Funzione composta con arcsin(x)
"Date le seguenti funzioni,
$ f(x) = arcsin(x) $
$ g(x) = x^2 - 2 $
trova la funzione composta $ f @ g $ e determinane il dominio"
Faccio parecchia difficoltà a determinare il dominio di funzioni goniometriche composte.
Prendendo questo esempio, i domini sono:
$ Dom[(f(x)]: [-1;1] $
$ Dom[(g(x)]: R $
Quindi, che procedimento 'meccanico' devo fare per trovare il dominio della funzione composta $ f @ g = arcsin(x^2-2) $ ?
So che il suo dominio è costituito dai soli valori di x per i quali la composizione funzionale ha senso, cioè se il valore di $ f(x) $ appartiene al dominio della funzione $ g(x) $ .
Devo porre a sistema?
Il risultato è $ [-root()(3);-1]uu [1, root()(3)] $ .
$ f(x) = arcsin(x) $
$ g(x) = x^2 - 2 $
trova la funzione composta $ f @ g $ e determinane il dominio"
Faccio parecchia difficoltà a determinare il dominio di funzioni goniometriche composte.
Prendendo questo esempio, i domini sono:
$ Dom[(f(x)]: [-1;1] $
$ Dom[(g(x)]: R $
Quindi, che procedimento 'meccanico' devo fare per trovare il dominio della funzione composta $ f @ g = arcsin(x^2-2) $ ?
So che il suo dominio è costituito dai soli valori di x per i quali la composizione funzionale ha senso, cioè se il valore di $ f(x) $ appartiene al dominio della funzione $ g(x) $ .
Devo porre a sistema?
Il risultato è $ [-root()(3);-1]uu [1, root()(3)] $ .
Risposte
se sai calcolare tutti i domini possibili e tutte le disequazioni possibili, hai finito.
1. trova esplicitamente la funzione composta
2. questa è una funzione come tante altre, calcolane il dominio.
per questa in particolare il dominio (essendo un arcoseno) è dato dalle soluzioni di $-1<=x^2-2<=1$ che è equivalente al sistema
1. trova esplicitamente la funzione composta
2. questa è una funzione come tante altre, calcolane il dominio.
per questa in particolare il dominio (essendo un arcoseno) è dato dalle soluzioni di $-1<=x^2-2<=1$ che è equivalente al sistema
\( \begin{cases} x^2-2\geq -1 \\ x^2-2\leq 1 \end{cases} \)
Grazie mille!!!
Quindi, nel caso in cui una funzione composta abbia come dominio tutti i numeri reali, il suo dominio è determinato dai "problemi di definizione" delle funzioni che la compongono?
Per esempio, prese
$ f(x) = arcsin(x) $ (edit: è $ arctan(x) $ )
$ g(x) = log(x-pi ) $
La funzione composta
$ f @ g = arcsin (log(x-pi)) $ (edit: è $ arctan(log(x-pi)) $ )
avrebbe come dominio tutti i reali (essendo un arcotangente) ma considero il dominio della funzione $ g(x) $ e quindi risulta:
$ Dom (pi; +oo) $ ?
Quindi, nel caso in cui una funzione composta abbia come dominio tutti i numeri reali, il suo dominio è determinato dai "problemi di definizione" delle funzioni che la compongono?
Per esempio, prese
$ f(x) = arcsin(x) $ (edit: è $ arctan(x) $ )
$ g(x) = log(x-pi ) $
La funzione composta
$ f @ g = arcsin (log(x-pi)) $ (edit: è $ arctan(log(x-pi)) $ )
avrebbe come dominio tutti i reali (essendo un arcotangente) ma considero il dominio della funzione $ g(x) $ e quindi risulta:
$ Dom (pi; +oo) $ ?
se l'arcoseno che hai scritto era un errore di battitura e la funzione era l'arcotangente allora si, è corretto.
se invece ottenessi proprio quella funzione il dominio sarebbe dato dalle soluzioni del sistema
se invece ottenessi proprio quella funzione il dominio sarebbe dato dalle soluzioni del sistema
\( \begin{cases} -1\leq \log(x-\pi)\leq1 \\ x-\pi>0 \end{cases} \)
Si, era l'arcotangente 
Grazie mille, ancora!
Grazie mille, ancora!
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