Formule di bisezione e duplicazione e geometria

[ale.tzunny]

Mi potete aiutare con questo es che non riesco proprio...
Calcola sin(beta) e cos(beta) sapendo che cos(alpha)=1/4
La figura è un triangolo isoscele con gli angoli alla base uguali(alpha) e l'angolo al vertice(beta)

[mc2]

[math]2\alpha+\beta=\pi\\
\beta=\pi-2\alpha\\
[/math]

[math]\cos\alpha=\frac{1}{4}\\
\sin\alpha=\sqrt{1-\cos^2\alpha}=\dots\\
\cos 2\alpha=\cos^2\alpha-\sin^2\alpha=\dots\\
\sin 2\alpha=2\sin\alpha\cos\alpha=\dots\\
[/math]

[math]\sin\beta=\sin(\pi-2\alpha)=\sin 2\alpha\\
\cos\beta=\dots
[/math]

[Anthrax606]

Ciao!
Conoscendo il coseno dell’angolo alla base, puoi calcolarne anche il suo seno attraverso la prima relazione della goniometria (per velocità chiamo x l’angolo):

[math]sinx=\sqrt{1-cos^2x}=\sqrt{1-\frac{1}{16}}=\frac{\sqrt{15}}{4}[/math]

.

A questo punto, l’angolo al vertice (che chiamo y) si ottiene

[math]y=180°-2x[/math]

, quindi dobbiamo andarci a ricavare il

[math]sin(y)=sin(180-2x)[/math]

e il

[math]cos(y)=cos(180-2x)[/math]

. A questo punto, applicando gli archi associati possiamo riscrivere il tutto come:

[math]sin(180-2x)=sin2x[/math]

e

[math]cos(180-2x)=-cos2x[/math]

. Ora, applichi le formule di duplicazione per ricavarti le incognite del problema:

[math]sin2x=2sinx \cdot cosx=2 \frac{\sqrt{15}}{4} \cdot \frac{1}{4}=\frac{\sqrt{15}}{8}[/math]

e

[math]-cos2x=sin^2x-cos^2x=\frac{15}{16}-\frac{1}{16}=\frac{7}{8}[/math]

.