Funzione
l'altro giorno mi stavo rompendo assai durante l'ora di italiano così ho deciso di inventare una funzione e studiarla... il problema è che mi sono fermato allo studio del segno 
qualcuno mi aiuta?
y=(lnx)^x
grazie
qualcuno mi aiuta?y=(lnx)^x
grazie
Risposte
Dunque è proprio una convenzione,introdotta per semplificare le cose, dire che f(x)^g(x) è definita solo per f(x) > 0.
Con tutte le "critiche" che la parola convenzione aveva ricevuto ,mi avevate fatto venire qualche dubbio...
Camillo
Con tutte le "critiche" che la parola convenzione aveva ricevuto ,mi avevate fatto venire qualche dubbio...
Camillo
Si, Camillo, e' una pura convenzione. Come giustamente affermava giacor86, viene troppo scomodo dover studiare per quali valori di x che rendono negativa la base, la potenza assume comunque significato. Per cui si conviene di restringere il dominio all'insieme dove la base e' positiva.
Luca Lussardi
http://www.llussardi.it
Luca Lussardi
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a me cmq questa convenzione mi pare un po' "antimatematica".. non trovate?
quote:
Originally posted by giacor86
a me cmq questa convenzione mi pare un po' "antimatematica".. non trovate?
No perche'?
una cosa è scomoda e difficile quindi la si elimina... bah...
Se si volesse considerare la funzione esponenziale anche per a < 0, allora come tu stesso dici , varrebbe solo per alcuni valori di x(gli interi,1/3,1/5 etc ma non 1/2,1/4 etc).
Si tratterebbe quindi di punti isolati : una funzione patologica insomma.
La convenzione che è stata adottata mi sembra ragionevole; non riesco a comprendere le ragioni per cui tu non sei d'accordo.
Perchè non le spieghi ?
Camillo
Si tratterebbe quindi di punti isolati : una funzione patologica insomma.
La convenzione che è stata adottata mi sembra ragionevole; non riesco a comprendere le ragioni per cui tu non sei d'accordo.
Perchè non le spieghi ?
Camillo
nono sono daccordo che sarebbe difficile, scomodo, rognoso etc etc... ma ecco.. non mi sembra un atteggiamento matematico quello di dire: se una cosa è difficile e patologica allora la eliminiamo.... tutto qui [:D]
Non e' che la cosa e' difficile. Solo non ha proprieta' interessanti il definire la potenza anche a base negativa. Pensa alle operazioni analitiche, quali passaggio al limite o derivazione. Difficilmente risultano applicabili a cose del genere. Per carita', sei liberissimo di definire le potenze dove vuoi tu (in Matematica puoi fare tutto quello che vuoi, basta che sia corretto) ma poi bisogna vedere se ci fai qualcosa di interessante con cose cosi' brutte.
Luca Lussardi
http://www.llussardi.it
Luca Lussardi
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Non e' che si elimina una cosa. Semplicemente si dice siccome il 99% delle volte che scrivo:
y(x) = f(x)^g(x)
voglio poi intendere che questo e' valido per f(x)>0 dico semplicemente: dove non specificato il dominio e' contenuto in { f(x)>0 }. E' solo una comodita' di scrittura.
y(x) = f(x)^g(x)
voglio poi intendere che questo e' valido per f(x)>0 dico semplicemente: dove non specificato il dominio e' contenuto in { f(x)>0 }. E' solo una comodita' di scrittura.
se io chiedessi ad un matematico straforte di disegnarmi la f esponenziale con base negativa, che forma avrebbe? è possibile programmare un software che me la disegni?
Non credo che si possa disegnare. Infatti i valori per cui essa sarebbe reale per x appartenente a un insieme di misura nulla.
Al computer sarebbe ancora peggio visto il modo in cui il computer rappresenta i numeri: due numeri molto vicini si "fondono" in un unico numero agli occhi del PC spesso un numero diverso da entrambi i precedenti. Una funzione come "l'esponenziale negativo" plottato su R e' troppo discontinuo perche' la rappresentazione grafica del computer abbia un qualche significato: basta spostarsi di quel poco che e' l'errore della macchina da un punto per uscire da R o viceversa.
E' un po' come la famosa funzione che vale 1 se x e' razionale e 0 se x e' irrazionale...
Al computer sarebbe ancora peggio visto il modo in cui il computer rappresenta i numeri: due numeri molto vicini si "fondono" in un unico numero agli occhi del PC spesso un numero diverso da entrambi i precedenti. Una funzione come "l'esponenziale negativo" plottato su R e' troppo discontinuo perche' la rappresentazione grafica del computer abbia un qualche significato: basta spostarsi di quel poco che e' l'errore della macchina da un punto per uscire da R o viceversa.
E' un po' come la famosa funzione che vale 1 se x e' razionale e 0 se x e' irrazionale...
quote:
se io chiedessi ad un matematico straforte di disegnarmi la f esponenziale con base negativa, che forma avrebbe? è possibile programmare un software che me la disegni? [giacor86]
prendiamo ad es. -2^x:
secondo me è l'esponenziale che disegneresti tu ignorando queste importantissime distinzioni (cioè il simmetrico rispetto all'asse x di +2^x), però ... punteggiato, cioè a tratto non continuo; tutto qui.
come, d'altronde la
" ... famosa funzione che vale 1 se x e' razionale e 0 se x e' irrazionale... " citata da david_e è la coppia di parallele y=0 e y=1 punteggiate alternativamente.
tony
*** CORREZIONE A POSTERIORI ***
il testo precedente non dichiara esplicitamente una cosa importante:
il diagramma di (-2)^x è a punti sia sull'esponenziale positivo che su quello negativo, analogamente a quello della coppia di parallele y=0 e y=1 !
(ma con "qualche" punto in meno, direi)
Peccato che il numero di punti di ciascuna delle due parallele e' infinito non numerabile in ogni intervallo.....
già, peccato.
L'insieme dei numeri razionali è infinito ma numerabile; non è numerabile quello dei numeri reali.
La retta punteggiata y=1 ha infiniti punti ma è un infinito numerabile.
Camillo
La retta punteggiata y=1 ha infiniti punti ma è un infinito numerabile.
Camillo
torno alla mia risposta sul (-2)^x, che ho rettificato, perchè lasciava credere che il diagramma fosse una sola punteggiata di forma esponenziale, anzichè due simmetriche.
nel problema "y = 1 se x è razionale, 0 altrimenti" è chiaro (per definizione) quali sono i punti sull'una e sull'altra delle due linee.
nel problema y=(-2)^x la distinzione è meno facile; si riesce a sintetizzarla?
(io mi confondo: x=3 va "sotto" x=4, "sopra"; x = n/2 con n dispari è un buco, x=e anche, etc, etc, ... mi perdo; qualcuno aiuta?)
tony
nel problema "y = 1 se x è razionale, 0 altrimenti" è chiaro (per definizione) quali sono i punti sull'una e sull'altra delle due linee.
nel problema y=(-2)^x la distinzione è meno facile; si riesce a sintetizzarla?
(io mi confondo: x=3 va "sotto" x=4, "sopra"; x = n/2 con n dispari è un buco, x=e anche, etc, etc, ... mi perdo; qualcuno aiuta?)
tony
sarà
tutti gli x irrazionali buco
tutti gli x = m/n con m ed n primi fra loro, n pari ed m dispari buco
tutti gli x = m/n con m ed n primi fra loro, n dispari ed m pari puntino sopra
tutti gli x = m/n con m ed n primi fra loro, n dispari ed m dispari puntino sotto
tutti gli x interi pari puntino sopra
tutti gli x interi dispari puntino sotto
e lo 0??????????? farà sempre 1?
tutti gli x irrazionali buco
tutti gli x = m/n con m ed n primi fra loro, n pari ed m dispari buco
tutti gli x = m/n con m ed n primi fra loro, n dispari ed m pari puntino sopra
tutti gli x = m/n con m ed n primi fra loro, n dispari ed m dispari puntino sotto
tutti gli x interi pari puntino sopra
tutti gli x interi dispari puntino sotto
e lo 0??????????? farà sempre 1?
x Camillo
Si hai ragione. Ho sbagliato
Si hai ragione. Ho sbagliato
La discussione aperta da giacor 86 con la ‘funzione’ da lui ideata durante l’ora dedicata al Manzoni e a Leopardi [autori che evidentemente favoriscono l’inventiva matematica…] è veramente interessante e degna di essere un poco approfondita, anche se per certi aspetti comporta conoscenze che normalmente gli studenti delle medie e superiori ancora non hanno…
Vediamo innanzitutto di dire due parole in generale su di una espressione del tipo…
h(x) = f(x)^g(x) (1)
… con f(x) e g(x) funzioni in sulle quali non poniamo particolari vincoli e che supponiamo definite, salvo non diversamente specificato, per ogni x per ogni x reale. In base ad una proprietà fondamentale delle funzioni esponenziali la [1] può essere scritta come…
h(x) = e^ [g(x) * ln[f(x)]] (2)
Osservando la [2] e ricordando un’altra proprietà fondamentale della funzione esponenziale, vale a dire quella di essere definita univocamente per ogni valore , reale o complesso, dell’esponente, si conclude immediatamente che per ogni x per la quale sia g(x) sia ln[f(x)] sono definite anche h(x) è definita. Per quello però che riguarda i valori di x per i quali è f(x)=0, bisogna dire che questo è un caso in cui è necessario uno studio particolare…
Il problema che sorge quando f(x) assume valori <0 è dovuto alle particolari proprietà della funzione logaritmo. Dato infatti un qualunque numero z, in generale complesso [composto cioè di parte reale e parte immaginaria…] e diverso da 0 + j*0, esso può essere scritto nella forma…
z= r*e^j*phi (3)
… in cui r è chiamato ‘modulo’ e phi ‘argomento’. Nel caso particolare z=x [ovvero che z sia reale…] sarà…
x= |x|*e^j*phi (4)
… in cui phi= 2*k*pi con k intero qualunque per x>0 e phi= pi+2*k*pi con k intero qualunque per x<0. Passando al logaritmo si avrà duqnue…
ln(x) = ln(|x|) + j*2*k*pi (5)
per x>0 e…
ln(x)= ln(|x|) + j*(2*k+1)*pi (6)
per x<0, con k intero qualunque in entrambi i casi. Il grafico della funzione ln(x) [in nero la parte reale in rosso la parte immaginaria… ] è mostrato nella figura seguente…
Come ben si può vedere la funzione logaritmo assume in realtà [nel piano complesso…] infiniti valori, uno per ogni valore di k che compare nelle (5) e (6). In altre parole la funzione logaritmo è una funzione polidroma. Per ovviare a questo inconveniente si è diffusa l’abitudine di definire il suo valore principale, ossia il valore assunto per k=0. Adottando questa definizione vediamo un poco di studiare la funzione che ad un certo punto è stata suggerita da qualcuno [lasciando al lettore il piacere di studiare quella originariamente proposta, h(x)= ln(x)^x…] , vale a dire…
h(x)= (-2)^x (7)
Applicando la formula (2) si trova immediatamente…
h(x)= e^[x*ln(-2)] = e^x[ln(2)+j*pi]= 2^x * e^j*pi*x (8)
Se però ora si vuole calcolare l’espressione (-2)^1/3 con la (8) [l’esempio suggerito in precdenza…], chi si apetta aspetta di trovare l’ovvio risultato ‘radice cubica di –2’ resterà… un poco deluso… Il risultato del calcolo utilizzando la (8) è infatti…
h(1/3)= 2^1/3 * e^j*pi/3 = 1,2599 * (.5 + j* .866) (9)
La cosa in realtà non è soprendente in quanto ogni numero [reale o complesso…] ha tre radici cubiche distinte e quella trovata è una delle radidi cubiche di –2. Si sarebbe trovato la radice cubica ‘reale’ di –2, cioè –1,2599…, se si fosse utilizzato nella (6) k=1 in luogo di k=0. Volendo concludere in qualche modo, mi pare ovvio sottolineare che non è esatta l’affermazione che una espressione del tipo f(x)^g(x) è ‘indeterminata’ per valori di x che rendono f(x)<0 [altra ‘forma indeterminata’ quasi che già non ce ne fossero abbastanza in certa matematica insegnata nelle scuole e anche nelle università…]. Come sempre tutto sta nell’impostare adeguate ed esatte definizioni… ed applicarle ovviamente poi in maniera altrettanto esatta…
cordiali saluti
lupo grigio
Vediamo innanzitutto di dire due parole in generale su di una espressione del tipo…
h(x) = f(x)^g(x) (1)
… con f(x) e g(x) funzioni in sulle quali non poniamo particolari vincoli e che supponiamo definite, salvo non diversamente specificato, per ogni x per ogni x reale. In base ad una proprietà fondamentale delle funzioni esponenziali la [1] può essere scritta come…
h(x) = e^ [g(x) * ln[f(x)]] (2)
Osservando la [2] e ricordando un’altra proprietà fondamentale della funzione esponenziale, vale a dire quella di essere definita univocamente per ogni valore , reale o complesso, dell’esponente, si conclude immediatamente che per ogni x per la quale sia g(x) sia ln[f(x)] sono definite anche h(x) è definita. Per quello però che riguarda i valori di x per i quali è f(x)=0, bisogna dire che questo è un caso in cui è necessario uno studio particolare…
Il problema che sorge quando f(x) assume valori <0 è dovuto alle particolari proprietà della funzione logaritmo. Dato infatti un qualunque numero z, in generale complesso [composto cioè di parte reale e parte immaginaria…] e diverso da 0 + j*0, esso può essere scritto nella forma…
z= r*e^j*phi (3)
… in cui r è chiamato ‘modulo’ e phi ‘argomento’. Nel caso particolare z=x [ovvero che z sia reale…] sarà…
x= |x|*e^j*phi (4)
… in cui phi= 2*k*pi con k intero qualunque per x>0 e phi= pi+2*k*pi con k intero qualunque per x<0. Passando al logaritmo si avrà duqnue…
ln(x) = ln(|x|) + j*2*k*pi (5)
per x>0 e…
ln(x)= ln(|x|) + j*(2*k+1)*pi (6)
per x<0, con k intero qualunque in entrambi i casi. Il grafico della funzione ln(x) [in nero la parte reale in rosso la parte immaginaria… ] è mostrato nella figura seguente…
Come ben si può vedere la funzione logaritmo assume in realtà [nel piano complesso…] infiniti valori, uno per ogni valore di k che compare nelle (5) e (6). In altre parole la funzione logaritmo è una funzione polidroma. Per ovviare a questo inconveniente si è diffusa l’abitudine di definire il suo valore principale, ossia il valore assunto per k=0. Adottando questa definizione vediamo un poco di studiare la funzione che ad un certo punto è stata suggerita da qualcuno [lasciando al lettore il piacere di studiare quella originariamente proposta, h(x)= ln(x)^x…] , vale a dire…
h(x)= (-2)^x (7)
Applicando la formula (2) si trova immediatamente…
h(x)= e^[x*ln(-2)] = e^x[ln(2)+j*pi]= 2^x * e^j*pi*x (8)
Se però ora si vuole calcolare l’espressione (-2)^1/3 con la (8) [l’esempio suggerito in precdenza…], chi si apetta aspetta di trovare l’ovvio risultato ‘radice cubica di –2’ resterà… un poco deluso… Il risultato del calcolo utilizzando la (8) è infatti…
h(1/3)= 2^1/3 * e^j*pi/3 = 1,2599 * (.5 + j* .866) (9)
La cosa in realtà non è soprendente in quanto ogni numero [reale o complesso…] ha tre radici cubiche distinte e quella trovata è una delle radidi cubiche di –2. Si sarebbe trovato la radice cubica ‘reale’ di –2, cioè –1,2599…, se si fosse utilizzato nella (6) k=1 in luogo di k=0. Volendo concludere in qualche modo, mi pare ovvio sottolineare che non è esatta l’affermazione che una espressione del tipo f(x)^g(x) è ‘indeterminata’ per valori di x che rendono f(x)<0 [altra ‘forma indeterminata’ quasi che già non ce ne fossero abbastanza in certa matematica insegnata nelle scuole e anche nelle università…]. Come sempre tutto sta nell’impostare adeguate ed esatte definizioni… ed applicarle ovviamente poi in maniera altrettanto esatta…
cordiali saluti
lupo grigio
diciamo che sono riuscito a seguire fino a z= r*e^j*phi, però grazie e sono contento che ti abbia interessessato questo mio topic [:D]
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