Funzione continua e discontinua
Salve! Ho un bel pò di dubbi sulle funzioni continue e discontinue, quindi avrei qualche domandina da farvi:
1) Un funzione si dice continua nel punto x = c quando:
- esiste il valore della funzione per x = c;
- il limite destro e sinistro coincidono;
- il limite l è uguale a f(c)
Analizziamo i 3 punti:
- esiste il valore della funzione per x = c vuole dire semplicemente che se sostituisco ad x il valore di c, la funzione deve esistere? Quindi considerando una funzione del genere $ y = (x + 2) / (x - 1) $ per x = 1 la funzione non esiste, mentre per x diverso da 1 la funzione esiste. Di conseguenza la funzione in punto c (diverso da 1) è continua. Giusto?
- limite destro e sinistro che coincidino l'ho capito;
- il limite l è uguale a f(c) invece che vuol dire? Potreste farmi gentilmente qualche esempio perchè non riesco a capirlo.
2) Funzione discontinua. Il modo di procedere quale sarebbe? Consideriamo per esempio questa funzione:
$ y = (x^2 - 4) / (x^2 - x - 2) $ . Voglio vedere per quali punti esiste una funzione discontinua di I, II o III specie. Per prima cosa devo calcolare il C.E. o posso subito scomporre? Perchè se calcolo immediatamente il C.E. esso è per x diverso da 2 e - 1. Nel caso in cui io scomponga invece quella frazione si riduce in $ (x + 2) / (x + 1) $. E qui il C.E è soltanto per x diverso da -1.
Vi ringrazio anticipatamente.
Saluti
1) Un funzione si dice continua nel punto x = c quando:
- esiste il valore della funzione per x = c;
- il limite destro e sinistro coincidono;
- il limite l è uguale a f(c)
Analizziamo i 3 punti:
- esiste il valore della funzione per x = c vuole dire semplicemente che se sostituisco ad x il valore di c, la funzione deve esistere? Quindi considerando una funzione del genere $ y = (x + 2) / (x - 1) $ per x = 1 la funzione non esiste, mentre per x diverso da 1 la funzione esiste. Di conseguenza la funzione in punto c (diverso da 1) è continua. Giusto?
- limite destro e sinistro che coincidino l'ho capito;
- il limite l è uguale a f(c) invece che vuol dire? Potreste farmi gentilmente qualche esempio perchè non riesco a capirlo.
2) Funzione discontinua. Il modo di procedere quale sarebbe? Consideriamo per esempio questa funzione:
$ y = (x^2 - 4) / (x^2 - x - 2) $ . Voglio vedere per quali punti esiste una funzione discontinua di I, II o III specie. Per prima cosa devo calcolare il C.E. o posso subito scomporre? Perchè se calcolo immediatamente il C.E. esso è per x diverso da 2 e - 1. Nel caso in cui io scomponga invece quella frazione si riduce in $ (x + 2) / (x + 1) $. E qui il C.E è soltanto per x diverso da -1.
Vi ringrazio anticipatamente.
Saluti
Risposte
"MauroX":
$ y = (x^2 - 4) / (x^2 - x - 2) $
Il dominio $D$ della funzione è $x \ne 2$, $x \ne -1$.
Hai visto poi che la tua funzione, per $x \in D$ può essere
scritta più semplicemente come
$y = (x+2)/(x+1)$
ma il dominio della funzione resta $D$.
Lo so che te dirai che $x=2$ ora fa parte del dominio, ma in realtà per $x=2$
la tua funzione iniziale non è definita e quindi nemmeno una sua semplificazione.
Quello che scoprirai è che la tua funzione è prolungabile per $x=2$.
Ok!
Tra l'altro ho rivisto meglio gli esercizi e credo proprio di averli capiti. Rimane però il fatto che non capisco cosa significhe che il limite l è uguale a f(c).
Tra l'altro ho rivisto meglio gli esercizi e credo proprio di averli capiti. Rimane però il fatto che non capisco cosa significhe che il limite l è uguale a f(c).
Ciao,
una funzione $f : D -> RR$ si dice continua in un punto $x_0$ se esiste finito il $lim_{x -> x_0} f(x) = f(x_0)$.
Questo significa che se $f(x_0) = l$ , con $l in RR$, allora $f$ si dice continua se $lim_{x -> x_0} f(x) = l$.
E' chiaro che calcolare un limite ha senso soltanto se il punto in considerazione è un punto di accumulazione per la funzione.
E' quindi evidente che la continuità di una funzione si studia per i punti in cui la funzione non è definita (dove è definita che senso ha? è ovvio che il limite è uguale al valore della funzione nel punto).
Mi spiego meglio.
Prendiamo sempre $y = {x^2 - 4} / {x^2 - x - 2}$ .
Chiedersi per esempio se tale funzione è continua in $x=0$ non ha senso perchè è ovvio che $lim_{x->0}{x^2 - 4} / {x^2 - x - 2} = 2 = f(0)$.
E' invece interessante chiedersi se la funzione è continua per esempio nel punto $x=2$.
Si ha $lim_{x->2}{x^2 - 4} / {x^2 - x - 2} = 4/3 = l $.
La funzione però per $x=2$ non è definita.
Si dice quindi che $f$ è continua per $x=2$ se poniamo $f(2) = 4 /3 = l$.
In questo modo $lim_{x -> x_0} f(x) = l = f(x_0)$ (nell'esempio $x_0 = 2$).
Spero di essere stato chiaro.
Per qualsiasi cosa contattami.
Alessio Sabelli
Studente di Matematica.
Visita il mio sito internet : www.sabelli87.altervista.org
una funzione $f : D -> RR$ si dice continua in un punto $x_0$ se esiste finito il $lim_{x -> x_0} f(x) = f(x_0)$.
Questo significa che se $f(x_0) = l$ , con $l in RR$, allora $f$ si dice continua se $lim_{x -> x_0} f(x) = l$.
E' chiaro che calcolare un limite ha senso soltanto se il punto in considerazione è un punto di accumulazione per la funzione.
E' quindi evidente che la continuità di una funzione si studia per i punti in cui la funzione non è definita (dove è definita che senso ha? è ovvio che il limite è uguale al valore della funzione nel punto).
Mi spiego meglio.
Prendiamo sempre $y = {x^2 - 4} / {x^2 - x - 2}$ .
Chiedersi per esempio se tale funzione è continua in $x=0$ non ha senso perchè è ovvio che $lim_{x->0}{x^2 - 4} / {x^2 - x - 2} = 2 = f(0)$.
E' invece interessante chiedersi se la funzione è continua per esempio nel punto $x=2$.
Si ha $lim_{x->2}{x^2 - 4} / {x^2 - x - 2} = 4/3 = l $.
La funzione però per $x=2$ non è definita.
Si dice quindi che $f$ è continua per $x=2$ se poniamo $f(2) = 4 /3 = l$.
In questo modo $lim_{x -> x_0} f(x) = l = f(x_0)$ (nell'esempio $x_0 = 2$).
Spero di essere stato chiaro.
Per qualsiasi cosa contattami.
Alessio Sabelli
Studente di Matematica.
Visita il mio sito internet : www.sabelli87.altervista.org
"AlessiettoRM_87":
Ciao,
una funzione $f : D -> RR$ si dice continua in un punto $x_0$ se esiste finito il $lim_{x -> x_0} f(x) = f(x_0)$.
(...)
E' quindi evidente che la continuità di una funzione si studia per i punti in cui la funzione non è definita (dove è definita che senso ha? è ovvio che il limite è uguale al valore della funzione nel punto).
Mi dispiace ma ciò che dici non è affatto vero per tutte le funzioni.
Prendi ad esempio la semplicissima funzione $H:RR\to RR$ definita da
$H(x)={(1\ \ se\ x\geq0),(0\ \ se\ x<0):}
Beh, $H$ è definita in $0$, ma non è affatto vero che $H$ è continua in $0$!
Tieni conto che, secondo la definizione che hai dato (che è giusta), non ha senso sapere se una funzione è continua o meno in un punto $x_0$ se esso non appartiene al dominio, perchè non puoi sapere se $\lim_{x\to x_0}f(x)=f(x_0)$ in quanto non conosci $f(x_0)$!
Piuttosto in questo caso si distinguono i casi di prima, seconda, terza specie, quella roba là...
Spero di non aver detto bestialità...
Saluti!
Si l'esempio di @cirasa è giustissimo e lo si può fare con qualsiasi funzione a tratti. Lì potresti avere problemi di questo tipo!
Ad esempio:
$f(x)={(3x+5\ \ se\ x\geq1),(7x-3\ \ se\ x<1):}
Ad esempio:
$f(x)={(3x+5\ \ se\ x\geq1),(7x-3\ \ se\ x<1):}
Accolgo l'obiezione di @cirasa.
Infatti il ragionamento si basa sulle funzioni NON definite a tratti, ma definite con la stessa forma per tutto l'asse reale.
E' ovvio che una funzione definita a tratti può ammettere punti di discontinuità di qualsiasi specie....
Quindi mi scuso per non aver precisato questa cosa ma ripeto che il mio ragionamento si basava sulle funzioni NON definite a tratti.
Ciao
Alessio.
www.sabelli87.altervista.org
Infatti il ragionamento si basa sulle funzioni NON definite a tratti, ma definite con la stessa forma per tutto l'asse reale.
E' ovvio che una funzione definita a tratti può ammettere punti di discontinuità di qualsiasi specie....
Quindi mi scuso per non aver precisato questa cosa ma ripeto che il mio ragionamento si basava sulle funzioni NON definite a tratti.
Ciao
Alessio.
www.sabelli87.altervista.org
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