Forma implicita di un fascio di rette
Buongiorno
Avrei qualche dubbio sulla forma implicita di un fascio di rette
Allora so che date due rette ad esempio
$2x-y-6=0$
$3/7x-y+5=0$
si ottiene l'equazione del fascio di rette mettendo le due rette a sistema, moltiplicando una delle due per $k$ e sommando membro a membro (oppure sottraendo).
Con questo metodo si ottiene
$(2-3/7k)x+(k-1)y+6-5k=0$
Però se volessi ad esempio moltiplicare l'equazione della seconda retta per 7 (e togliermi denominatori) otterrei un'equazione equivalente che sarebbe
$(2+3k)x-(1+7k)y-35k-6=0$
Ma ottengo un 'equazione diversa!!! Ma allora qual è quella del fascio di rette????
Un altro dubbio... Dopo aver trovato l'equazione del fascio come posso essere sicuro se tale fascio indica un fascio proprio o improprio??? Non potrebbe indicare anche un insieme di rette a caso del piano?
Grazie per le risposte
Avrei qualche dubbio sulla forma implicita di un fascio di rette
Allora so che date due rette ad esempio
$2x-y-6=0$
$3/7x-y+5=0$
si ottiene l'equazione del fascio di rette mettendo le due rette a sistema, moltiplicando una delle due per $k$ e sommando membro a membro (oppure sottraendo).
Con questo metodo si ottiene
$(2-3/7k)x+(k-1)y+6-5k=0$
Però se volessi ad esempio moltiplicare l'equazione della seconda retta per 7 (e togliermi denominatori) otterrei un'equazione equivalente che sarebbe
$(2+3k)x-(1+7k)y-35k-6=0$
Ma ottengo un 'equazione diversa!!! Ma allora qual è quella del fascio di rette????
Un altro dubbio... Dopo aver trovato l'equazione del fascio come posso essere sicuro se tale fascio indica un fascio proprio o improprio??? Non potrebbe indicare anche un insieme di rette a caso del piano?
Grazie per le risposte
Risposte
Non è diversa!! Ricordati che tutto varia in funzione di $k$..
Scusa forse non ho capito... Come fanno ad essere uguali? Non sono equazioni equivalenti. Se ad esempio $k=1$ ottengo equazioni di rette diverse.
Preferisco trattare le equazioni delle rette in forma esplicita. Le tue sono
$y=2x-6$
e
$y=3/7 x +5$
Il tuo procedimento è corretto: le metti a sistema e ottieni prima di tutto il punto di intersezione $P(7, 8)$ (le rette non sono parallele avendo diverso coefficiente angolare). Poi, sempre nel sistema, moltiplichi per $k$ la più semplice delle due e poi, sommando membro a membro, ottieni
$y=(2k+3)/(k+7) x - (6k-35)/(k+7)$
Questa è l'equazione del fascio proprio di rette. La verifica? Vedrai che tutte passano per $P(7, 8)$ e cambiano direzione a seconda del valore di $k$.
Eccotene una immagine:
https://ggbm.at/fBQXkYg7
Puoi avere sbagliato un calcolo, oppure anche il tuo risultato è corretto ma scritto in altra forma, non ho controllato ed ora non ho il tempo di farlo.
PS: Controllato: hai toppato i calcoli alla grande, rifalli!
Ciao.
Marco
$y=2x-6$
e
$y=3/7 x +5$
Il tuo procedimento è corretto: le metti a sistema e ottieni prima di tutto il punto di intersezione $P(7, 8)$ (le rette non sono parallele avendo diverso coefficiente angolare). Poi, sempre nel sistema, moltiplichi per $k$ la più semplice delle due e poi, sommando membro a membro, ottieni
$y=(2k+3)/(k+7) x - (6k-35)/(k+7)$
Questa è l'equazione del fascio proprio di rette. La verifica? Vedrai che tutte passano per $P(7, 8)$ e cambiano direzione a seconda del valore di $k$.
Eccotene una immagine:
https://ggbm.at/fBQXkYg7
Puoi avere sbagliato un calcolo, oppure anche il tuo risultato è corretto ma scritto in altra forma, non ho controllato ed ora non ho il tempo di farlo.
PS: Controllato: hai toppato i calcoli alla grande, rifalli!
Ciao.
Marco
Grazie
Non so come mi siano uscite quelle equazioni. Le avevo controllato e pensavo fossero pure giuste
Grazie ancora
Non so come mi siano uscite quelle equazioni. Le avevo controllato e pensavo fossero pure giuste
Grazie ancora
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