Formula trigonometrica

[Carminep12]

Buonasera, non riesco a capire la seguente relazione (utilizzata dal prof) quale sia (se ha un nome o una classe di appartenenza) e come si possa dimostrare. Vi sarei grato se qualcuno di voi potesse darmi una dritta. Vi ringrazio in anticipo. La formula in questione è:

a cos x + b sen x = K cos (x-a), dove x e a sono angoli.

[21zuclo]

"Carmine12":
a cos x + b sen x = K cos (x-a), dove x e a sono angoli.

per essere sicuri, è questo quello che hai scritto?

$ \alpha cos(x)+bsin(x)=K\cos(x-\alpha) $

[giammaria2]

Posto $K=sqrt(a^2+b^2)$, allora $a/K,b/K$ sono due numeri tali che la somma dei loro quadrati è $1$; possono quindi essere pensati come seno e coseno di uno stesso angolo $alpha$. Quindi abbiamo
$a/K=cos alpha hArr a=K cos alpha" "$ e $" "b/K=sin alpha hArr b=K sin alpha$
e sostituendoli nella formula otteniamo
$acos x+b sin x=K cos alpha cos x+K sin alpha sin x=Kcos(x-alpha)$

Altro discorso è dire quanto vale $alpha$ e per ora non me ne sembra il caso. Si tratta però di una formula abbastanza importante e mi stupisce che il professore l'abbia utilizzata senza spiegazioni, ma probabilmente pensava che la conosceste già. Se sei ancora nelle medie superiori, chiedi a lui come trovare $alpha$; altrimenti chiedilo qui.

[Carminep12]

Chiedo scusa, la formula è: a cos (x) + b sen (x) = K cos (x-y). In ogni caso, sono uno studente universitario e, purtroppo, non ho reminiscenze relative a tale formula. Se puoi dirmi come trovare l'angolo e quanto vale te ne sarei grato. Purtroppo non riesco a trovare questa formula da nessuna parte, non capisco perché. La stiamo utilizzando in elettrotecnica, ma è mio solito voler capire da dove certe relazioni derivino, quindi mi piacerebbe sapere come si può dimostrare e il valore dell'angolo y. Vi ringrazio. In ogni caso grazie per la dimostrazione Gianmaria, sei stato gentilissimo.

[Vidocq]

Dalla formula di sottrazione del coseno.

$\text{K}\cos(x-y)=\text{K}[\cos(x)\cos(y)+\sin(x)\sin(y)]$

Da:

$ \text{a}\cos(x) + \text{b}\sin(x)$

e
$[\text{K}(\cos(y)]\cos(x)+[\text{K}\sin(y)]\sin(x)$

Segue:

$\text{a}=\text{K}\cos(y)$
$\text{b}=\text{K}\sin(y)$

[giammaria2]

"Carmine12": mi piacerebbe sapere come si può dimostrare e il valore dell'angolo y.

Partiamo da
${(a=Kcosy),(b=Ksiny):}$
Quadrando e sommando ottieni $a^2+b^2=K^2$, da cui ricavi $K$ (scegliendo la soluzione positiva). Dividendo membro a membro hai invece
$b/a=tan y$
da cui ricavi $y$. Ci sono però infinite soluzioni ed anche trascurando i multipli di $2pi$ (che non ci interessano) ce ne sono due. Devi scegliere quella giusta e per farlo noti che $a$ ha lo stesso segno del coseno, quindi scegli la soluzione in cui l'angolo ha il coseno di quel segno. Puoi anche ragionare sul segno del seno (che è quello di $b$).

Sui testi di trigonometria, questo argomento è spesso introdotto parlando dei metodi per risolvere le equazioni di primo grado in seno e coseno; molti lo chiamano metodo dell'angolo aggiunto.

Un'ultima cosa: invece di partire dalle formule con cui ho iniziato qui, avremmo potuto iniziare con
${(a=Ksiny),(b=Kcosy):}$
e poi ragionare in modo analogo. Avremmo trovato
$acosx+bsinx=Ksinycosx+Kcosysinx=Ksin(x+y)$
Si sceglie il ragionamento preferito, stabilendo inizialmente se vogliamo ottenere un seno o un coseno.

[Carminep12]

Grazie mille per le risposte esaustive!!