in cui sostituisce 0 (ma zero non è compendiato da quel ramo!). Quindi io mi chiedo: al numeratore del rapporto incrementale non dovrebbe usare $ln(bx+1)+2b$ e sostituirci qui lo zero essendo che $ln(bx+1)+2b$ if $x>=0$ (caso maggiore uguale a zero?). Eppure non fa così!
Cioè mi perplime che per scrivere il rapporto incrementale h->0-, che quindi dovrebbe appartenere al ramo $x>=0$ vada invece ad usare la funzione del ramo $-4<=x<0$ per scrivere $f(x_0)$ nel numeratore.
Grazie ancora
"sgrisolo":
... studiando per $x->h^-$ ...
Ma che roba è ?
Il limite del rapporto incrementale io l'ho sempre visto scritto o così $lim_(x->x_0) (f(x)-f(x_0))/(x-x_0)$ o così $lim_(h->0) (f(x_0+h)-f(x_0))/h$ ma non come lo hai scritto tu ...
Cordialmente, Alex
Sì, perché ho sbagliato a scrivere ed è un refuso, ovviamente è h->0- 
Pardon
Pardon
"sgrisolo":
[...] se io avessi una funzione:
$f(x)={(3x if x≠0),(2x if x=0):}$
[...]
Beh, questa funzione coincide ovunque con $f(x):=3x$, quindi ne ha tutte le proprietà, derivabilità compresa.
Quindi non capisco tutta la sorpresa che provi nello scoprire che $f$ è derivabile.
"sgrisolo":
Torno a scrivere perché mi è vento in mente che avevo un altro dubbio non risolto sempre per funzioni definite per rami e sulla derivabilità.
Le scimmie, gli scoiattoli, i bradipi ed i koala vanno "per rami"; le funzioni, di solito, sono "definite per casi".
"sgrisolo":
Il mio problema nasce in esercizi del tipo
$ f(x)={(a*sqrt(x+4)-6 if -4<=x<0),(ln(bx+1)+2b if x>=0):} $
- Dopo aver studiato la continuità e trovato i paramenti (che non riporto perché non è qui che risiede il dubbio) passa allo studio del rapporto incrementale nel punto x=0 nel caso si trovi nel limite $ h->0^+ $ in $ f(x+h) $ mette ovviamente i valori della funzione (corrispondente al caso $ x>=0 $) incrementata e in $ f(x_0) $ il valore trovato sostituento ad x il valore 0 in $ ln(bx+1)+2b $ if $ x>=0 $. (e per questo punto tutto bene)
- Quel che non capisco è perché invece studiando per $ h->0^- $ utilizzi per $ f(x_0) $ la funzione $ a*sqrt(x+4)-6 $ in cui sostituisce 0 (ma zero non è compendiato da quel ramo!). Quindi io mi chiedo: al numeratore del rapporto incrementale non dovrebbe usare $ ln(bx+1)+2b $ e sostituirci qui lo zero essendo che $ ln(bx+1)+2b $ if $ x>=0 $ (caso maggiore uguale a zero?). Eppure non fa così!
Cioè mi perplime che per scrivere il rapporto incrementale h->0-, che quindi dovrebbe appartenere al ramo $ x>=0 $ vada invece ad usare la funzione del ramo $ -4<=x<0 $ per scrivere $ f(x_0) $ nel numeratore.
La funzione assegnata è continua solo se i parametri $a$ e $b$ soddisfano la relazione di compatibilità:
\[
2a-6 = 2b \qquad \Leftrightarrow \qquad a=b+3\; .
\]
Visto che la continuità è condizione necessaria alla derivabilità, è ovvio che che risolve l'esercizio assume che $f$ sia continua in $0$, ossia che i parametri $a$ e $b$ soddisfino la relazione $a=b+3$; dunque non è importante come si calcola $f(0)$, poiché si ottiene necessariamente lo stesso risultato.
"sgrisolo":
perplime
Dubito che tu fossi nato quando Corrado Guzzanti inventò questo "verbo" in una trasmissione televisiva.
'Perplesso' è un cosiddetto falso participio: non esiste alcun verbo "perplimere" di cui l'aggettivo 'perplesso' è il participio passato.
Grazie per la risposta...
e per le bastonate
e per le bastonate
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