Frazioni algebriche

[elliot1]

Salve,
vorrei sottoporvi un esercizio che non riesco a svolgere:

$ (\frac{1+x^{-1}}{x^{-1}}:\frac{x^{-1}}{x+x^{-1}-1}-1)*\frac{(x^2+x)^-1}{x^2-x+1}+x$
$(\frac{1+x^{-1}}{x^{-1}}*\frac{x+x^{-1}-1}{x-1}-1)*\frac{x^{-2}+x^{-1}}{x^2-x+1}+x$
$(\frac{x+x^{-1}-1+1+x^{-2}-x^-1}{x^{-2}}-1)*\frac{x^{-2}+x^{-1}}{x^2-x+1}+x$
$\frac{x+x^{-2}-x^{-2}}{x^{-2}}*\frac{x^{-2}+x^{-1}}{x^2-x+1}+x$
-----
$\frac{x^{-1}+1}{1-x^{-1}+x^{-2}}+x$
$\frac{x^{-1}+1+x(1-x^{-1}+x^{-2})}{1-x^{-1}+x^{-2}} $
.....

questo è il mio risultato:
$\frac{2x^{-1}+x}{1-x^{-1}+x^{-2}}$

il risultato del libro è il seguente:

$\frac{x(x^3+x+1)}{x^3+1}$

davvero non capisco dove sbaglio

Grazie a tutti per ogni eventale aiuto

[minomic]

Ciao, il primo errore che noto è che hai riscritto $(x^2 + x)^(-1)$ come $x^(-2)+x^(-1)$ mentre questo è (generalmente) falso. Invece puoi dire $$
\left(x^2+x\right)^{-1} = \frac{1}{x^2+x}
$$

[giammaria2]

Concordo con la correzione fatta da minomic.
Io avrei preferito togliermi subito dai piedi gli esponenti negativi e e il metodo più semplice per farlo è moltiplicare numeratori e denominatori per $x$ (non nell'ultima frazione). Oppure, trasformando contemporaneamente il diviso in per, puoi iniziare così:
$=((1+1/x)/(1/x)*(x+1/x-1)/(1/x)-1)*(1/(x^2+x))/(x^2-x+1)+x=$
$=((x+1)/x*x/1*(x^2+1-x)/x*x/1-1)*1/(x^2+x)*1/(x^2-x+1)+x=...$

[elliot1]

Grazie, di seguito il corretto svolgimento dell'esercizio sulla base delle vostre prezione indicazioni.


$(\frac{1+x^{-1}}{x^{-1}}:\frac{x^{-1}}{x+x^{-1}-1}-1)*\frac{(x^2+x)^{-1}}{x^2-x+1}+x$

$(\frac{1+\frac{1}{x}}{\frac{1}{x}}*\frac{x+\frac{1}{x}-1}{\frac{1}{x}}-1)*\frac{\frac{1}{x^2+x}}{x^2-x+1}+x$

$(\frac{\frac{x+1}{x}}{\frac{1}{x}}*\frac{\frac{x^2+1-x}{x}}{\frac{1}{x}}-1)*\frac{1}{x^2+2}*\frac{1}{x^2-x+1}+x$

.........

$[(x+1)*(x^2+1-x)-1]*\frac{1}{x^4-x^2+x}+x$

$\frac{x^3}{x^4+x}+x$

$\frac{x^3+x(x^4+x)}{x^4+x}$

.......

$\frac{x(x^3+x+1)}{x^3+1}$

Tuttavia non capisco perchè, se $x^{-2} = \frac{1}{x^2}$, i due procedimenti producono risultati diversi, ma questo è un mio limite che spero di superare presto.

Ancora grazie.
elliot

[giammaria2]

"elliot":Tuttavia non capisco perchè, se $x^{-2} = \frac{1}{x^2}$, i due procedimenti producono risultati diversi, ma questo è un mio limite che spero di superare presto.

Perché l'elevazione a potenza è distributiva rispetto al prodotto, ma non alla somma. Ti faccio due esempi: è giusto scrivere $(ab)^2=a^2b^2$ mentre è sbagliato $(a+b)^2=a^2+b^2$. Idem con esponente $-1$.
Puoi anche verificarlo direttamente sulla tua formula: se $x=2$
$(x^2+x)^(-1)=(2^2+2)^(-1)=(4+2)^-1=6^(-1)=1/6$

mentre $x^(-2)+x^(-1)=2^-2+2^-1=1/2^2+1/2=1/4+1/2=3/4$

[elliot1]

Chiarissimo, grazie Giammaria!
elliot