Fisica
Una fune di massa trascurabile scavalca un mozzo di legno di raggio r, in modo da poter sollevare dal suolo un oggetto molto pesante di peso P.
Il coefficente di attrito radente radente fra fune e mozzo è u.Dimostare che la forza minima F per sollevare il carico è:
F=P*e^(pi*u)
_
/ O \
| |
| |
| F
___
| P |
-------------
Il coefficente di attrito radente radente fra fune e mozzo è u.Dimostare che la forza minima F per sollevare il carico è:
F=P*e^(pi*u)
Risposte
Ho gia' studiato un problema simile e ti riporto la mia soluzione
(di cui non garantisco l'esattezza!).
Consideriamo una rotazione infinitesima del mozzo di ampiezza da che porta il generico punto di contatto tra fune e mozzo
da A a B.Ora la tensione in A e' T mentre quella in B e'
(a meno di infinitesimi di ordine superiore) T+dT e quindi
la componente tangenziale di detta tensione e' dT.La componente normale e' invece T*da in quanto (vedi figura) si puo' considerare
come un arco di raggio T ed ampiezza da;la forza di attrito
( che e' notoriamente proporzionale proprio alla componente
normale) sara' dFa=uT*da.Per l'equilibrio deve essere dT=uT*da
Risolvendo questa equazione differenziale
rispetto a T si trae che T=To*e^(u*pi) dove l'integrazione e' fatta
sul mezzo giro di contatto effettivo tra fune e mozzo e To e'la
tensione iniziale a mozzo fermo e dunque uguale a P.
Si conclude che la forza minima richiesta e' appena superiore
a P*e^(u*pi)[a rigori quindi una forza minima definita non c'e'
ma piuttosto tutto un intervallo di forze poco diverse tra loro
per ognuna delle quali puo' avere inizio il movimento].
Ciao.
Archimede ti faccio i miei complimenti ma mi hai scatenato una grande crisi di inferiorità!!!
Io ho frequentato la quarta liceo e non avrei mai saputo dimostrare quell'equazione e dubito che il prossimo anno, sebbene con l'ausilio del calcolo differenziale, riuscirei a farlo. Nel mio libro di fisica (halliday) si incontra spesso qualche problema dove è richiesto il calcolo differenziale ed io sono riuscito sempre a risolverlo poichè si tratta di semplici calcoli con le derivate o con gli integrali che io ho studiato per conto mio; ma un esercizio del genere non mi era mai capitato, sai consigliarmi qualche testo dove trovare teoria o esercizi riguardanti applicazioni come queste del calcolo differenziale alla fisica? grazie
Io ho frequentato la quarta liceo e non avrei mai saputo dimostrare quell'equazione e dubito che il prossimo anno, sebbene con l'ausilio del calcolo differenziale, riuscirei a farlo. Nel mio libro di fisica (halliday) si incontra spesso qualche problema dove è richiesto il calcolo differenziale ed io sono riuscito sempre a risolverlo poichè si tratta di semplici calcoli con le derivate o con gli integrali che io ho studiato per conto mio; ma un esercizio del genere non mi era mai capitato, sai consigliarmi qualche testo dove trovare teoria o esercizi riguardanti applicazioni come queste del calcolo differenziale alla fisica? grazie
Non conosco testi di matematica specifici per la fisica.
D'altra parte ,se non si vuole andare troppo in la',un buon
testo per i licei "PNI" o "BROCCA" ti puo' andar bene per
il momento (mi pare che in quinta si studino anche elementi
di teoria delle equazioni differenziali).
Ti ringrazio per i complimenti ma l'equazione del problema
era veramente poca cosa;infatti da dT=u*T*da si ottiene
che dT/T=u*da ed integrando su a da 0 a pi si ha:
ln(T)-ln(To)=u*pi da cui appunto T=To*e^(u*pi).
Ciao
D'altra parte ,se non si vuole andare troppo in la',un buon
testo per i licei "PNI" o "BROCCA" ti puo' andar bene per
il momento (mi pare che in quinta si studino anche elementi
di teoria delle equazioni differenziali).
Ti ringrazio per i complimenti ma l'equazione del problema
era veramente poca cosa;infatti da dT=u*T*da si ottiene
che dT/T=u*da ed integrando su a da 0 a pi si ha:
ln(T)-ln(To)=u*pi da cui appunto T=To*e^(u*pi).
Ciao
Stavolta l'esercizio riguarda la Rotazione della Terra.In sintensi il problema è questo:
Un filo a piombo situato a latitudine L non cade lungo la verticale(ovvero verso il centro della Terra) ma è deviato di un certo angolo x.Trovare x!
La mia soluzione è questa:
Il filo ruota intorno all'asse descrivendo un orbita circolare di raggio R*cosL dove R è il raggio della Terra.In un sistema di riferimento solidale con la Terra il filo è soggetto alla forza peso diretta radialmente verso il centro della Terra e la forza centrifuga che si manifesta come conseguenza della traiettoria circolare.La forza risultante che fornisce il peso apparente del filo forma con la forza peso un certo angolo, che è appunto l'amgolo di deviazione x(ci vorrebbe la figura!).
Per il teorema dei seni:
F(c)/senx = P/sen(180-L-x)
dove F(c)=m*w^2*(RcosL)=m*4pi^2*RcosL/T^2
senx=x (l'angolo x di deviazione è abbastanza piccolo)
P=Mg
sen(180-L-x) = sen(L+x) = senL (x è trascurabile rispetto a L)
Dopo alcuni calcoli si ricava:
x=2pi^2*sen(2L)/T^2
che è appunto il risultato del libro!Ciò che non mi convince sono le approssimazioni scritte in neretto.Mi pare eccessivo introdurre approssimazioni in un esercizio come questo.Qualcuno ha altre soluzioni al problema(sempre che questa sia giusta)?
Un filo a piombo situato a latitudine L non cade lungo la verticale(ovvero verso il centro della Terra) ma è deviato di un certo angolo x.Trovare x!
La mia soluzione è questa:
Il filo ruota intorno all'asse descrivendo un orbita circolare di raggio R*cosL dove R è il raggio della Terra.In un sistema di riferimento solidale con la Terra il filo è soggetto alla forza peso diretta radialmente verso il centro della Terra e la forza centrifuga che si manifesta come conseguenza della traiettoria circolare.La forza risultante che fornisce il peso apparente del filo forma con la forza peso un certo angolo, che è appunto l'amgolo di deviazione x(ci vorrebbe la figura!).
Per il teorema dei seni:
F(c)/senx = P/sen(180-L-x)
dove F(c)=m*w^2*(RcosL)=m*4pi^2*RcosL/T^2
senx=x (l'angolo x di deviazione è abbastanza piccolo)
P=Mg
sen(180-L-x) = sen(L+x) = senL (x è trascurabile rispetto a L)
Dopo alcuni calcoli si ricava:
x=2pi^2*sen(2L)/T^2
che è appunto il risultato del libro!Ciò che non mi convince sono le approssimazioni scritte in neretto.Mi pare eccessivo introdurre approssimazioni in un esercizio come questo.Qualcuno ha altre soluzioni al problema(sempre che questa sia giusta)?
Scusate, ma pur non avendo letto le due risoluzioni, informo che non mi convincono i testi dei due problemi, e provo a motivarlo.
Nel 1° (quello della fune che scavalca il mozzo di legno), il problema è che dalla soluzione si vede che, quale che sia il coefficiente u, c’è una forza in grado di sollevare il corpo di peso P, mentre invece mi pare che se u>1 non esista tale forza (mi rendo conto che ciò è molto strano, ma mi immagino che sia vero).
Dimostrazione.
Se u fosse maggiore di 1 e F fosse uguale a P, si avrebbe che il sistema sarebbe in equilibrio, ma, poiché F e P sono concordi, la fune eserciterebbe una forza verso l’alto uguale a 2P, e quindi la forza premente della fune sul ramo è almeno 2P; da questo segue che (essendo u>1), perché la fune possa scorrere, F deve essere necessariamente maggiore di 2P.
Ma se F fosse 2 P (analogamente a prima) il sistema resterebbe ancora in equilibrio, e dall’analisi del sistema appare “evidente” che le forze F e P sarebbero “annullate” dalla reazione della corda, per cui la forza premente della fune sul ramo sarebbe almeno 3P; da questo segue che, perché la fune possa scorrere, F deve essere necessariamente maggiore di 3P.
Procedendo per induzione si deduce che (aumentando gradatamente la forza F) non c’è nessuna forza che permetta di sollevare il peso P.
Voi che ne dite? A questo punto mi sembrerebbe interessante trovare una fune (o una cinghia, o qualcosa di adattabile) che abbai un coefficiente maggiore di 1 nell’attrito con un “qualcosa” e provare.
Nel secondo problema si scrive «Un filo a piombo situato a latitudine L cade lungo la verticale (ovvero verso il centro della Terra) …».
Ma la Terra non è sferica, perché è nata come corpo fluido ruotante, per cui come il piombo è deviato verso il piano dell’equatore, così anche la massa fluida lo fu stata, ed il risultato dovrebbe essere che il filo a piombo risulta perpendicolare alla superficie terrestre (prescindendo dalle irregolarità “locali”). Ovviamente ne segue che il filo a piombo non giace sulla retta che passa per il centro della Terra, ma non era questa la domanda iniziale, questa l’ha scelta il testo come strada per la risoluzione, anzi: l’affermazione «ovvero verso il centro della Terra» è sbagliata.
Nel 1° (quello della fune che scavalca il mozzo di legno), il problema è che dalla soluzione si vede che, quale che sia il coefficiente u, c’è una forza in grado di sollevare il corpo di peso P, mentre invece mi pare che se u>1 non esista tale forza (mi rendo conto che ciò è molto strano, ma mi immagino che sia vero).
Dimostrazione.
Se u fosse maggiore di 1 e F fosse uguale a P, si avrebbe che il sistema sarebbe in equilibrio, ma, poiché F e P sono concordi, la fune eserciterebbe una forza verso l’alto uguale a 2P, e quindi la forza premente della fune sul ramo è almeno 2P; da questo segue che (essendo u>1), perché la fune possa scorrere, F deve essere necessariamente maggiore di 2P.
Ma se F fosse 2 P (analogamente a prima) il sistema resterebbe ancora in equilibrio, e dall’analisi del sistema appare “evidente” che le forze F e P sarebbero “annullate” dalla reazione della corda, per cui la forza premente della fune sul ramo sarebbe almeno 3P; da questo segue che, perché la fune possa scorrere, F deve essere necessariamente maggiore di 3P.
Procedendo per induzione si deduce che (aumentando gradatamente la forza F) non c’è nessuna forza che permetta di sollevare il peso P.
Voi che ne dite? A questo punto mi sembrerebbe interessante trovare una fune (o una cinghia, o qualcosa di adattabile) che abbai un coefficiente maggiore di 1 nell’attrito con un “qualcosa” e provare.
Nel secondo problema si scrive «Un filo a piombo situato a latitudine L cade lungo la verticale (ovvero verso il centro della Terra) …».
Ma la Terra non è sferica, perché è nata come corpo fluido ruotante, per cui come il piombo è deviato verso il piano dell’equatore, così anche la massa fluida lo fu stata, ed il risultato dovrebbe essere che il filo a piombo risulta perpendicolare alla superficie terrestre (prescindendo dalle irregolarità “locali”). Ovviamente ne segue che il filo a piombo non giace sulla retta che passa per il centro della Terra, ma non era questa la domanda iniziale, questa l’ha scelta il testo come strada per la risoluzione, anzi: l’affermazione «ovvero verso il centro della Terra» è sbagliata.
Il filo a piombo non cade perpendicolare alla superficie terrestre a causa della forma terrestre, che per questi tipi di studi risulta molto lontana dalla forma sferica approssimabile per certi versi ad un ellisoide di rotazione atre assi,e a causa anche delle rotazione terrestre, che tende a diminuire g in funzione della distanza dai poli e della curvatura terrestre.
Tutto ciò per dire che il filo a piombo non cade sempre perpendicolare alla superficie, anzi il suo uso è servito ai geologi per disegnare il geoide, un'altro tipo di approsimazione della forma terrestre.
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A perenne vanto della scienza sta il fatto che essa, agendo sulla mente umana, ha vinto l'insicurezza dell'uomo di fronte a se stesso e alla natura.
Tutto ciò per dire che il filo a piombo non cade sempre perpendicolare alla superficie, anzi il suo uso è servito ai geologi per disegnare il geoide, un'altro tipo di approsimazione della forma terrestre.
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A perenne vanto della scienza sta il fatto che essa, agendo sulla mente umana, ha vinto l'insicurezza dell'uomo di fronte a se stesso e alla natura.
Considera la Terra sferica!E' una cazzata...lo so...ma l'importante è il ragionamento e come arrivare a quella formula!
Per cavalli (non ti dispiace se scorcio il tuo nick, vero?)
Forse non mi sono espresso bene: il testo dice «Un filo a piombo situato a latitudine L non cade lungo la verticale ...», ma che cosa si intende con "verticale"? Io intendo la perpendicolare alla superficie orizzontale, dove la superficie orizzontale è quella a parallela a quella (molto estesa) di un liquido teorico (che non ha forze di adesione ecc.).
In questo caso il filo a piombo si dispone "lungo la verticale".
Forse non mi sono espresso bene: il testo dice «Un filo a piombo situato a latitudine L non cade lungo la verticale ...», ma che cosa si intende con "verticale"? Io intendo la perpendicolare alla superficie orizzontale, dove la superficie orizzontale è quella a parallela a quella (molto estesa) di un liquido teorico (che non ha forze di adesione ecc.).
In questo caso il filo a piombo si dispone "lungo la verticale".
IO intendevo con verticale, la retta normale alla superficie terrestre
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A perenne vanto della scienza sta il fatto che essa, agendo sulla mente umana, ha vinto l'insicurezza dell'uomo di fronte a se stesso e alla natura.
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A perenne vanto della scienza sta il fatto che essa, agendo sulla mente umana, ha vinto l'insicurezza dell'uomo di fronte a se stesso e alla natura.
Quindi la tua definizione è analoga alla mia, e quidni "dovresti" concordare con me. Ti invito a rileggere la mia "critica".
Ripeto comunque il concetto portante: se la Terra fosse una massa liquida (e lo fu "all'inizio") ferma, un eventuale "filo a piombo" (lontano da poli ed equatore) cadrebbe perpendicolarmente alla superficie. Se la ruota iniziasse a ruotare il piombo si sposterebbe diminuendo l'angolo che il filo forma con l'asse terrestre, ma si sposterebbe anche la materia della Terra, e la sua superficie tenderebbe a schiacciarsi ai poli, in modo da ripristinare l'angolo retto iniziale.
Spero di essere stato più chiaro.
Ripeto comunque il concetto portante: se la Terra fosse una massa liquida (e lo fu "all'inizio") ferma, un eventuale "filo a piombo" (lontano da poli ed equatore) cadrebbe perpendicolarmente alla superficie. Se la ruota iniziasse a ruotare il piombo si sposterebbe diminuendo l'angolo che il filo forma con l'asse terrestre, ma si sposterebbe anche la materia della Terra, e la sua superficie tenderebbe a schiacciarsi ai poli, in modo da ripristinare l'angolo retto iniziale.
Spero di essere stato più chiaro.
Si questo è vero, ma dicevo soltanto cheil filo a piombo continua a non cadere nonostante tuto perfettamente verticale, dato che la distribuzione della massa della terra in realtà non è omogenea, inoltre se ci fai caso la superficie cambia curvatura continuamente, discostandosi dalla forma sferica di gran lunga, quindi l'effetto di queste due situazioni è che il filo a piombo si sposta comunque rispetto alla verticale, ti ripeto intesa come normale alla superficie terrestre.
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A perenne vanto della scienza sta il fatto che essa, agendo sulla mente umana, ha vinto l'insicurezza dell'uomo di fronte a se stesso e alla natura.
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A perenne vanto della scienza sta il fatto che essa, agendo sulla mente umana, ha vinto l'insicurezza dell'uomo di fronte a se stesso e alla natura.
A causa degli errori sui caratteri riscrivo il messaggio.
Non mi piace convince per "insistenza", ma comunque mi pare che forse sia ancora il caso di cercare di chiarire il concetto su esposto.
Consideriamo la Terra fluida e "in equilibrio".
«Allora quali che sia la risultante R delle forze (sia la somma di gravitazionali, sia quelle legate alla rotazione della Terra) che determinano la forma della Terra (in particolare della sua superficie S), il filo a piombo (inteso come massa puntiforme legata a filo di massa nulla)che "tocca" S in P, si disporrà in modo che R non lo faccia scendere sotto il livello di S, cioè PERPENDICOLARMENTE a S»,
e il motivo è abbastanza intuibile: se R avesse una direzione non perpendicolare a S, la zona intorno a P si sposterebbe, cioè non sarebbe più in equilibrio.
Poi ognuno è libero di concordare o meno, ma io non ho ancora capito perché dici che non è vero.
Infine concordo sul fatto che sono irregolari sia la superficie terrestre che la distribuzione della massa, ma questo allora semplicemente impedisce di trarne alcuna conclusione quantitativa generale, e rende inaccettabile anche le risposte quantitative precedenti; però se abbandoniamo la risposta “locale” e ci “accontentiamo” di una risposta “globale” (o approssimata) resat valido quanto ho scritto sopra a proposto della perpendicolarità del filo a piombo (con una Terra fluida).
Non mi piace convince per "insistenza", ma comunque mi pare che forse sia ancora il caso di cercare di chiarire il concetto su esposto.
Consideriamo la Terra fluida e "in equilibrio".
«Allora quali che sia la risultante R delle forze (sia la somma di gravitazionali, sia quelle legate alla rotazione della Terra) che determinano la forma della Terra (in particolare della sua superficie S), il filo a piombo (inteso come massa puntiforme legata a filo di massa nulla)che "tocca" S in P, si disporrà in modo che R non lo faccia scendere sotto il livello di S, cioè PERPENDICOLARMENTE a S»,
e il motivo è abbastanza intuibile: se R avesse una direzione non perpendicolare a S, la zona intorno a P si sposterebbe, cioè non sarebbe più in equilibrio.
Poi ognuno è libero di concordare o meno, ma io non ho ancora capito perché dici che non è vero.
Infine concordo sul fatto che sono irregolari sia la superficie terrestre che la distribuzione della massa, ma questo allora semplicemente impedisce di trarne alcuna conclusione quantitativa generale, e rende inaccettabile anche le risposte quantitative precedenti; però se abbandoniamo la risposta “locale” e ci “accontentiamo” di una risposta “globale” (o approssimata) resat valido quanto ho scritto sopra a proposto della perpendicolarità del filo a piombo (con una Terra fluida).
Ti dico così perchè l'ho studiato quest'anno a scuola... Geodesia
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A perenne vanto della scienza sta il fatto che essa, agendo sulla mente umana, ha vinto l'insicurezza dell'uomo di fronte a se stesso e alla natura.
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A perenne vanto della scienza sta il fatto che essa, agendo sulla mente umana, ha vinto l'insicurezza dell'uomo di fronte a se stesso e alla natura.
Cmq forse la nostra divergenza di opinioni sta nel fatto che tu considari la terra composta da una sfera di fluido uniforme, mentre io la considero realmente così come è realmente (o almeno nel modo meno approssimato). Adesso vado a ricercare il pezzo sul libro di testo che parla di questo problema e poi lo posto.
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A perenne vanto della scienza sta il fatto che essa, agendo sulla mente umana, ha vinto l'insicurezza dell'uomo di fronte a se stesso e alla natura.
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A perenne vanto della scienza sta il fatto che essa, agendo sulla mente umana, ha vinto l'insicurezza dell'uomo di fronte a se stesso e alla natura.
quote:
Originally posted by JvloIvk
Stavolta l'esercizio riguarda la Rotazione della Terra.In sintensi il problema è questo:
Un filo a piombo situato a latitudine L non cade lungo la verticale(ovvero verso il centro della Terra) ma è deviato di un certo angolo x.Trovare x!
La mia soluzione è questa:
Il filo ruota intorno all'asse descrivendo un orbita circolare di raggio R*cosL dove R è il raggio della Terra.In un sistema di riferimento solidale con la Terra il filo è soggetto alla forza peso diretta radialmente verso il centro della Terra e la forza centrifuga che si manifesta come conseguenza della traiettoria circolare.La forza risultante che fornisce il peso apparente del filo forma con la forza peso un certo angolo, che è appunto l'amgolo di deviazione x(ci vorrebbe la figura!).
Per il teorema dei seni:
F(c)/senx = P/sen(180-L-x)
dove F(c)=m*w^2*(RcosL)=m*4pi^2*RcosL/T^2
senx=x (l'angolo x di deviazione è abbastanza piccolo)
P=Mg
sen(180-L-x) = sen(L+x) = senL (x è trascurabile rispetto a L)
Dopo alcuni calcoli si ricava:
x=2pi^2*sen(2L)/T^2
che è appunto il risultato del libro!Ciò che non mi convince sono le approssimazioni scritte in neretto.Mi pare eccessivo introdurre approssimazioni in un esercizio come questo.Qualcuno ha altre soluzioni al problema(sempre che questa sia giusta)?
Approssimazioni più che lecite, credo, se vuoi farti del male cmq puoi anche non usarle... mi pare venga una equazione del tipo senx(a)=cosx(b) con a e b costanti, risolubile esattamente senza problemi (una volta usata la formula per il seno della somma di angoli)..
Aspè...a e b sono fuori dal coseno e dal seno quindi non è tanto semplice.A me viene un'equazione del tipo acosx+bsex=0 che diventa sqrt(a^2+b^2)sen[x+atg(b/a)]=0
Solo che quel atg complic alquanto i calcoli!
Solo che quel atg complic alquanto i calcoli!
Premetto che non ricordo cosa veniva ma:
acosx+bsenx=0
bsenx=-acosx
btgx=-a
tgx=-a/b
x=arctg(-a/b)
mi pare di averne risolte tante così in quarta superiore (nel senso che credo sia la risoluzone standard di equazioni di quel tipo, lineari in seno e coseno senza termine noto)... torna?
acosx+bsenx=0
bsenx=-acosx
btgx=-a
tgx=-a/b
x=arctg(-a/b)
mi pare di averne risolte tante così in quarta superiore (nel senso che credo sia la risoluzone standard di equazioni di quel tipo, lineari in seno e coseno senza termine noto)... torna?
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