Funzione con radice e valore assoluto: ricerca asintoto orizzontale

[SergeiDragunov]

La funzione è: $sqrt(x^2-1)-|x|+1$

In entrambi i casi ($x->+-oo$) si ha una f.i. $oo-oo$ con risultato $1$.

Per cercare di eliminare la forma indeterminata ho pensato di razionalizzare applicando: $sqrt(A)+-B(sqrt(A)+-B)/(sqrt(A)+-B)$

Con $x->+oo$ il limite della funzione diventa: $lim_(x->+oo) sqrt(x^2-1)-x+1$
Svolgimento:

Metto un $-$in evidenza a $-x+1$ per poi razionalizzare:

=$lim_(x->+oo)((sqrt(x^2-1)-(x-1))(sqrt(x^2-1)+(x-1)))/(sqrt(x^2-1)+(x-1))$

=$lim_(x->+oo)(x^2-1+(x-1)sqrt(x^2-1)-(x-1)sqrt(x^2-1)-(x-1)^2)/(sqrt(x^2-1)+(x-1))$

=$lim_(x->+oo)(x^2-1-(x^2+1-2x))/(sqrt(x^2-1)+(x+1))$

=$lim_(x->+oo)(2x-2)/(sqrt(x^2-1)+(x-1))$

=$lim_(x->+oo)(2x-2)/(x(sqrt(1-1/x^2)+1-1/x))$

=$lim_(x->+oo)(2x-2)/(2x) =1$

Con $x->-oo$ il limite della funzione diventa: $lim_(x->-oo) sqrt(x^2-1)+x+1$
Procedendo allo stesso modo di prima non ottengo il risultato corretto. Posto comunque il mio svolgimento:

Metto un $+$in evidenza a $x+1$ per poi razionalizzare:

=$lim_(x->-oo) ((sqrt(x^2-1)+(x+1))(sqrt(x^2-1)-(x+1)))/(sqrt(x^2-1)-(x+1))$

=$lim_(x->-oo) (x^2-1-(x+1)sqrt(x^2-1)+(x+1)sqrt(x^2-1)-(x+1)^2)/(sqrt(x^2-1)-(x+1))$

=$lim_(x->-oo) (x^2-1-(x^2+1+2x))/(sqrt(x^2-1)-(x+1))$

=$lim_(x->-oo) (-2-2x)/(sqrt(x^2-1)-x-1)$

=$lim_(x->-oo) (-2-2x)/(x(sqrt(1-1/x^2)-1-1/x))$

=$(+oo)/(-oo*0)$ ...

[teorema55]

Non scartabello lo svolgimento (a quest'ora, poi……………) ma posso assicurarti che il risultato è corretto:

$\lim_ (x->+-∞)f(x)=1$

Di conseguenza la tua funzione, che è tutta $0<=f(x)<1$ (uguale a 1 all'infinito), ha asintoto orizzontale

$y=1$

Senza il valore assoluto, l'andamento della funzione è grosso modo questo



quando x è positivo, e questo



quando x è negativo. Ricordiamo che per $-1
Considerando il valore assoluto, f(x) assume l'andamento (1) per x (ovviamente positivo) che tende a più infinito, e viceversa l'andamento (2) per x che tende a meno infinito. Il grafico della $f(x)$ con il valore assoluto assumerà questo andamento:



dove sono evidenti l'esistenza e la posizione dell'asintoto.

[@melia]

L'errore è quando, portando fuori dalla radice quadrata $x^2$ non metti il valore assoluto, fino a
$lim_(x->-oo) (-2-2x)/(sqrt(x^2-1)-x-1)$ è corretto, ma poi dovresti proseguire con

$lim_(x->-oo) (-2-2x)/((|x|sqrt(1-1/x^2)-1-1/x))=lim_(x->-oo) (-2-2x)/(-x(sqrt(1-1/x^2)+1+1/x))$ che, semplificando, diventa

$lim_(x->-oo) (2+2/x)/(sqrt(1-1/x^2)+1+1/x)=1$