Funzione - dominio
Ho un problema nel trovare la soluzione (es. il dominio ecc) in una funzione..
Es.
$ y = sqrt[(x - 2) / (x^2 - 8x + 15)] $
Sotto radice c'è tutto, sia numeratore che denominatore..
1- visto che è indice pari, ho capito che bisogna porre il radicando sempre maggiore o uguale a zero, perché giustamente non esiste in R un numero negativo che può essere sotto radice, quindi:
$ (x - 2) / (x^2 - 8x + 15) \geq 0 $ (ma questo non è il campo di esistenza o dominio, giusto?)
- N = $x - 2 \geq 0$ ------> $ x \geq 2$
- D = $ x^2 - 8x + 15 > 0$
2- visto che c'è la x al denominatore, bisogna risolvere l'equazione di secondo grado e bisogna porre maggiore di zero oppure diverso da zero? il denominatore non deve essere mai uguale a zero e ok, ma può essere un numero negativo? ;
se al posto di questa ci fosse stato solo per es. $x + 3 $ bastava che imponevo $ x != - 3 $ e questo era il campo di esistenza / dominio, e la funzione era "quasi" terminata, giusto?;
3- risolvendo l'equazione di secondo grado risultano x1 = 5 e x2= 3
4- ma ora come scrivo la soluzione (trovare il dominio)?
La prof ci ha fatto fare come per le disequazioni, cioè sulla linea delle x ha messo 3 e 5 (e il 2 al numeratore???) e ha fatto passare la parabola; soluzione (- oo, 3) U (5, + oo ) ma io non l'ho capita....cioè perché non ha fatto come nel precedente esempio (stessa funzione di equazione, ma invece di indice pari ha messo indice dispari, il 3), in cui ha fatto fare lo schema per trovare le soluzioni comuni, come nelle disequazioni??
Ho spiegato da schifo, ma sono incasinata in queste funzioni....
grazie millle a chi mi aiuterà e scusate le troppe domande..
Es.
$ y = sqrt[(x - 2) / (x^2 - 8x + 15)] $
Sotto radice c'è tutto, sia numeratore che denominatore..
1- visto che è indice pari, ho capito che bisogna porre il radicando sempre maggiore o uguale a zero, perché giustamente non esiste in R un numero negativo che può essere sotto radice, quindi:
$ (x - 2) / (x^2 - 8x + 15) \geq 0 $ (ma questo non è il campo di esistenza o dominio, giusto?)
- N = $x - 2 \geq 0$ ------> $ x \geq 2$
- D = $ x^2 - 8x + 15 > 0$
2- visto che c'è la x al denominatore, bisogna risolvere l'equazione di secondo grado e bisogna porre maggiore di zero oppure diverso da zero? il denominatore non deve essere mai uguale a zero e ok, ma può essere un numero negativo? ;
se al posto di questa ci fosse stato solo per es. $x + 3 $ bastava che imponevo $ x != - 3 $ e questo era il campo di esistenza / dominio, e la funzione era "quasi" terminata, giusto?;
3- risolvendo l'equazione di secondo grado risultano x1 = 5 e x2= 3
4- ma ora come scrivo la soluzione (trovare il dominio)?
La prof ci ha fatto fare come per le disequazioni, cioè sulla linea delle x ha messo 3 e 5 (e il 2 al numeratore???) e ha fatto passare la parabola; soluzione (- oo, 3) U (5, + oo ) ma io non l'ho capita....cioè perché non ha fatto come nel precedente esempio (stessa funzione di equazione, ma invece di indice pari ha messo indice dispari, il 3), in cui ha fatto fare lo schema per trovare le soluzioni comuni, come nelle disequazioni??
Ho spiegato da schifo, ma sono incasinata in queste funzioni....
grazie millle a chi mi aiuterà e scusate le troppe domande..
Risposte
FAI ATTENZIONE.
sono due sistemi,ti viene maggiore e uguale a 0 quando:
numeratore e denominatore sono maggiori o uguali a zero (denominatore no uguale)
oppure,numeratore e denominatore minori di zero(denominatore no uguale)
sono due sistemi,ti viene maggiore e uguale a 0 quando:
numeratore e denominatore sono maggiori o uguali a zero (denominatore no uguale)
oppure,numeratore e denominatore minori di zero(denominatore no uguale)
a me la soluzione del dominio viene:
$ 2leqXleq3 uu Xgeq5 $
$ 2leqXleq3 uu Xgeq5 $
prima cosa,come hai fatto tu,tutto quello sotto alla radicie maggiore e uguale a 0
$ sqrt((x-2)/(x^2-8x+15))geq 0 $
questo è maggiore di 0 quando:
1)numeratore maggiore e uguale a 0 ed denomintore maggiore di 0
2)numeratore minore e uguale a 0 ed denominatore minore di 0
fai i due sistemi li unisci (in questo caso vengono uguali) e trovi il dominio
$ sqrt((x-2)/(x^2-8x+15))geq 0 $
questo è maggiore di 0 quando:
1)numeratore maggiore e uguale a 0 ed denomintore maggiore di 0
2)numeratore minore e uguale a 0 ed denominatore minore di 0
fai i due sistemi li unisci (in questo caso vengono uguali) e trovi il dominio
ma il radicando non bisogna metterlo magggiore o uguale a zero solo quando è di indice pari?
Cara Esmeralnda, hai un po' di confusione in testa.
Innanzitutto la risposta alla tua ultima domanda è sì: nel caso di radice con indice dispari non bisogna porre condizioni sul radicando.
Analizzando la funzione da te riportata dovresti provare a ragionare come segue:
a) osserva innanzitutto che ci troviamo di fronte alla radice quadrata di una funzione fratta, dobbiamo quindi preoccuparci di due cose: l'esistenza della radice e l'esistenza della funzione fratta.
b) come hai giustamente detto tu, per garantire l'esistenza della radice, bisogna porre il radicando maggiore o uguale di zero, quindi $(x-2)/(x^2-8x+15)>=0$;
a questo punto studia il segno del numeratore e del denominatore del radicando, e ottieni che esso è maggiore o uguale di zero quando $ 2 <= x <= 3 U x>=5$ (bada bene che avendo il maggiore uguale sono inclusi anche gli estremi).
c) a questo punto preoccupiamo dell'esistenza della funzione fratta: l'unica condizione da imporre è che il denominatore sia diverso da zero, quindi: $x^2-8x+15 != 0$ che risulta $x!=3,5$.
d) la soluzione finale è quindi semplicemente $2 <= x < 3 U x>5$, ovvero abbiamo tolto i casi (x=3 e x=5) in cui la funzione fratta assumerebbe denominatore uguale a 0 dalle condizioni di esistenza della radice.
Spero ti sia chiaro, ciao !
Innanzitutto la risposta alla tua ultima domanda è sì: nel caso di radice con indice dispari non bisogna porre condizioni sul radicando.
Analizzando la funzione da te riportata dovresti provare a ragionare come segue:
a) osserva innanzitutto che ci troviamo di fronte alla radice quadrata di una funzione fratta, dobbiamo quindi preoccuparci di due cose: l'esistenza della radice e l'esistenza della funzione fratta.
b) come hai giustamente detto tu, per garantire l'esistenza della radice, bisogna porre il radicando maggiore o uguale di zero, quindi $(x-2)/(x^2-8x+15)>=0$;
a questo punto studia il segno del numeratore e del denominatore del radicando, e ottieni che esso è maggiore o uguale di zero quando $ 2 <= x <= 3 U x>=5$ (bada bene che avendo il maggiore uguale sono inclusi anche gli estremi).
c) a questo punto preoccupiamo dell'esistenza della funzione fratta: l'unica condizione da imporre è che il denominatore sia diverso da zero, quindi: $x^2-8x+15 != 0$ che risulta $x!=3,5$.
d) la soluzione finale è quindi semplicemente $2 <= x < 3 U x>5$, ovvero abbiamo tolto i casi (x=3 e x=5) in cui la funzione fratta assumerebbe denominatore uguale a 0 dalle condizioni di esistenza della radice.
Spero ti sia chiaro, ciao !
Quindi la soluzione può essere scritta anche:
$ { x in RR | x != 3 , x != 5} $ ?
$ { x in RR | x != 3 , x != 5} $ ?
no,la soluzione è compresa tra 2 e 3 (diverso da 2) e maggiore di 5.
come scrivi tu è totalmente diverso
come scrivi tu è totalmente diverso
"Evisu86":
c) a questo punto preoccupiamo dell'esistenza della funzione fratta: l'unica condizione da imporre è che il denominatore sia diverso da zero, quindi: $x^2-8x+15 != 0$
Salve,
è possibile tralasciare quella condizione considerando che $x^2-8x+15>0$ (denominatore) esclude già lo 0 o è formalmente incorretto?
Grazie, ciao!
esatto,se ragioni un pò lo escludi direttamente dal denominatore,è la stessa cosa
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