Forma algebrica della tangente di un numero complesso
Mi sto esercitando sui numeri complessi, e un esercizio chiede di trovare la FORMA ALGEBRICA del numero complesso tan z, definito nel seguente modo:
tan z = sin z/cos z = (e^iz-e^-iz)/2i : (e^iz+e^-iz) = (e^iz-e^-iz)/i(e^iz+e^-iz)
nel libro non c'è il risultato. Potreste risolvermi questo esercizio per vedere se lo faccio giusto? Ripeto, occorre trovare la FORMA ALGEBRICA di tan z, per intenderci bisogna calcolarci la parte reale e immaginaria.
Si assuma z = x+iy
Grazie mille anticipate per l'aiuto
Aggiunto 42 secondi più tardi:
Ehi prof!!! Ci siete ?! :)
Aggiunto 6 ore 45 minuti più tardi:
scusate se rompo ma è per far tornare il mio quesito in cima altrimenti temo che sia dimenticato...:(
Dai prof ho fiducia in voi!
tan z = sin z/cos z = (e^iz-e^-iz)/2i : (e^iz+e^-iz) = (e^iz-e^-iz)/i(e^iz+e^-iz)
nel libro non c'è il risultato. Potreste risolvermi questo esercizio per vedere se lo faccio giusto? Ripeto, occorre trovare la FORMA ALGEBRICA di tan z, per intenderci bisogna calcolarci la parte reale e immaginaria.
Si assuma z = x+iy
Grazie mille anticipate per l'aiuto
Aggiunto 42 secondi più tardi:
Ehi prof!!! Ci siete ?! :)
Aggiunto 6 ore 45 minuti più tardi:
scusate se rompo ma è per far tornare il mio quesito in cima altrimenti temo che sia dimenticato...:(
Dai prof ho fiducia in voi!
Risposte
Ciao, io non so risolvere il problema, ma ti ricordo di usare il linguaggio latex.
Il topic è in cima a questa sezione.
E tranquillo, presto i nostri cari cervelloni ti risponderanno :)
Abbi pazienza e fiducia.. :)
Il topic è in cima a questa sezione.
E tranquillo, presto i nostri cari cervelloni ti risponderanno :)
Abbi pazienza e fiducia.. :)
dalla forma in esponenziali sostituisci z = x + jy.
se non ho sbagliato i conti ottieni una cosa di questo tipo:
da qui sostituisci all'esponenziale complesso la forma trigonometrica associata (e^(jx) = cos(x) + jsen(x)). fatto questo basta che stai attento alla forma del denominatore, che sarà del tipo: a + jb. per far andare via la j basta moltiplicare numeratore e denominatore per (a - jb), e hai fatto
se non ho sbagliato i conti ottieni una cosa di questo tipo:
[math] \frac 1j \; \frac{e^{jx}e^{-y} - e^{-jx}e^y}{e^{jx}e^{-y} + e^{-jx}e^y} [/math]
da qui sostituisci all'esponenziale complesso la forma trigonometrica associata (e^(jx) = cos(x) + jsen(x)). fatto questo basta che stai attento alla forma del denominatore, che sarà del tipo: a + jb. per far andare via la j basta moltiplicare numeratore e denominatore per (a - jb), e hai fatto
il procedimento lo so ma vorrei controllare se mi viene giusto quindi mi potresti cortesemente scrivere proprio il risultato?
Aggiunto 1 ore 46 minuti più tardi:
Purtroppo nel libro non c'è...
Aggiunto 1 ore 46 minuti più tardi:
Purtroppo nel libro non c'è...
troppo lungo.. posta il tuo, usa http://imageshack.us se non riesci ad inserire l'allegato. oppure scrivi in latex (guarda la guida sul primo topic della sezione).
quando ho tempo te lo controllo (o se non io qualcun'altro)
quando ho tempo te lo controllo (o se non io qualcun'altro)
glockem....:(
Aggiunto 46 minuti più tardi:
va bene ci riprovo...
Aggiunto 1 ore 21 minuti più tardi:
sicuramente sarà la formula del lotto...io almeno ci ho provato...vi prego di dirmi se è giusto...
Aggiunto 46 minuti più tardi:
va bene ci riprovo...
Aggiunto 1 ore 21 minuti più tardi:
sicuramente sarà la formula del lotto...io almeno ci ho provato...vi prego di dirmi se è giusto...
[math] \tan{z} = \frac{\sin{2x}+e^{-y}\sin{2x}+i(2\cos{2x}-e^{-2y}-e^{2y})}{e^{-2y}\cos{4x}-2\cos{x}+e^{2y}} [/math]
Può essere, ma sono troppo stanco per fare i conti. Te lo dico domani! :asd
Credo che questo sia una comunità meravigliosa...in confidenza
Aggiunto 14 ore 37 minuti più tardi:
Adesso che conosco La Tex (almeno penso) mi sento abbastanza maturo per postare qui tutto il procedimento. Mi rivolgo ai geni universitari della room: Vi prego, correggetemelo!
Sia z = x+iy, con x,y reali; iz = ix-y; -iz=-ix+y. Sostituendo questi valori alla formula della tangente di z, con z complesso, avremo:
Per la formula di Eulero, che vede e^ix = cos x + i sin x, possiamo scrivere:
Aggiunto 5 minuti più tardi:
La doppia frazione del numeratore e del denominatore si può togliere nel seguente modo:
Aggiunto 3 minuti più tardi:
il denominatore cos^2x-i^2sin^2x è uguale alla formula fondamentale cos^2x+sin^2x=1, e quindi si può elidere. Si ottiene così la seguente:
Aggiunto 8 minuti più tardi:
scogliendo le parentesi:
Aggiunto 4 minuti più tardi:
Aggiunto 7 minuti più tardi:
Abbiamo ottenuto una frazione in cui il denominatore è in forma algebrica. Non ci rimane che moltiplicare sia num che per la seguente quantità:
Aggiunto 12 minuti più tardi:
teoricamente si otterrebbe qualcosa di questo genere:
Aggiunto 18 minuti più tardi:
isolando i termini con la i:
Aggiunto 9 minuti più tardi:
Aggiunto 9 minuti più tardi:
Aggiunto 14 ore 37 minuti più tardi:
Adesso che conosco La Tex (almeno penso) mi sento abbastanza maturo per postare qui tutto il procedimento. Mi rivolgo ai geni universitari della room: Vi prego, correggetemelo!
Sia z = x+iy, con x,y reali; iz = ix-y; -iz=-ix+y. Sostituendo questi valori alla formula della tangente di z, con z complesso, avremo:
[math] \tan{z}=\frac{e^{iz}-e^{-iz}}{i(e^{iz}+e^{-iz})}=\frac{e^{ix-y}-e^{-ix+y}}{i(e^{ix-y}+e^{-ix+y})} [/math]
Per la formula di Eulero, che vede e^ix = cos x + i sin x, possiamo scrivere:
[math] \frac{1}{i}\frac{e^{-y}(\cos{x}+i\sin{x})-\frac{e^y}{\cos{x}+i\sin{x}}}{e^{-y}(\cos{x}+i\sin{x})-\frac{e^y}{\cos{x}+i\sin{x})}}[/math]
Aggiunto 5 minuti più tardi:
La doppia frazione del numeratore e del denominatore si può togliere nel seguente modo:
[math] \frac{1}{i}\frac{e^{-y}(\cos{x}+i\sin{x})-\frac{e^y(\cos{x}-i\sin{x})}{cos^2x-i^2sin^2x}}{e^{-y}(\cos{x}+i\sin{x})+\frac{e^y(\cos{x}-i\sin{x})}{cos^2x-i^2sin^2x}}[/math]
Aggiunto 3 minuti più tardi:
il denominatore cos^2x-i^2sin^2x è uguale alla formula fondamentale cos^2x+sin^2x=1, e quindi si può elidere. Si ottiene così la seguente:
[math]\frac{1}{i}\frac{e^{-y}(\cos{x}+i\sin{x})-e^y(\cos{x}-i\sin{x})}{e^{-y}(\cos{x}+i\sin{x})+e^y(\cos{x}-i\sin{x})}[/math]
Aggiunto 8 minuti più tardi:
scogliendo le parentesi:
[math]\frac{1}{i}\frac{e^{-y}\cos{x}+ie^{-y}\sin{x}-e^y\cos{x}+ie^y\sin{x}}{e^{-y}\cos{x}+ie^{-y}\sin{x}+e^y\cos{x}-ie^y\sin{x}}=\\\frac{1}{i}\frac{\cos{x}(e^{-y}-e^y)+i\sin{x}(e^{-y}+e^y)}{\cos{x}(e^{-y}+e^y)+i\sin{x}(e^{-y}-e^y)}[/math]
Aggiunto 4 minuti più tardi:
[math] \frac{-i\cos{x}(e^{-y}-e^y)+\sin{x}(e^{-y}+e^y)}{\cos{x}(e^{-y}+e^y)+i\sin{x}(e^{-y}-e^y)}[/math]
Aggiunto 7 minuti più tardi:
Abbiamo ottenuto una frazione in cui il denominatore è in forma algebrica. Non ci rimane che moltiplicare sia num che per la seguente quantità:
[math] \frac{[-i\cos{x}(e^{-y}-e^y)+\sin{x}(e^{-y}+e^y)][\cos{x}(e^{-y}+e^y)-i\sin{x}(e^{-y}-e^y)]}{\cos^2{x}(e^{-y}+e^y)^2+\sin^2{x}(e^{-y}-e^y)^2}[/math]
Aggiunto 12 minuti più tardi:
teoricamente si otterrebbe qualcosa di questo genere:
[math]\frac{-i\cos^2{x}(e^{-2y}-e^{2y})-\cos{x}\sin{x}(e^{-y}-e^y)^2+\sin{x}\cos{x}(e^{-y}+e^y)^2-i\sin^2{x}(e^{-2y}-e^{2y})}{\cos^2{x}(e^{-y}+e^y)^2+\sin^2{x}(e^{-y}-e^y)^2}[/math]
Aggiunto 18 minuti più tardi:
isolando i termini con la i:
[math]\frac{\cos{x}\sin{x}[(e^{-y}+e^y)^2(e^{-y}-e^y)^2]-i(e^{-2y}-e^{2y})(\cos^2{x}+\sin^2{x)}}{\cos^2{x}(e^{-y}+e^y)^2+\sin^2{x}(e^{-y}-e^y)^2}[/math]
Aggiunto 9 minuti più tardi:
[math]\frac{\cos{x}\sin{x}[(e^{-2y}+e^{2y}+2)(e^{-2y}+e^{2y}-2)]-i(e^{-2y}-e^{2y})}{cos^2{x}(e^{-2y}+e^{2y}+2)+\sin^2{x}(e^{-2y}+e^{2y}-2)[/math]
Aggiunto 9 minuti più tardi:
[math]\cos{x}\sin{x}[e^{-4y}-2e^{-2y}+e^{4y}+2e^{-2y}-2]CONTINUA DOPO...[/math]
pare tutto giusto fino a dove hai isolato la parte immaginaria da quella reale al numeratore (terzultima espressione), quindi direi che va bene.
il resto sono normali prodotti, ma non è necessario farli
suggerimento per il futuro:
il resto sono normali prodotti, ma non è necessario farli
# Newton_1372 :
[math] \tan{z}=\frac{e^{iz}-e^{-iz}}{i(e^{iz}+e^{-iz})}=\frac{e^{ix-y}-e^{-ix+y}}{i(e^{ix-y}+e^{-ix+y})} [/math]
Per la formula di Eulero, che vede e^ix = cos x + i sin x, possiamo scrivere:
[math] \frac{1}{i}\frac{e^{-y}(\cos{x}+i\sin{x})-\frac{e^y}{\cos{x}+i\sin{x}}}{e^{-y}(\cos{x}+i\sin{x})-\frac{e^y}{\cos{x}+i\sin{x})}}[/math]
Aggiunto 5 minuti più tardi:
La doppia frazione del numeratore e del denominatore si può togliere nel seguente modo: [...]
suggerimento per il futuro:
[math] e^{-jx} \left( = \frac {1}{e^{jx}} \right) = e^{j(-x)} = \cos x - j \sin x [/math]
ok mi secca a postare ulteriori passaggi, vi metto la soluazione vorrei sapere solo se è giusta...
allora è giusta o no?!!!!!
PS...Sono già pronto per lo champagne
Aggiunto 1 ore 2 minuti più tardi:
allora lo stappo sto champagne o no?!
Aggiunto 2 ore 49 minuti più tardi:
eHI VI PREGO LO CHAMPAGNE mi si scade così!
[math] \tan{z}=\frac{\cos{x}\sin{x}(e^{-4y}+e^{4y})-\sin{2x}-i(e^{-2y}-e^{2y})}{e^{-2y}+e^{2y}+2\cos{2x}}[/math]
allora è giusta o no?!!!!!
PS...Sono già pronto per lo champagne
Aggiunto 1 ore 2 minuti più tardi:
allora lo stappo sto champagne o no?!
Aggiunto 2 ore 49 minuti più tardi:
eHI VI PREGO LO CHAMPAGNE mi si scade così!
Mmmmmmm......
a me viene così:
Se ora
e quindi
In fin dei conti mi sembra la stessa cosa.
Aggiunto 40 secondi più tardi:
No, forse il tuo numeratore è diverso!
a me viene così:
[math]\tan z=\frac{e^{iz}-e^{-iz}}{i(e^{iz}+e^{-iz})}=-i\cdot\frac{e^{2iz}-1}{e^{2iz}+1}[/math]
.Se ora
[math]z=x+iy[/math]
si ha[math]e^{2i(x+iy)}=e^{-2y+2ix}=e^{-2y}\cdot e^{2ix}[/math]
e quindi
[math]\tan z=-i\cdot\frac{e^{-2y}\cdot e^{2ix}-1}{e^{-2y}\cdot e^{2ix}+1}=
-i\cdot\frac{e^{2ix}-e^{2y}}{e^{2ix}+e^{2y}}=\\
=-i\cdot\frac{(e^{2ix}-e^{2y})(e^{-2ix}+e^{2y})}{(e^{2ix}+e^{2y})(e^{-2ix}+e^{2y})}=-i\cdot\frac{1+e^{2y}(e^{2ix}-e^{-2ix})-e^{4y}}{1+e^{2y}(e^{2ix}+e^{2ix})+e^{4y}}=\\
=-i\cdot\frac{1+2i e^{2y}\sin(2x)-e^{4y}}{1+2e^{2y}\cos(2x)+e^{4y}}=
\frac{2e^{2y}\sin(2x)+i(e^{4y}-1)}{1+2e^{2y}\cos(2x)+e^{4y}}[/math]
-i\cdot\frac{e^{2ix}-e^{2y}}{e^{2ix}+e^{2y}}=\\
=-i\cdot\frac{(e^{2ix}-e^{2y})(e^{-2ix}+e^{2y})}{(e^{2ix}+e^{2y})(e^{-2ix}+e^{2y})}=-i\cdot\frac{1+e^{2y}(e^{2ix}-e^{-2ix})-e^{4y}}{1+e^{2y}(e^{2ix}+e^{2ix})+e^{4y}}=\\
=-i\cdot\frac{1+2i e^{2y}\sin(2x)-e^{4y}}{1+2e^{2y}\cos(2x)+e^{4y}}=
\frac{2e^{2y}\sin(2x)+i(e^{4y}-1)}{1+2e^{2y}\cos(2x)+e^{4y}}[/math]
In fin dei conti mi sembra la stessa cosa.
Aggiunto 40 secondi più tardi:
No, forse il tuo numeratore è diverso!
a me viene così:
Chiedo scusa...ma..che hai combinato? voglio aver fede che questo passaggio sia corretto, ma mi spiegheresti per favore come hai fatto?!
Aggiunto 5 minuti più tardi:
AH ORA HO CAPITO TUTTO!!!!!:) Cioè...quasi tutto! hai messo in evidenza e^-z...adesso ci provo io...
Aggiunto 7 ore 59 minuti più tardi:
CE L'HO FATTAAAAAAAAAAAAAAAAA!!!!! GRAZIE A TUTTI!!!!!!!
ehi Ciampax...ma mettere tutto in evidenza è così fondamentale per giungere alla soluazione esatta?!
[math]\tan z=\frac{e^{iz}-e^{-iz}}{i(e^{iz}+e^{-iz})}=[-i\cdot\frac{e^{2iz}-1}{e^{2iz}+1}]???[/math]
.Chiedo scusa...ma..che hai combinato? voglio aver fede che questo passaggio sia corretto, ma mi spiegheresti per favore come hai fatto?!
Aggiunto 5 minuti più tardi:
AH ORA HO CAPITO TUTTO!!!!!:) Cioè...quasi tutto! hai messo in evidenza e^-z...adesso ci provo io...
Aggiunto 7 ore 59 minuti più tardi:
CE L'HO FATTAAAAAAAAAAAAAAAAA!!!!! GRAZIE A TUTTI!!!!!!!
ehi Ciampax...ma mettere tutto in evidenza è così fondamentale per giungere alla soluazione esatta?!
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